高中物理人教版必修二教学案第五章第6节向心力

第6节向心力1．做匀速圆周运动的物体受到了指向圆心的合力，这1．做匀速圆周运动的物体受到了指向圆心的合力，这个合力叫向心力，它是产生向心加速度的缘由。2．向心力的大小为Fn＝meq\f(v2,r)＝mω2r，向心力的方向始终指向圆心，与线速度方向垂直。3．向心力可能等于合外力，也可能等于合外力的一个分力，向心力是依据效果命名的力。4．可把一般的曲线运动分成很多小段，每一小段按圆周运动处理。一、向心力1．向心力(1)定义：做匀速圆周运动的物体受到指向圆心的合力。(2)方向：始终指向圆心，与线速度方向垂直。(3)公式：Fn＝meq\f(v2,r)或Fn＝mω2r。(4)效果力向心力是依据力的作用效果来命名的，但凡产生向心加速度的力，不管属于哪种性质，都是向心力。2．试验验证(1)装置：细线下面悬挂一个钢球，用手带动钢球使它在某个水平面内做匀速圆周运动，组成一个圆锥摆，如下图。(2)求向心力：①可用Fn＝meq\f(v2,r)计算钢球所受的向心力。②可计算重力和细线拉力的合力。(3)结论：代入数据后比拟计算出的向心力Fn和钢球所受合力F的大小，即可得出结论：钢球需要的向心力等于钢球所受外力的合力。二、变速圆周运动和一般的曲线运动1．变速圆周运动变速圆周运动所受合外力一般不等于向心力，合外力一般产生两个方面的效果：(1)合外力F跟圆周相切的分力Ft，此分力产生切向加速度at，描述线速度大小变化的快慢。(2)合外力F指向圆心的分力Fn，此分力产生向心加速度an，向心加速度只转变速度的方向。2．一般曲线运动的处理方法一般曲线运动，可以把曲线分割成很多很短的小段，每一小段可看作一小段圆弧。圆弧弯曲程度不同，说明它们具有不同的半径。这样，质点沿一般曲线运动时，可以采纳圆周运动的分析方法进行处理。1．自主思索——判一判(1)向心力既可以转变速度的大小，也可以转变速度的方向。(×)(2)物体做圆周运动的速度越大，向心力肯定越大。(×)(3)向心力和重力、弹力一样，是性质力。(×)(4)圆周运动中指向圆心的合力等于向心力。(√)(5)圆周运动中，合外力等于向心力。(×)(6)向心力产生向心加速度。(√)2．合作探究——议一议(1)如下图，物体在圆筒壁上随筒壁一起绕竖直转轴匀速转动，试问：物体受几个力作用？向心力由什么力供应？提示：物体受三个力，分别为重力、弹力和摩擦力。物体做匀速圆周运动，向心力等于以上三个力的合力，由于重力与摩擦力抵消，实际上向心力仅由弹力供应。(2)荡秋千是小伴侣很喜爱的嬉戏，当秋千由上向下荡下时，①此时小伴侣做的是匀速圆周运动还是变速圆周运动？②绳子拉力与重力的合力指向悬挂点吗？提示：①秋千荡下时，速度越来越大，做的是变速圆周运动。②由于秋千做变速圆周运动，合外力既有指向圆心的分力，又有沿切向的分力，所以合力不指向悬挂点。对向心力的理解1．向心力的大小Fn＝man＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝mωv。对于匀速圆周运动，向心力大小始终不变，但对非匀速圆周运动(如用一根绳拴住小球绕固定圆心在竖直平面内做的圆周运动)，其向心力大小随速率v的变化而变化，公式表述的只是瞬时值。2．向心力的方向无论是否为匀速圆周运动，其向心力总是沿着半径指向圆心，方向时刻转变，故向心力是变力。3．向心力的作用效果由于向心力始终指向圆心，其方向与物体运动方向始终垂直，故向心力不转变线速度的大小，只转变线速度的方向。1．关于向心力，以下说法中正确的选项是()A．物体由于做圆周运动而产生一个向心力B．向心力不转变物体做圆周运动的速度大小C．做匀速圆周运动的物体的向心力是恒力D．做一般曲线运动的物体所受的合力即为向心力解析：选B向心力是依据力的作用效果命名的，它不转变速度的大小，只转变速度的方向，选项A错误，B正确；做匀速圆周运动的物体的向心力始终指向圆心，方向在不断变化，是变力，选项C错误；做一般曲线运动的物体所受的合力通常可分解为切线方向的分力和法线方向的分力，切线方向的分力供应切向加速度，转变速度的大小，法线方向的分力供应向心加速度，转变速度的方向，选项D错误。2．一圆盘可绕通过圆盘中心O且垂直于盘面的竖直轴转动。在圆盘上放置一小木块A，它随圆盘一起做加速圆周运动(如下图)，那么关于木块A的受力，以下说法正确的选项是()A．木块A受重力、支持力和向心力B．木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向指向圆心C．木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向与木块运动方向相反D．木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力沿半径方向的分力供应向心力解析：选D木块随圆盘做加速圆周运动，摩擦力沿半径方向的分力供应向心力，摩擦力沿切线方向的分力转变速度的大小。所以两个分力合成后的合力不沿半径方向，不指向圆心，只有D项正确。3.(多项选择)如下图，用长为L的细线拴住一个质量为M的小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动，细线与竖直方向的夹角为θ，关于小球的受力状况，以下说法中正确的选项是()A．小球受到重力、线的拉力和向心力三个力B．向心力是线对小球的拉力和小球所受重力的合力C．向心力的大小等于细线对小球拉力的水平重量D．向心力的大小等于Mgtanθ解析：选BCD对于匀速圆周运动，向心力是物体实际受到的全部力的指向圆心的合力，受力分析时不能再说物体又受到向心力，故A错误，B正确。再依据力的合成求出合力大小，故C、D正确。匀速圆周运动的特点及解题方法1．质点做匀速圆周运动的条件合力的大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心。匀速圆周运动是仅速度的方向变化而速度大小不变的运动，所以只存在向心加速度，因此向心力就是做匀速圆周运动的物体所受的合力。2．匀速圆周运动的三个特点(1)线速度大小不变、方向时刻转变。(2)角速度、周期、频率都恒定不变。(3)向心加速度和向心力的大小都恒定不变，但方向时刻转变。3．分析匀速圆周运动的步骤(1)明确讨论对象，对讨论对象进行受力分析，画出受力示意图。(2)将物体所受外力通过力的正交分解，分解到沿切线方向和沿半径方向。(3)列方程：沿半径方向满意F合1＝mrω2＝meq\f(v2,r)＝eq\f(4π2mr,T2)，沿切线方向F合2＝0。(4)解方程求出结果。4．几种常见的匀速圆周运动实例图形受力分析力的分解方法满意的方程及向心加速度eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Fcosθ＝mg,Fsinθ＝mω2lsinθ))或mgtanθ＝mω2lsinθan＝gtanθeq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(FNcosθ＝mg,FNsinθ＝mω2r))或mgtanθ＝mrω2an＝gtanθeq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(F升cosθ＝mg,F升sinθ＝mω2r))或mgtanθ＝mrω2an＝gtanθeq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(FN＝mg,F拉＝mBg＝mω2r))an＝ω2r[典例]如图甲为游乐园中“空中飞椅〞的嬉戏设施，它的根本装置是将绳子上端固定在转盘的边缘上，绳子的下端连接座椅，人坐在座椅上随转回旋转而在空中飞旋。假设将人和座椅看成一个质点，那么可简化为如图乙所示的物理模型，其中P为处于水平面内的转盘，可绕竖直转轴OO′转动，设绳长l＝10m，质点的质量m＝60kg，转盘静止时质点与转轴之间的距离d＝4.0m，转盘渐渐加速转动，经过一段时间后质点与转盘一起做匀速圆周运动，此时绳与竖直方向的夹角θ＝37°，不计空气阻力及绳重，且绳不行伸长，sin37°＝0.6,cos37°＝0.8，g＝10m/s2，求质点与转盘一起做匀速圆周运动时：(1)绳子拉力的大小；(2)转盘角速度的大小。[思路点拨](1)质点在水平面内做匀速圆周运动，在竖直方向上合力为零。(2)质点到竖直轴OO′间的距离为小球圆周运动的半径。[解析](1)如下图，对人和座椅进行受力分析，图中F为绳子的拉力，在竖直方向：Fcos37°－mg＝0解得F＝eq\f(mg,cos37°)＝750N。(2)人和座椅在水平面内做匀速圆周运动，重力和绳子拉力的合力供应向心力，依据牛顿其次定律有mgtan37°＝mω2RR＝d＋lsin37°联立解得ω＝eq\r(\f(gtan37°,d＋lsin37°))＝eq\f(\r(3),2)rad/s。[答案](1)750N(2)eq\f(\r(3),2)rad/s匀速圆周运动解题策略在解决匀速圆周运动的过程中，要留意以下几个方面：(1)知道物体做圆周运动轨道所在的平面，明确圆心和半径是解题的一个关键环节。(2)分析清晰向心力的来源，明确向心力是由什么力供应的。(3)依据线速度、角速度的特点，选择适宜的公式列式求解。1．将来的星际航行中，宇航员长期处于零重力状态，为缓解这种状态带来的不适，有人设想在将来的航天器上加装一段圆柱形“旋转舱〞，如下图。当旋转舱绕其轴线匀速旋转时，宇航员站在旋转舱内圆柱形侧壁上，可以受到与他站在地球外表时相同大小的支持力。为到达上述目的，以下说法正确的选项是()A．旋转舱的半径越大，转动的角速度就应越大B．旋转舱的半径越大，转动的角速度就应越小C．宇航员质量越大，旋转舱的角速度就应越大D．宇航员质量越大，旋转舱的角速度就应越小解析：选B旋转舱对宇航员的支持力供应宇航员做圆周运动的向心力，即mg＝mω2r，解得ω＝eq\r(\f(g,r))，即旋转舱的半径越大，角速度越小，而且与宇航员的质量无关，选项B正确。2．(多项选择)如下图，质量相等的A、B两物体紧贴在匀速转动的圆筒的竖直内壁上，随圆筒一起做匀速圆周运动，那么以下关系中正确的有()A．线速度vA>vBB．运动周期TA>TBC．它们受到的摩擦力fA>fBD．筒壁对它们的弹力NA>NB解析：选AD由于两物体做匀速圆周运动的角速度相等，又rA>rB,所以vA＝rAω>vB＝rBω，选项A正确；由于ω相等，所以周期T相等，选项B错误；因竖直方向物体受力平衡，有f＝mg，故fA＝fB，选项C错误；筒壁对物体的弹力供应向心力，所以NA＝mrAω2>NB＝mrBω2，选项D正确。3.(多项选择)如下图，在水平转台上放一个质量M＝2kg的木块，它与转台间的最大静摩擦力为Fmax＝6.0N，绳的一端系在木块上，另一端通过转台的中心孔O(孔光滑)悬挂一个质量m＝1.0kg的物体，当转台以角速度ω＝5rad/s匀速转动时，木块相对转台静止，那么木块到O点的距离可以是(g取10m/s2，M、m均视为质点)()A．0.04m B．0.08mC．0.16m D．0.32m解析：选BCD当M有远离轴心运动的趋势时，有mg＋Fmax＝Mω2rmax，解得rmax＝eq\f(mg＋Fmax,Mω2)＝0.32m，当M有靠近轴心运动的趋势时，有mg－Fmax＝Mω2rmin，解得rmin＝eq\f(mg－Fmax,Mω2)＝0.08m。应选项B、C、D正确。变速圆周运动和一般曲线运动问题[典例]一根长为0.8m的绳子，当受到7.84N的拉力时被拉断。假设在此绳的一端拴一个质量为0.4kg的物体，使物体以绳子的另一端为圆心在竖直面内做圆周运动，当物体运动到最低点时绳子恰好断裂。求物体运动至最低点时的角速度和线速度大小。[审题指导](1)物体运动到最低点时是绳子的拉力和物体重力的合力供应向心力。(2)绳子恰好断裂时，绳子的拉力大小为7.84N。[解析]当物体运动到最低点时，物体受重力mg、绳子拉力FT，依据牛顿其次定律得FT－mg＝ma＝mω2r，又由牛顿第三定律可知，绳子受到的拉力和绳子拉物体的力大小相等，绳子被拉断时受到的拉力为FT′＝7.84N，故FT＝7.84N。所以，绳子被拉断时物体的角速度为ω＝eq\r(\f(FT－mg,mr))＝eq\×,×0.8))rad/s＝3.5rad/s，物体的线速度为v＝ωr×0.8m/s＝2.8m/s。[答案]3.5rad/s2.8m/s(1)物体做非匀速圆周运动时，在任何位置均是沿半径指向圆心的合力供应向心力。(2)物体做一般曲线运动时，在每段小圆弧处仍可按圆周运动规律进行处理。1.(多项选择)如下图，一小球用细绳悬挂于O点，将其拉离竖直位置一个角度后释放，那么小球以O点为圆心做圆周运动，运动中小球所需的向心力是()A．绳的拉力B．重力和绳拉力的合力C．重力和绳拉力的合力沿绳方向的分力D．绳的拉力和重力沿绳方向分力的合力解析：选CD如下图，对小球进行受力分析，它受重力和绳子拉力的作用，向心力是指向圆心方向的合力。因此，可以说是小球所受合力沿绳方向的分力，也可以说是各力沿绳方向的分力的合力，选C、D。2．一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一局部，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替。如图甲所示，曲线上A点的曲率圆定义为：通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆，在极限状况下，这个圆就叫做A点的曲率圆，其半径ρ叫做A点的曲率半径。现将一物体沿与水平面成α角的方向以速度v0抛出，如图乙所示。那么在其轨迹最高点P处的曲率半径是()A.eq\f(v02,g) B.eq\f(v02sin2α,g)C.eq\f(v02cos2α,g) D.eq\f(v02cos2α,gsinα)解析：选C物体做斜上抛运动，最高点速度即为斜上抛的水平速度vP＝v0cosα，最高点重力供应向心力mg＝meq\f(vP2,ρ)，由两式得ρ＝eq\f(vP2,g)＝eq\f(v02cos2α,g)。3．如下图，质量为m的物体，沿半径为r的圆轨道自A点滑下，A与圆心O等高，滑至B点(B点在O点正下方)时的速度为v。物体与轨道间的动摩擦因数为μ，求物体在B点所受的摩擦力。解析：物体由A滑到B的过程中，受到重力、轨道弹力及摩擦力的作用，做圆周运动。物体在B点的受力状况如下图，其中轨道弹力FN与重力G＝mg的合力供应物体做圆周运动的向心力，由牛顿其次定律得FN－mg＝eq\f(mv2,r)，得FN＝mg＋eq\f(mv2,r)，那么滑动摩擦力为Ff＝μFN＝μmeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(g＋\f(v2,r)))。答案：μmeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(g＋\f(v2,r)))1．做匀速圆周运动的物体，它所受的向心力的大小必定与()A．线速度平方成正比B．角速度平方成正比C．运动半径成反比D．线速度和角速度的乘积成正比解析：选D因做匀速圆周运动的物体满意关系Fn＝meq\f(v2,R)＝mRω2＝mvω，由此可以看出在R、v、ω是变量的状况下，Fn与R、v、ω是什么关系不能确定，只有在R肯定的状况下，向心力才与线速度的平方、角速度的平方成正比；在v肯定时，Fn与R成反比；ω肯定时，Fn与R成正比。应选项A、B、C错误，而从Fn＝mvω看，因m是不变的，应选项D正确。2.如图为某中国运发动在短道速滑竞赛中勇夺金牌的精彩瞬间。假定此时他正沿圆弧形弯道匀速率滑行，那么他()A．所受的合力为零，做匀速运动B．所受的合力恒定，做匀加速运动C．所受的合力恒定，做变加速运动D．所受的合力变化，做变加速运动解析：选D运发动做匀速圆周运动，所受合力时刻变化，加速度时刻变化，D正确。3.(多项选择)如下图，质量为m的木块从位于竖直平面内的圆弧形曲面上滑下，由于摩擦力的作用，木块从a到b运动的速率渐渐增大，从b到c运动的速率恰好保持不变，从c到d运动的速率渐渐减小，那么()A．木块在ab段和cd段的加速度不为零，但在bc段的加速度为零B．木块在ab、bc、cd各段中的加速度都不为零C．木块在整个运动过程中所受的合外力大小肯定，方向始终指向圆心D．木块只在bc段所受的合外力大小不变，方向指向圆心解析：选BD木块从曲面上滑下做曲线运动，总有加速度，只有在做匀速圆周运动时，所受的合外力大小不变且方向指向圆心，应选项B、D正确。4.如下图，在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未滑动。当圆筒的角速度增大以后，物体仍旧随圆筒一起匀速转动而未滑动，那么以下说法正确的选项是()A．物体所受弹力增大，摩擦力也增大了B．物体所受弹力增大，摩擦力减小了C．物体所受弹力和摩擦力都减小了D．物体所受弹力增大，摩擦力不变解析：选D物体随圆筒一起匀速转动时，受到三个力的作用：重力G、筒壁对它的弹力FN和筒壁对它的摩擦力F1(如下图)。其中G和F1是一对平衡力，筒壁对它的弹力FN供应它做匀速圆周运动的向心力。当圆筒匀速转动时，不管其角速度多大，只要物体随圆筒一起匀速转动而未滑动，那么物体所受的摩擦力F1大小等于其重力。而依据向心力公式FN＝mω2r可知，当角速度ω变大时，FN也变大，故D正确。5．如下图，在光滑杆上穿着两个小球m1、m2，且m1＝2m2，用细线把两球连起来，当杆匀速转动时，两小球刚好能与杆保持无相对滑动，此时两小球到转轴的距离r1与r2之比为()A．1∶1 B．1∶eq\r(2)C．2∶1 D．1∶2解析：选D两个小球绕共同的圆心做圆周运动，它们之间的拉力互为向心力，角速度相同。设两球所需的向心力大小为Fn，角速度为ω，那么：对球m1∶Fn＝m1ω2r1，对球m2∶Fn＝m2ω2r2，由上述两式得r1∶r2＝1∶26.如下图，物体A、B随水平圆盘绕轴匀速转动，物体B在水平方向所受的作用力有()A．圆盘对B及A对B的摩擦力，两力都指向圆心B．圆盘对B的摩擦力指向圆心，A对B的摩擦力背离圆心C．圆盘对B及A对B的摩擦力和向心力D．圆盘对B的摩擦力和向心力解析：选B以A为讨论对象，B对A的静摩擦力指向圆心，供应A做圆周运动的向心力，依据牛顿第三定律，A对B有背离圆心的静摩擦力；以整体为讨论对象，圆盘对B肯定施加沿半径向里的静摩擦力，B项正确。7.如下图，一轨道由eq\f(1,4)圆弧和水平局部组成，且连接处光滑。质量为m的滑块与轨道间的动摩擦因数为μ。在滑块从A滑到B的过程中，受到的摩擦力的最大值为Ff，那么()A．Ff＝μmg B．Ff<μmgC．Ff>μmg D．无法确定Ff的值解析：选C当滑块刚要滑到水平轨道局部时，滑块对轨道的压力大于mg，故此时的滑动摩擦力Ff>μmg，C正确。8.(多项选择)如下图，两个物体以相同大小的初始速度从空中O点同时分别向x轴正负方向水平抛出，它们的轨迹恰好是抛物线方程y＝eq\f(1,k)x2，重力加速度为g，那么以下说法正确的选项是(曲率半径可认为等于曲线上该点的瞬时速度所对应的匀速率圆周运动的半径)()A．初始速度为eq\r(\f(kg,2)) B．初始速度为eq\r(2kg)C．O点的曲率半径为eq\f(1,2)k D．O点的曲率半径为2k解析：选AC因物体的运动为平抛运动，故由x＝vt，y＝eq\f(1,2)gt2可得：y＝eq\f(g,2v2)x2，对应抛物线方程y＝eq\f(1,k)x2可得：eq\f(g,2v2)＝eq\f(1,k)，可得初速度v＝eq\r(\f(kg,2))，选项A正确，B错误。在O点，小球只受重力，mg＝meq\f(v2,R)，解得O点的曲率半径R＝eq\f(v2,g)＝eq\f(1,2)k，选项C正确，D错误。9.(多项选择)摩天轮顺时针匀速转动时，重为G的游客经过图中a、b、c、d四处时，座椅对其竖直方向的支持力大小分别为Na、Nb、Nc、Nd，那么()A．Na<GB．Nb>GC．Nc>GD．Nd<G解析：选AC在b、d两点，合力方向指向圆心，即竖直方向上的合力为零，那么Nb＝Nd＝G。在a点，依据牛顿其次定律得G－Na＝meq\f(v2,R)，可知Na<G。在c点，依据牛顿其次定律得Nc－G＝meq\f(v2,R)，可知Nc>G，故A、C正确，B、D错误。10．(多项选择)如下图为赛车场的一个水平“U〞形弯道，转弯处为圆心在O点的半圆，内外半径分别为r和2r。一辆质量为m的赛车通过AB线经弯道到达A′B′线，有如下图的①、②、③三条路线，其中路线③是以O′为圆心的半圆，OO′＝r。赛车沿圆弧路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力为Fmax。选择路线，赛车以不打滑的最大速率通过弯道(所选路线内赛车速率不变，发动机功率足够大)，那么()A．选择路线①，赛车经过的路程最短B．选择路线②，赛车的速率最小C．选择路线③，赛车所用时间最短D．①、②、③三条路线的圆弧上，赛车的向心加速度大小相等解析：选ACD由几何关系可得，路线①、②、③赛车通过的路程分别为：(πr＋2r)、(2πr＋2r)和2πr，可知路线①的路程最短，选项A正确；圆周运动时的最大速率对应着最大静摩擦力供应向心力的情形，即μmg＝meq\f(v2,R)，可得最大速率v＝eq\r(μgR)，那么知②和③的速率相等，且大于①的速率，选项B错误；依据t＝eq\f(s,v)，可得①、②、③所用的时间分别为t1＝eq\f(π＋2r,\r(μgr))，t2＝eq\f(2rπ＋1,\r(2μgr))，t3＝eq\f(2rπ,\r(2μgr))，其中t3最小，可知线路③所用时间最短，选项C正确；在圆弧轨道上，由牛顿其次定律可得：μmg＝ma向，a向＝μg，可知三条路线上的向心加速度大小均为μg，选项D正确。11.利用如下图的方法测定细线的抗