定积分的概念（公开课）

1.5定积分的概念一、探究：如何求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积？

(2)以直代曲:任取zi[xi-1,xi]，第i个小曲边梯形的面积用高为f(zi),宽为Dx的小矩形面积f(zi)Dx近似地去代替.

(4)逼近:所求曲边梯形的面积S为

(3)求和:取n个小矩形面积的和作为曲边梯形面积S的近似值：xi-1y=f(x)xyObaxiZi

(1)分割:在区间[a,b]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成n个小区间:每个小区间宽度⊿x总结:求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法有理由相信，分点越来越密时，即分割越来越细时，矩形面积和的极限即为曲边形的面积。（1）分割

（2）近似代替

把这些矩形面积相加作为整个曲边形面积S的近似值。

（4）取极限

(3)求和如果当n+∞时，Sn

就无限接近于某个常数，这个常数为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,通过“四个步骤”:分割---以直代曲----求和------逼近.设函数f(x)在区间[a,b]上有定义,将区间[a,b]分成n个小区间,每个小区间的长度为△xi,记d为这些小区间长度的最大者，当d趋近于0时，所有的小区间长度都趋近于0.在每个区间上取一点,依次为z1,z2,…zi,…zn.作和

Sn=f(z1)

△x1+f(z2)

△x2+…+f(zi)

△xi+…+f(zn)△xn,如果d无限趋近于0(亦即n趋向于+∞)时,Sn无限趋近于常数S,那么称该常数为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作二、定积分的定义定积分的相关名称：

———叫做积分号，f(x)dx—叫做被积表达式，

f(x)——叫做被积函数,

x———叫做积分变量，

a———叫做积分下限，

b———叫做积分上限，

[a,b]—叫做积分区间。被积函数被积表达式积分变量积分下限积分上限1.由曲线y=x2+1与直线x=1,x=3及x轴所围成的曲边梯形的面积,用定积分表示为____________.2.中,积分上限是___,积分下限是___,积分区间是______2-2[-2,2]练习：说明：定积分是一个数值,它只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关，即例1：利用定积分的定义,计算的值.

变式训练

三.定积分的几何意义.当

f(x)≥0，定积分

的几何意义就是bAoxyay=f(x)S曲线y=f(x)直线x=a，x=b，

y=0所围成的曲边梯形的面积当函数f(x)0，x[a,b]时

定积分几何意义就是位于x

轴下方的曲边梯形面积的相反数.oxyaby=f(x)S当函数f(x)在x[a,b]有正有负时,

定积分几何意义就是图中几个曲边图形面积的代数和,(x轴上方面积取正号,x轴下方面积取负号)OXS2S1yS3abyf(x)Oxy探究:根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分的面积?abyf(x)Oxy

1求下列定积分:(1)例2:

(2)求定积分，只要理解被积函数和定积分的意义，并作出图形，即可解决。变式：用定积分表示下列阴影部分面积

S=______;S=______;S=______;y=sinxXOyXOy5-1y=x2-4x-5XOyy=cosx四.

定积分的基本性质性质1.性质2.四.

定积分的基本性质定积分关于积分区间具有可加性性质3.Oxyabyf(x)Ｃ2c1五、小结:１．定积分的实质：特殊和式的逼近值．２．定积分的思想和方法：分割化整为零求和积零为整取逼近精确值——定积分求近似以直（不变）代曲（变）取逼近3.定积分的几何意义及简单应用作业:课本P50第4题第5题（2）（3）从前面的学习中可以发现，虽然被积函数非常简单，但直接用定积分的定义计算的值却比较麻烦，对于有些定积分，直接用定义计算几乎是不可能的事，那么有没有更加简