高中数学抛物线-高考经典例题

/1抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物线的焦点.定直线l叫做抛物线的准线．2抛物线的图形和性质：①顶点是焦点向准线所作垂线段中点。②焦准距：③通径：过焦点垂直于轴的弦长为。④顶点平分焦点到准线的垂线段：。⑤焦半径为半径的圆：以P为圆心、FP为半径的圆必与准线相切。所有这样的圆过定点F、准线是公切线。⑥焦半径为直径的圆：以焦半径FP为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切。所有这样的圆过定点F、过顶点垂直于轴的直线是公切线。⑦焦点弦为直径的圆：以焦点弦PQ为直径的圆必与准线相切。所有这样的圆的公切线是准线。3抛物线标准方程的四种形式：4抛物线的图像和性质：①焦点坐标是：.②准线方程是：。③焦半径公式：若点是抛物线上一点.则该点到抛物线的焦点的距离〔称为焦半径是：.④焦点弦长公式：过焦点弦长⑤抛物线上的动点可设为P或或P5一般情况归纳：方程图象焦点准线定义特征y2=kxk>0时开口向右<k/4,0>x=─k/4到焦点<k/4,0>的距离等于到准线x=─k/4的距离k<0时开口向左x2=kyk>0时开口向上<0,k/4>y=─k/4到焦点<0,k/4>的距离等于到准线y=─k/4的距离k<0时开口向下抛物线的定义：例1：点M与点F<－4.0>的距离比它到直线l：x－6=0的距离相等.求点M的轨迹方程．分析：点M到点F的距离与到直线x=4的距离恰好相等.符合抛物线定义．答案：y2=－16x例2：斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点.与抛物线相交于点A、B.求线段A、B的长．分析：这是灵活运用抛物线定义的题目．基本思路是：把求弦长AB转化为求A、B两点到准线距离的和．解：如图8－3－1.y2=4x的焦点为F<1.0>.则l的方程为y=x－1．由消去y得x2－6x+1=0．设A<x1.y1>.B<x2.y2>则x1+x2=6．又A、B两点到准线的距离为..则点评：抛物线的定义本身也是抛物线最本质的性质.在解题中起到至关重要的作用例3:<1>已知抛物线的标准方程是y2=10x.求它的焦点坐标和准线方程；<2>已知抛物线的焦点是F<0.3>求它的标准方程；<3>已知抛物线方程为y=－mx2<m>0>求它的焦点坐标和准线方程；<4>求经过P<－4.－2>点的抛物线的标准方程；分析：这是为掌握抛物线四类标准方程而设计的基础题.解题时首先分清属哪类标准型.再录求P值<注意p>0>．特别是<3>题.要先化为标准形式：.则．<4>题满足条件的抛物线有向左和向下开口的两条.因此有两解．答案：<1>.．<2>x2=12y<3>.；<4>y2=－x或x2=－8y．例4求满足下列条件的抛物线的标准方程.并求对应抛物线的准线方程：〔1过点〔－3.2；〔2焦点在直线x－2y－4=0上分析：从方程形式看.求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数p；从实际分析.一般需确定p和确定开口方向两个条件.否则.应展开相应的讨论解：〔1设所求的抛物线方程为y2=－2px或x2=2py〔p＞0.∵过点〔－3.2.∴4=－2p〔－3或9=2p·2∴p=或p=∴所求的抛物线方程为y2=－x或x2=y.前者的准线方程是x=.后者的准线方程是y=－〔2令x=0得y=－2.令y=0得x=4.∴抛物线的焦点为〔4.0或〔0.－2当焦点为〔4.0时.=4.∴p=8.此时抛物线方程y2=16x；焦点为〔0.－2时.=2.∴p=4.此时抛物线方程为x2=－8y∴所求的抛物线的方程为y2=16x或x2=－8y.对应的准线方程分别是x=－4.y=2常用结论①过抛物线y2＝2px的焦点F的弦AB长的最小值为2p②设A<x1.y>.1B<x2.y2>是抛物线y2＝2px上的两点.则AB过F的充要条件是y1y2＝－p2③设A.B是抛物线y2＝2px上的两点.O为原点.则OA⊥OB的充要条件是直线AB恒过定点<2p.0>例5：过抛物线y2=2px<p>0>的顶点O作弦OA⊥OB.与抛物线分别交于A<x1.y1>.B<x2.y2>两点.求证：y1y2=－4p2．分析：由OA⊥OB.得到OA、OB斜率之积等于－1.从而得到x1、x2.y1、y2之间的关系．又A、B是抛物线上的点.故<x1.y1>、<x2.y2>满足抛物线方程．从这几个关系式可以得到y1、y2的值．证：由OA⊥OB.得.即y1y2=－x1x2.又..所以：.即．而y1y2≠0．所以y1y2=－4p2．弦的问题例1A,B是抛物线y2=2px<p>0>上的两点.满足OAOB<O为坐标原点>求证：<1>A,B两点的横坐标之积.纵坐标之积为定值；<2>直线AB经过一个定点<3>作OMAB于M.求点M的轨迹方程解：<1>设A<x1,y1>,B<x2,y2>,则y12=2px1,y22=2px2,∴y12y22=4p2x1x2,∵OAOB,∴x1x2+y1y2=0,由此即可解得：x1x2=4p2,y1y2=─4p2<定值><2>直线AB的斜率k===,∴直线AB的方程为y─y1=<x─>,即y<y1+y2>─y1y2=2px,由<1>可得y=<x─2p>,直线AB过定点C<2p,0><3>解法1:设M<x,y>,由<2>知y=<x─2p><i>,又ABOM,故两直线的斜率之积为─1,即·=─1<ii>由<i>,<ii>得x2─2px+y2=0<x0>例4已知抛物线,焦点为F,一直线与抛物线交于A、B两点,且,且AB的垂直平分线恒过定点S<6,0>①求抛物线方程;②求面积的最大值解:①设,AB中点由得又得所以依题意,抛物线方程为②由及,令得又由和得:例5定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上移动.AB的中点为M.求点M到y轴的最短距离.并求此时点M的坐标解：如图.设A<x1,y1>,B<x2,y2>,M<x,y>,则x=,y=,又设点A.B.M在准线:x=─1/4上的射影分别为A/,B/,M/,MM/与y轴的交点为N.则|AF|=|AA/|=x1+,|BF|=|BB/|=x2+,∴x=<x1+x2>=<|AF|+|BF|─><|AB|─>=等号在直线AB过焦点时成立.此时直线AB的方程为y=k<x─>由得16k2x2─8<k2+2>x+k2=0依题意|AB|=|x1─x2|=×==3,∴k2=1/2,此时x=<x1+x2>==∴y=±即M<,>,N<,─>综合类<几何>例2已知过抛物线的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点.点R是含抛物线顶点O的弧AB上一点.求△RAB的最大面积．分析：求RAB的最大面积.因过焦点且斜率为1的弦长为定值.故可以为三角形的底.只要确定高的最大值即可．解：设AB所在的直线方程为．将其代入抛物线方程.消去x得当过R的直线l平行于AB且与抛物线相切时.△RAB的面积有最大值．设直线l方程为．代入抛物线方程得由得.这时．它到AB的距离为∴△RAB的最大面积为．例6如图所示.直线和相交于点M.⊥.点.以A、B为端点的曲线段C上的任一点到的距离与到点N的距离相等.若△AMN为锐角三角形...且.建立适当的坐标系.求曲线段C的方程．分析：因为曲线段C上的任一点是以点N为焦点.以为准线的抛物线的一段.所以本题关键是建立适当坐标系.确定C所满足的抛物线方程．解：以为x轴.MN的中点为坐标原点O.建立直角坐标系．由题意.曲线段C是N为焦点.以为准线的抛物线的一段.其中A、B分别为曲线段的两端点．∴设曲线段C满足的抛物线方程为：其中、为A、B的横坐标令则.∴由两点间的距离公式.得方程组：解得或∵△AMN为锐角三角形.∴.则.又B在曲线段C上.则曲线段C的方程为例7如图所示.设抛物线与圆在x轴上方的交点为A、B.与圆在x由上方的交点为C、D.P为AB中点.Q为CD的中点．〔1求．〔2求△ABQ面积的最大值．分析：由于P、Q均为弦AB、CD的中点.故可用韦达定理表示出P、Q两点坐标.由两点距离公式即可求出．解：〔1设由得：.由得.同类似.则.〔2.∴当时.取最大值．例8已知直线过原点.抛物线的顶点在原点.焦点在轴的正半轴上.且点和点关于直线的对称点都在上.求直线和抛物线的方程．分析：设出直线和抛物线的方程.由点、关于直线对称.求出对称点的坐标.分别代入抛物线方程．或设.利用对称的几何性质和三角函数知识求解．解法一：设抛物线的方程为.直线的方程为.则有点.点关于直线的对称点为、.则有解得解得如图.、在抛物线上∴两式相除.消去.整理.得.故.由..得．把代入.得．∴直线的方程为.抛物线的方程为．解法二：设点、关于的对称点为、.又设.依题意.有.．故.．由.知．∴.．又..故为第一象限的角．∴、．将、的坐标代入抛物线方程.得∴.即从而..∴.得抛物线的方程为．又直线平分.得的倾斜角为．∴．∴直线的方程为．说明：<1>本题属于点关于直线的对称问题．解法一是解对称点问题的基本方法.它的思路明确.但运算量大.若不仔细、沉着.难于解得正确结果．解法二是利用对称图形的性质来解.它的技巧性较强.一时难于想到．<2>本题是用待定系数法求直线的方程和抛物线方程．在已知曲线的类型求曲线方程时.这种方法是最常规方法.需要重点掌握．例9如图.正方形的边在直线上.、两点在抛物线上.求正方形的面积．分析：本题考查抛物线的概念及其位置关系.方程和方程组的解法和数形结合的思想方法.以及分析问题、解决问题的能力．解：∵直线..∴设的方程为.且、．由方程组.消去.得.于是..∴<其中>∴．由已知.为正方形..∴可视为平行直线与间的距离.则有.于是得．两边平方后.整理得..∴或．当时.正方形的面积．当时.正方形的面积．∴正方形的面积为18或50．说明：运用方程〔组的思想和方法求某些几何量的值是解析几何中最基本的、贯穿始终的方法.本题应充分考虑正方形这一条件．例10设有一颗彗星围绕地球沿一抛物线轨道运行.地球恰好位于抛物线轨道的焦点处.当此彗星离地球为时.经过地球与彗星的直线与抛物线的轴的夹角为.求这彗星与地球的最短距离．分析：利用抛物线有关性质求解．解：如图.设彗星轨道方程为..焦点为.彗星位于点处．直线的方程为．解方程组得.故．．故.得．由于顶点为抛物线上到焦点距离最近的点.所以顶点是抛物线上到焦点距离最近的点．焦点到抛物线顶点的距离为.所以彗星与地球的最短距离为或.〔点在点的左边与右边时.所求距离取不同的值．说明：<1>此题结论有两个.不要漏解；<2>本题用到抛物线一个重要结论：顶点为抛物线上的点到焦点距离最近的点.其证明如下：设为抛物线上一点.焦点为.准线方程为.依抛物线定义.有.当时.最小.故抛物线上到焦点距离最近的点是抛物线的顶点．例11如图.抛物线顶点在原点.圆的圆心是抛物线的焦点.直线过抛物线的焦点.且斜率为2.直线交抛物线与圆依次为、、、四点.求的值．分析：本题考查抛物线的定义.圆的概念和性质.以及分析问题与解决问题的能力.本题的关键是把转化为直线被圆锥曲线所截得的弦长问题．解：由圆的方程.即可知.圆心为.半径为2.又由抛物线焦点为已知圆的圆心.得到抛物线焦点为.设抛物线方程为.∵为已知圆的直径.∴.则．设、.∵.而、在抛物线上.由已知可知.直线方程为.于是.由方程组消去.得.∴．∴.因此.．说明：本题如果分别求与则很麻烦.因此把转化成是关键所在.在求时.又巧妙地运用了抛物线的定义.从而避免了一些繁杂的运算．11.已知抛物线y2=2px<p>0>.过焦点F的弦的倾斜角为θ<θ≠0>,且与抛物线相交于A、B两点.〔1求证：|AB|=;<2>求|AB|的最小值.〔1证明：如右图.焦点F的坐标为F〔,0.设过焦点、倾斜角为θ的直线方程为y=tanθ·〔x-,与抛物线方程联立.消去y并整理.得tan2θ·x2-<2p+ptan2θ>x+=0.此方程的两根应为交点A、B的横坐标.根据韦达定理.有x1+x2=.设A、B到抛物线的准线x=-的距离分别为|AQ|和|BN|.根据抛物线的定义.有|AB|=|AF|+|FB|=|AQ|+|BN|=x1+x2+p=.〔2解析：因|AB|=的定义域是0<θ<π.又sin2θ≤1.所以.当θ=时.|AB|有最小值2p.12.已知抛物线y2=2px<p>0>的一条焦点弦AB被焦点F分成m、n两部分.求证：为定值.本题若推广到椭圆、双曲线.你能得到什么结论？解析：〔1当AB⊥x轴时.m=n=p.∴=.〔2当AB不垂直于x轴时.设AB:y=k<x->,A<x1,y1>,B<x2,y2>,|AF|=m,|BF|=n,∴m=+x1,n=+x2.将AB方程代入抛物线方程.得k2x2-<k2p+2p>x+=0,∴∴==.本题若推广到椭圆.则有=〔e是椭圆的离心率；若推广到双曲线.则要求弦AB与双曲线交于同一支.此时.同样有=<e为双曲线的离心率>.13.如右图.M是抛物线y2=x上的一点.动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点.且|MA|=|MB|.〔1若M为定点.证明：直线EF的斜率为定值；〔2若M为动点.且∠EMF=90°.求△EMF的重心G的轨迹方程.〔1证明：设M〔y02,y0.直线ME的斜率为k<k>0>,则直线MF的斜率为-k.直线ME的方程为y-y0=k<x-y02>.由得ky2-y+y0<1-ky0>=0.解得y0·yE=,∴yE=,∴xE=.同理可得yF=,∴xF=.∴kEF=〔定值.〔2解析：当∠EMF=90°时.∠MAB=45°.所以k=1.由〔1得E〔〔1-y02,〔1-y0>F〔