分类讨论思想在中学数学中的应用毕业(设计)论文

分类讨论思想在中学数学中的应用 目录TOC\o"1-3"\h\uHYPERLINK摘要 TheApplicationofCategorizedDiscussioninSecondarySchoolMathematicsStudent:XXXXSupervisor:XXXAbstractThispapermainlystudiesthethoughtinthemiddleschoolmathematicsapplicationclassificationdiscussion,firstlyputsforwardtheconceptofclassificationtodiscussideasandtoemphasizetherequirementclassificationtodiscussideas,principlesandstandards;Thendiscussthethoughtoftheproblemsolvingillustratesclassificationroutinemethodandapplicationinmiddleschoolmathematics;Finally,basedonsomeproblemsinclassificationtoomuchdiscussionaboutthesituation,discussesthecategoriestoavoidclassificationmethodofthediscussion.Insolvingmathematicalproblems,discussapplicationofideas,throughthecorrectclassification,canmakethecomplicatedproblemisclear,complete,rigoroussolutions.Classificationdiscussedthoughtswhensolvesomemathproblems,thesolutionprocessincludesavarietyofcircumstances,needaccordingtothedifferentbetweentheobjectofstudy,accordingtoacertainstandardoftheoriginalproblemisdividedintoseveraldifferentcategories,andforeachtypeofanalysisanddiscussiontoonebyone,theneverykindofresultsandconclusiontocarryonthesummary,eventuallymakingthewholeissueresolvedingeneral.Keywords：properclassification；apply；categorizeddiscussionmethod；standards第一章前言1.1什么是分类讨论思想所谓的分类，就是把一个“类属念”分为若干个“种概念”的逻辑划分方法，用集合论的观点来说，假设讨论的对象的全集为I，按照一定的标准将集合划分若干个子集（i=1,2,3,…,n），使得（其中为空集，且i≠j).由于在研究问题过程中出现了不同情况，从而针对不同的情况进行分类讨论研究的思想，我们称之为分类讨论思想，其实质是一种逻辑划分的思想，是一种“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略．分类讨论思想，是一种重要的数学思想，也是一种逻辑方法，同时又是一种重要的解题策略．分类讨论思想具有较高的逻辑性及很强的综合性，有利于提高学生对学习数学的兴趣，培养学生思维的条理性，缜密性，科学性，所以在数学解题中占有重要的位置．1.2中学生为什么要学习分类讨论思想人的年龄在一定程度的时候，思维的训练就变得尤为重要，中学数学的各种概念、原则和法则不是杂乱无章的组合成的，而是在逻辑体系下展开的，这一数学特点决定了数学学习必须具有较强的逻辑推理能力，因此为了学生能建立起一个完善的数学思维体系和应对中学数学的学习任务，掌握分类思想是非常必要的.在解决数学问题时，对于因为存在一些不确定因素无法解答或者结论不能给予统一表述的数学问题，我们往往将问题按某个标准划分为若干类或若干个局部问题来解决，通过正确的分类，能够克服思维的片面性，可以使复杂的问题得到清晰，完整，严密的解答．第二章简述分类讨论思想2.1分类讨论的要求及其原则目前分类讨论的要求：正确应用分类讨论思想，是完整解题的基础．应用分类讨论思想解决问题，必须保证分类科学，统一，不重复，不遗漏，在此基础上减少分类，简化分类讨论过程．为了分类的正确性，分类讨论必需遵循一定的原则进行，在中学阶段，我们经常用到的有以下几大原则:(1）同一性原则在分类讨论过程中，每次划分的标准必须同一，也就是说每一次分类只能有一个依据，不能交叉使用几个不同的划分标准.因此，在每次分类欠，应当从分类对象的属性中，选只取一个属性作分类标准，即：分类应按照同一标准进行，即每次分类不能同时使用几个不同的分类根据．可以通过集合的思想来解释，如果把研究对象看作全集，是的子集并以此分类，且，则称这种分类符合同一性原则.它有两层含义：一是概念应该放在哪一类的衡量尺度；二是两个不同的概念要用同一把尺度来衡量，不然就会出现分类的结果重复或遗漏，使得我们的分类结果混淆不清.⑵互斥性原则分类后的每个子项应当互不相容，即做到各个子项相互排斥，分类后不能有些元素既属于这个子项，又属于另一个子项．即对于研究对象，是的子集，且作为分类的标准，若，则称这种分类符合互斥性原则．⑶相称性原则分类应当相称，即划分后子项外延的总和（并集），应当与母项的外延相等．⑷层次性原则分类有一次分类和多次分类之分，一次分类是对被讨论对象只分类一次；多次分类是把分类后的所有的子项作为母项，再次进行分类，直到满足需要为止．（5）合理性原则划分后的各个概念的外延总和，应当与被划分概念的外延相等（，称为完备性），划分后各个概念之间不能重叠，他们之间的关系应当是互不相容的（即为空集，且不等于，简称为互斥性），通常也把这个原则叫做不重复不遗漏.(6）逐级性原则在一些问题光靠一次分类处理是不够的，需对中的再次分类处理，则称为的二级分类，由此类推称为三级分类，四级分类等.比如一次函数的图像和性质，可以先按和分成两类进行讨论，然后每一类又可以细分为、、三种情况分别加以讨论.在同级分类分类标准中必须统一分类标准，但不要求同级用同一把尺子.2.2分类讨论的标准一个问题或事物要分类就必须具备三要素：母项、子项和根据.母项就是被划分的种概念，子项是被划分过后所得的类概念，划分的依据就是借以划分的标准.一个问题进行分类处理时，必须有一个标准.即必须根据对象本身的某种属性或关系来进行划分.由于客观事物有很多方面的属性，事物之间有很多方面的联系，所以分类的标准也是很多方面的，可以根据不同的方面对事物进行分类.但同一次分类都应该按照同一标准进行，所以我们分类标准应当服从于研究的目的或观察问题的角度.2.3分类讨论思想的常规方法2.1根据概念的属性分类有些数学概念本身就是分类定义的，比如绝对值的化简，直线与平面所成的角，所以对于这些概念问题是就可以分类讨论如求实数的绝对值，用一句话来概括比较困难，如果将这个数，按实数的分类（正数、零、负数）逐一解决，就容易多了.即在实数的运算中，也用到了分类思想，比如两数相加、两数相乘的法则，都是按同号、异号分别加以叙述的.例2.1化简。分析：了解了绝对值得分类标准，为了去掉绝对值号，可将实数分为三种情况：；；；分别加以讨论.当时；原式=当时；原式=当时；原式=例2.2有理数到有理数-1的距离是3，有理数到3的距离是5，且，求的值．分析:在数轴上，到有理数-1的距离是3的有理数有两个，一个是-4，另一个是2，即或；到3的距离是5的数也有两个，一个是-2，另一个是8，即或解:依题意得或或解得或或因为所以或所以的值为或，的值为或.2.3.2根据定理法则的适用范围分类有些数学公式本身就是分类形式给出的，比如等比数列前项和和公式、有理数乘法法则等.运用等比数列前项和公式求和，首先要判别其公比能否为进行判定，以等比数列公比q作为标准进行分类研究.许多法则、定理都有其分类讨论，如被开方数不能为负数.例2.3解方程分析：常见这种问题会想到同时在两边乘以，将原方程化简为；而忽视了是否等于.可以根据或两种情况.解：（1）当时；即当时；同时两边除以有即所以原方程的解为或2.3.3根据数形结合进行分类数形结合思想刻画了数量关系与图形运动的相互依存的关系，因图形位置不能确定或形状的变化，形状直观为我们提供分类讨论的方法，如求集合的交集、并集、补集时，可以用数轴来表述；以及一元二次方程的实数根分布借用二次函数与x轴交点情况进行讨论.例2.4如图2-1中，分别以直线上的点、、、、、为端点的线段共有多少条？图2-1分析：线段与是同一条直线，如依字母排列顺序表示线段，则一条线段就对应一个左端点，不妨以线段的左端点为标准进行分类计算.（1）以为左端点的线段有、、、、共5条；（2）以左为左端点的线段有、、、共4条；（3）以为端点的线段有、、共3条；（4）以为左端点的线段有、共2条；（5）以为左端点的线段仅有共1条.所以，共有条线段.2.3.4依据某些数学性质进行分类数学研究对象往往具备一定性质，如欧偶次方根的性质；二次函数、反比例函数、指数函数的相关性质；反三角函数的定义域、值域等，再利用这些函数的相关性质解题时，就需要根据这些性质成立的相关条件进行分类讨论处理.例2.5如用分类方法来讨论正比例函数的图像与性质：（1）当时，图像经过第一、三象限，随的增大而增大；当时，图像经过第二、四象限，随的增大而减小.例2.6用分类方法讨论一元二次方程的根的情况：（1）当时，方程有个相异实数根；（2）当时，方程有个相等实数根；（3）当时，方程没有实数根.2.3.5依据位置关系进行分类在几何问题中点与点，点与线，点与面，线与线，线与面等的位置关系是分类的依据，如异面直线上两点的距离；在排列组合问题中，有限制条件时，应当优先考虑特殊元素的位置关系来分类处理.例2.7、、是平面外的三点，他们到平面的距离分别为，求的重心到平面的距离.分析：如图2-2，由于点、、在平面外，且到平面的距离为，而他们可能在平面的同侧，也可能在异侧，因此要进行分类讨论.图2-2解：（1）当、、在平面同侧时，重心到平面的距离（2）当、在平面同侧，在另一侧时，（3）当、在平面同侧，在另一侧时，所以，的重心到平面的距离是2.3.6依据参数变化进行分类某些含有参数的数学问题，由于所含参数取值的不唯一，会导致所得结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的推演方法，这时就可以根据参数的不同取值情况进行分类讨论，比如在考虑正比例函数、二次函数的图像相关性质问题时，都会根据参数取值范围进行分类处理.例2.8直线的方程为,求直线的斜率与倾斜角.分析：这个问题用到直线斜率与倾斜角的得概念，这些概念都是分段定义的.是变量，导致都是会随的改变而改变，因此在解这类问题时需要分类讨论.解：（1）当时，因为直线方程为，所以直线的斜率不存在，倾斜角。（2）当时，因为，因此，当时，倾斜角当时，倾斜角根据直线斜率的定义：当倾斜角时，；当倾斜角时，不存在.所以（1）时，，的斜率不存在；（2）时，，的斜率为；（3）时，，的斜率为；注意，在应用直线斜率概念时，特别是直线运动时，要十分注意斜率是否可能不存在，否则会出现无解现象.2.3.7根据整数的奇偶性进行分类有些数学问题中，涉及到有关整数的问题，可以根据奇数、偶数分为两大类，其实这就是二分法的主要形式之一.所谓的二分法就是按概念的对象有无某一性质进行分类处理.例2.9已知数列的前和为，满足关系式，且，若，求(1)求及其数列的通项公式.（2）数列的前项的和．解：⑴当时，由，得；当时，由，得．，，即是首项为，公差为的等差数列，从而，．⑵当，即偶数时，；当，即奇数时，．综上所述．第三章分类讨论思想在中学数学中的应用3.1分类思想在集合中的应用在集合运算中也常常需结合元素与集合，集合与集合之间的关系分类讨论，尤其是对一些含参数的集合问题，常需要进行分类讨论求解．例3.1设且，求实数的取值范围．分析：当时的范围与实数取值的正负号，与2的大小均有关系，因此需针对分情况讨论研究，从而求出集合，再依据，计算出的取值范围．解：，．⑴当时，，因为，所以，解得，与矛盾．⑵当时，，因为，所以，解得，故．⑶当时，，因为，所以，解得，故．综上可得．3.2分类讨论思想在函数中的应用3.2.1分段函数中的分类讨论例3.2已知函数，作函数的图像．分析：为分段函数，没有固定统一的表达式，所以需安零点分区间研究．解：⑴当时，；⑵当时，；⑶当时，；即．故的函数图像为如图（3-1）所示:图3-13.2.2函数中含参数的分类讨论例3.3已知函数在区间上有最小值，记作，求的函数表达式．解：原式配方得，其对称轴方程为，⑴当时，即时，在上递增，在时，；⑵当时，即时，在处有最小值，；⑶当即时，在上单调递减，在时，；综上所述可得．3.3分类讨论思想在不等式中的应用3.3.1涉及运算要求的分类讨论我们在不等式的解题过程中，常常将式子进行变形或者转化成另外一个式子来解题和运算，许多变形与运算都是受相关条件限制的，比如解不等式当两边同时乘（除）以一个代数式时，要考虑代数式的正负.例3.4解不等式．分析：解此不等式需要去掉根号，而去掉根号时，需要考虑两边是否同为正，方能同时两边平方而不改变不等号方向，所以在解不等式应依据运算要求分类讨论研究.解：原不等式等价于，或；解得，或不等式解集为．3.3.2含参数不等式的分类讨论例3.5解关于的不等式．分析：原不等式是关于的一元二次不等式，可化为．因为和无法确定大小，该不等式没办法继续解下去，所以要对进行讨论，讨论的标准是与的大小上．解：⑴当时，，不等式的解集为；⑵当时，，不等式解集为；⑶当时，，不等式解集为；⑷当或时，，不等式解集为．3.4分类讨论思想在排列组合中的应用分类讨论思想在排列组合十分广泛，尤其是在解决有约束条件的排列组合问题时，分类讨论的方法可以把复杂的问题转化为简单的问题．例3.6在正方体的八个顶点，条棱的中点，六个面的中心及正方体的中心一共二十七个点，共线的三点组的个数是多少？解：依题意，共线的三点组可以分为三类:⑴两端点皆为顶点的共线三点组，共有（组）；⑵两端点皆为面的中心的共线三点组，共有（组）；⑶两端点皆为各棱中点的共线三点组，共有（组）；所以总共有（组）．例3.7甲、乙、丙位志愿者安排在周一至周五的天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一个人，并要求安排甲在另外两位前面，不同的安排共有多少方法？解：本题考查排列组合，按甲参加的日期分类:⑴甲周一参加，丙和乙在剩下的天中选两天参加，共有种；⑵甲周二参加，同理可知有种；⑶甲周三参加，有种；根据加法原理可知，总共有种．3.5分类讨论思想在数列中的应用在某些数列问题中也存在不确定的因素，比如等比数列的公比是否为；数列的项的个数为偶数还是奇数等等，就那样的数列问题，我们要进行分类讨论．例3.8已知数列求它的前项和．分析：本题未指明数列为等比数列，所以分类讨论时还要考虑这一情况．解：设，⑴当时，；⑵当时，；⑶当且时，由，得，两式相减:，．综上所述．3.6分类讨论思想在圆锥曲线中的应用例3.10如图（3-2）所示，给定点和直线上的动点，的角平分线交于点，求点的轨迹方程，并说什么曲线．图3-2分析：因为动点因点在直线上的位置的变动而变化，故设出点的坐标，为参数；由题意知点应为的表达式，消去参数，即得点的轨迹方程．本体的关键是如何求点的坐标，方法有多种，如利用角平分线的定义，性质可得．解：依题意，记，则直线和的方程分别为和．设点，则有，由点到直线的距离公式得①点在直线上，故，由得②将②代入①得．⑴若，则；⑵若，则，，点的坐标为，满足上式．综上得点的轨迹方程为此轨迹方程里含有参数，因参数的值的不同而导致曲线的形状不同，从而需要对参数分情况讨论．Ⅰ当时，方程化为③此时，方程③表示为抛物线弧段；Ⅱ当时，轨迹方程为④所以，当时，方程④表示椭圆弧段，当时，方程④表示双曲线支的弧段．3.7分类讨论思想在立体几何中的应用点，线，面是组成几何图形的三个要素，有些立体几何题中，这三者的位置关系是不确定的，因此要对每种情况进行分类讨论求解，这样防止漏解．下面一题是涉及点与线的位置关系不确定的分类讨论．例3.11线段与平面平行，平面的斜线与平面所称的角分别且，，，求与平面的距离．分析：作，垂足为，则即为所求距离．作，垂足为，，由已知可证面，同理可证面，面面，由面面平行的性质定理可知．考虑到在的同侧或异侧，所以分两种情况讨论．解：⑴如图（3-3），在的同侧时，过点作，垂足为，由已知，设，则可用表示，在中，利用勾股定理列方程，解得．图3-3图3-4⑵如图（3-4），在异侧时，在平面α内作，交其延长线于，同理可得3.8分类讨论思想在实际问题中的应用近几年来，高、中考的考试命题从知识转向能力测试，出现了许多有鲜活背景的实际应用题。这种实际应用问题，常常需要有分类讨论的思想才能顺利解决．其解题思路是：用数学的语言加以表达和交流，敏捷的接受试题所提供的信息，并和所学的有关知识相结合，确定适当的分类标准，把一个复杂的应用题分解成几个较简单的问题，从而使问题获解．例3.12有一批货物，如在本月初出售，可获利10万元，然后将本利都存入银行，每月利率为，如在下月出售，可获利万元，但要付万元货物保管费，试问这批货物在本月初出售合算还是下月初出售合算?解：设这批货物的成本万元．⑴若这批货物在本月初出售，将本利存入银行，到下月初货主有金额；⑵若这批货物在下月初出售，货主有金额为；⑶，当成本时，应该本月初出售合算；当成本时，在本月初出售或下月初出售都一样；当成本时，在下月初出售合算．第四章分类思想的延伸分类讨论是一种重要的解题策略，但他不是万能的，不是唯一的，对于分类讨论的问题，在熟悉和掌握分类讨论的同时，要注意克服盲目讨论的思维定势，要认真审查题目的特点，充分挖掘题中潜在的特殊性和简单性，尽可能避免分类讨论，简化分类讨论过程，从而提高分类讨论的效果．下面对于避免和简化分类讨论简单举例说明：4.1绝对值平方法例4.1已知，且，比较和的大小。分析：式中出现了字母系数以及实数绝对值的概念，从而引起分类讨论。但是，采取合理策略，此题也可以避免分类讨论.解：若，所以可以比较与的大小。。。又因为又因为所以，即所以4.2分离变量法例4.2关于的方程在内有解，求实数的取值范围.分析：由于一元二次方程中出现了字母系数，从而引起了分类讨论。此题一般做法是：设一元二次方程有实数根，分三类讨论：（1）且；（2）且；（3）且。如果我们把方程转化为函数，进行变量分离，就可以避免分类讨论.解：，若令则原问题就可以变为求的值域，就可以使问题迎刃而解.因为，等号仅当时成立，此时有而在上是减函数，所以，所以即当时，方程在有实数解.4.3换元法例4.3已知函数。若时，恒有，求实数的取值范围.分析：由对任意恒成立在上成立成立，即成立.因此只要求出的最大值即可.解：设，则而所以的最大值是，所以时，恒成立。4.4方程和函数的转化法例4.4若关于的一元二次方程在内有两个不相等的实数根，求实数的取值范围.分析：若设，它的图像是抛物线，当时，开口向上，当时，开口向下，因此要分两类讨论.由于，原方程可以化为：而的图像抛物线开头朝上，这就避免了分类讨论.解：由题意得：，即解之得4.5换元法在处理很多问题时，正面分类讨论时情况众多，需多次分类容易出错，而问题的反面简单明了例如下面问题.例4.5关于的方程至少有1个负实数根，实数的取值范围．分析：本题若正面考虑，则必须分为下列3种情况加以讨论:⑴有两个根都小于；⑵有一个根大于和一个根小于；⑶有一个根小于和一个根为．显然，这样解题过程繁琐冗长，又容易产生错误．我们可以从命题的反面入手，即先从方程没有负实数根时探求实数的范围，再求出至少有一个负实数根时的范围（为的补集）．解：设全集，设方程没有负实数根，即只有正实数根或零根时的范围为集合由，得．所以，即．所以集合的补集是．故实数的取值范围是总结本文通过探究分类讨论思想在集合，函数，不等式，排列组合等方面的应用，进一步阐释分类思想的要求、标准与分类讨论方法.我们要了解分类讨论思想的分类原则，正确应用分类讨论思想，对问题的不同情况进行分类研究，使问题化整为零，各个击破，再积零为整，从而使复杂的问题得到清晰，完整，严密的解答．分类讨论的思想方法在解决某些数学问题时，其解决过程包括多种情形，不可一概而论，难以用统一的形式或同一种方法进行处理，需要根据所研究的对象存在的差别，按一定标准把原问题分为几个不同的种类，并对每一类逐一地加以分析和讨论，再把每一类结果和结论进行汇总，最终使得整个问题在总体上得到解决．参考文献[1]刘文武.中学数学中重要的数学思想—分类讨论思想[M]，科学出版社，2003.11.4.[2]曹军.数学开放题及其教学研究[M]，南京师范大学出版社，2001.[3]陈光立.最新高中数学应用开放题大全[M]，第一版，吉林教育出版社，2004.5.[4]吕凤祥.中学数学解题方法[M]，哈尔滨工业大学出版社，2003.[5]张绍春.名师视点（高中数学—不等式）[M]，东北师范大学出版社，2007.3.1.[6]吕巍.分类讨论思想在初中数学中运用的一些思考，科学大众：科学教育，2011[7]HYPERLINK"/s?wd=auth