已知递推关系求数列通项的常见类型

已知递推关系求数列通项的常见类型钟祥一中陈国仿普通高中课程标准实验教科书数学⑤（必修）第二章《数列》的考题B组题6：已知数列{an}中，a1=5，a2=2，an=2an-1+3an-2(n≥3)，对于这个数列的通项公式作一研究，能否写出它的通项公式？可以看到，新课程改革对递推数列的要求比旧教材更高，现将常见的由递推关系求数列通项的情形归纳如下：1、an+1－an＝f(n)型当f(n)为常数时，即为等差数列；当f(n)不为常数时，这类数列，可考虑利用累加法.例1：已知数列{an}中，a1=1，且an+1－an＝3n，求数列{an}的通项公式解：由于本例给出了数列{an}中连续两项的差，故可考虑用累加法求解an＝（an－an-1）＋（an-1－an-2）＋…＋（a3－a2）＋（a2－a1）＋a1＝3n-1＋3n-2＋…＋3＋1＝＝练习1：已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋2，求an.答：（）2、＝f(n)型当f(n)为非零常数时，即为等比数列，当f(n)不为常数时，这类数列，可考虑利用累乘或迭代法.例2：在数列{an}中，已知＝，且a1＝1，求通项an解：由于本例给出了连续两项的比，故可考虑用累乘法求解.an＝···…···a1＝···…···1＝n练习：已知＝，a1＝1，求数列{an}的前n项和答：先求得an=，进而Sn＝3、an＋1＝λan＋μ型对于形如an＋1＝λan＋μ型所决定的数列{an}的通项公式，我们可以设an＋1＋x=λ（an＋x），从而构造一个数列{an+x}，它是一个首项为a1＋x，公比为λ的等比数列，从而得到数列{an}的通项公式例3：已知an＋1＝an＋，且a1＝，求数列{an}的通项公式解：由于an＋1＝an＋可变形为an＋1－＝（an－）故数列{an－}是以a1－＝为首项，为公比的等比数列∴an－＝（）n∴an＝（）n＋练习3：①已知a1＝，且3an＋1－an－1＝0，求数列的通项an答：an＝（）n-1+②已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋3，求an答：an＝2n+1－34、an＋1＝λan＋n＋β型对于此种递推关系，可变形为an＋1＋p(n+1)＋q＝λ（an＋pn＋q），使数列{an＋pn＋q}为一个等比数列，从而求得数列{an}的通项公式例4：已知数列{an}中，an＋1＝2an＋3n＋2，且a1＝1，求通项an解：设an＋1＋p(n+1)＋q＝2（an＋pn＋q），比较得，p=3，q=5从而有an＋1＋3（n+1）+5＝2（an＋3n＋5）所以{an＋3n＋5}是首项为a1+3×1＋5＝9，公比为2的等比等列∴an＋3n＋5＝9×2n-1∴an＝9×2n-1－3n－5练习4：①已知an＋1＝an＋2n＋，a1＝2，求数列{an}的通项an及前n项和Sn答：an＝（）n-1＋3n－2，Sn＝＋－×（）n②已知an＋1＝3an＋4n＋4，且a1＝2，求通项an答：an＝7×3n-1－2n－35、an＋1＝λan＋p·λn型当λ＝1时，即为等差数列，当λ≠1时，对于此种递推关系，可两边同除以λn得到数列{}为等差数列例5：已知an＋1＝2an＋2n，且a1＝3，求通项an解：由an＋1＝2an＋2n可得－＝1∴数列{}是首项为＝3，公差为1的等差数列∴＝3＋（n－1）×1＝n＋2∴an＝（n＋2）×2n-1练习5：已知an＋1＝3an+3n，且a1＝2，求通项an答：an＝（n＋1）×3n-16、an＋1＝λan＋μqn（q≠λ）型当λ＝1时，即为类型1，当λ≠1时，对于此种类型的递推关系，可变形为an＋1＋p×qn+1＝λ（an＋p·qn）得到{an＋p·qn}为一等比数列例6：已知数列{an}满足an＋1＝3an＋2n，且a1=1，求通项an解：由于an＋1＝3an＋2n可变形为an＋1＋2n+1＝3（an＋2n）∴{an＋2n}是首项为a1+2=3，公比为3的等比数列∴an＋2n＝3n∴an＝3n－2n练习6：①已知an＋1＝2an＋3n，且a1=2，求通项an答：an＝3n－2n－1②已知an＋1＝4an＋3×2n+1，a1=1，求通项an答：an=7×4n-1－3×2n7、a＝λan型对于此种类型的递推关系，两边取对数，即化为类型③例7：已知a＝4an，且a1=1，求通项an解：由a＝4an两边取对数得2logan＋1＝logan＋2∴logan＋1＝logan＋1从而可得logan＋1－2＝(logan－2)∴{logan－2}是首项为－2，公比为的等比数列∴logan－2＝－2×（）n-1∴an＝2练习7：已知a＝3an，且a1＝9，求通项an答：an＝38、含an＋1an与an＋1±an对于形如an＝的递推数列，总能取倒，化为类型3，进而求出通项an例：已知3anan－1＋an－an－1＝0，a1＝，求通项an解：由3anan－1＋an－an－1＝0，得an＝取倒得＝＝＋3∴－＝3∴{}是首项为＝2，公差为3的等差数列∴＝2＋（n－1）×3＝3n－1∴an＝练习8：①已知3anan－1＋an＋an－1＝0，a1＝，求通项an答：an＝②已知an＝，a1＝2，求通项an答：an＝9、an－1＝型对于此种递推关系，当b=0时，此即类型8，当b≠0时，可两边同加上常数λ，化为类型8例9：数列{an}中，已知a7＝4，且an+1＝，求数列{an}的最小项与最大项解：设an+1+λ=令，得λ=－2∴an+1－2=∴==－∴{}等差∴=+（n－7）×（－）=∴an＝2＋＝2－∴a9最大，a9＝12，a10最小，a10＝－8练习9：①数列{an}中，已知a5＝6，an+1＝，求通项an答：an＝3＋＝②数列{an}中，已知a5＝6，an+1an－an+1－7an＋16＝0，求通项an答：an＝10、an+2＝pan+1+qan型对此种类型的递推关系，可设an+2+λan+1=μ（an+1+λan），其中λ、μ满足，从而得到数列{an+1+λan}