方程与方程组的迭代解法

方程与方程组的迭代解法第一页，共六十九页，编辑于2023年，星期六引言第二页，共六十九页，编辑于2023年，星期六6.1方程求根法试探法与二分法迭代法及其收敛条件迭代法收敛速度加速收敛技术牛顿迭代法弦割法第三页，共六十九页，编辑于2023年，星期六6.1.1试探法和二分法理论依据：第四页，共六十九页，编辑于2023年，星期六试探法第五页，共六十九页，编辑于2023年，星期六二分法（区间平分法）第六页，共六十九页，编辑于2023年，星期六于是第七页，共六十九页，编辑于2023年，星期六求方程f(x)=0的根的二分法算法第八页，共六十九页，编辑于2023年，星期六例题例设方程解：取h=0.1,扫描得：又即在有唯一根。第九页，共六十九页，编辑于2023年，星期六有根区间：[1.300000000,1.400000000][1.300000000,1.350000000][1.300000000,1.325000000][1.312500000,1.325000000][1.318750000,1.325000000][1.321875000,1.325000000][1.323437500,1.325000000][1.324218750,1.325000000][1.324609375,1.325000000]x≈1.32480f=3.6990*10^(-4)第十页，共六十九页，编辑于2023年，星期六6.1.2迭代法及收敛性对于有时可以写成形式

如：第十一页，共六十九页，编辑于2023年，星期六迭代法及收敛性

考察方程。这种方程是隐式方程，因而不能直接求出它的根，但如果给出根的某个猜测值，代入中的右端得到，再以为一个猜测值，代入的右端得反复迭代得第十二页，共六十九页，编辑于2023年，星期六迭代法及收敛性

若收敛，即

故是的一个根第十三页，共六十九页，编辑于2023年，星期六迭代法的几何意义

交点的横坐标y=x第十四页，共六十九页，编辑于2023年，星期六简单迭代法

将变为另一种等价形式。选取的某一近似值，则按递推关系产生迭代序列。这种方法称为简单迭代法。第十五页，共六十九页，编辑于2023年，星期六例题第十六页，共六十九页，编辑于2023年，星期六例题精确到小数点后五位第十七页，共六十九页，编辑于2023年，星期六例题但如果由建立迭代公式仍取，则有，显然结果越来越大，是发散序列第十八页，共六十九页，编辑于2023年，星期六迭代法的收敛性第十九页，共六十九页，编辑于2023年，星期六迭代收敛定理证明：不失一般性，不妨设否则为方程的根。首先证明根的存在性令

第二十页，共六十九页，编辑于2023年，星期六迭代收敛定理

则，即由条件2）是上的连续函数所以是上的连续函数。故由零点定理在上至少有一根第二十一页，共六十九页，编辑于2023年，星期六迭代收敛定理再证根的唯一性设有均为方程的根则因为0<L<1，所以只可能，即根是唯一的。第二十二页，共六十九页，编辑于2023年，星期六迭代收敛定理最后证迭代序列的收敛性

与n无关，而0<L<1

即第二十三页，共六十九页，编辑于2023年，星期六迭代收敛定理误差估计

若满足定理条件，则

这是事后估计，也就是停机标准。L越小，收敛速度越快。

这是事前估计。选取n，预先估计迭代次数。

第二十四页，共六十九页，编辑于2023年，星期六第二十五页，共六十九页，编辑于2023年，星期六例题例证明函数在区间[1,2]上满足迭代收敛条件。证明：第二十六页，共六十九页，编辑于2023年，星期六例题

第二十七页，共六十九页，编辑于2023年，星期六例题若取迭代函数，不满足收敛定理，故不能确定收敛到方程的根。第二十八页，共六十九页，编辑于2023年，星期六简单迭代收敛情况的几何解释第二十九页，共六十九页，编辑于2023年，星期六6.1.3迭代收敛速度迭代法收敛的阶定义设序列收敛到，若有实数和非零常数C，使得其中，，则称该序列是p

阶收敛的，C

称为渐进常数。

第三十页，共六十九页，编辑于2023年，星期六迭代法收敛的阶当p=1时，称为线性收敛；当p>1时，称为超线性收敛；当p=2时，称为平方收敛或二次收敛。迭代法p阶收敛的充要条件是：迭代函数满足第三十一页，共六十九页，编辑于2023年，星期六6.1.4加速收敛技术第三十二页，共六十九页，编辑于2023年，星期六第三十三页，共六十九页，编辑于2023年，星期六6.1.5Newton迭代法第三十四页，共六十九页，编辑于2023年，星期六Newton迭代法

去掉的二次项，有：即以x1代替x0重复以上的过程，继续下去得：第三十五页，共六十九页，编辑于2023年，星期六Newton迭代法

第三十六页，共六十九页，编辑于2023年，星期六Newton迭代法几何解释

几何意义第三十七页，共六十九页，编辑于2023年，星期六例用牛顿法求的近似解。解：由零点定理：第三十八页，共六十九页，编辑于2023年，星期六例题例用Newton法计算解：第三十九页，共六十九页，编辑于2023年，星期六Newton迭代法算法框图第四十页，共六十九页，编辑于2023年，星期六Newton迭代法算法第四十一页，共六十九页，编辑于2023年，星期六Newton迭代法收敛性定理设函数，且满足若初值满足时，由Newton法产生的序列收敛到在[a,b]上的唯一根。第四十二页，共六十九页，编辑于2023年，星期六Newton迭代法收敛性证明：根的存在性根的唯一性第四十三页，共六十九页，编辑于2023年，星期六Newton迭代法收敛性收敛性第四十四页，共六十九页，编辑于2023年，星期六Newton迭代法收敛性

第四十五页，共六十九页，编辑于2023年，星期六Newton迭代法收敛性第四十六页，共六十九页，编辑于2023年，星期六Newton迭代法收敛性推论在定理条件下，Newton迭代法具有平方收敛速度。第四十七页，共六十九页，编辑于2023年，星期六Newton迭代法的变形第四十八页，共六十九页，编辑于2023年，星期六6.2.4弦截法Newton迭代法有一个较强的要求是且存在。因此，用弦的斜率近似的替代。

第四十九页，共六十九页，编辑于2023年，星期六弦截法令y=0,解得弦与x轴的交点是坐标x2第五十页，共六十九页，编辑于2023年，星期六弦截法第五十一页，共六十九页，编辑于2023年，星期六弦截法的几何解释第五十二页，共六十九页，编辑于2023年，星期六弦截法收敛定理第五十三页，共六十九页，编辑于2023年，星期六6.2线性方程组迭代解法

迭代法适用于系数矩阵为稀疏矩阵的方程组.基本迭代法基本迭代法的收敛条件第五十四页，共六十九页，编辑于2023年，星期六6.2.1基本迭代法(Jacobi迭代法)第五十五页，共六十九页，编辑于2023年，星期六第五十六页，共六十九页，编辑于2023年，星期六6.2.1基本迭代法(Seidel迭代法)第五十七页，共六十九页，编辑于2023年，星期六第五十八页，共六十九页，编辑于2023年，星期六6.2.1基本迭代法(SOR迭代法)第五十九页，共六十九页，编辑于2023年，星期六6.2.2基本迭代法收敛条件第六十页，共六十九页，编辑于2023年，星期六迭代收敛定理第六十一页，共六十九页，编辑于2023年，星期六例6.4判断求解AX=b的三种迭代法是否收敛，其中A为第六十二页，共六十九页，编辑于2023年，星期六第六十三页，共六十九页，编辑于2023年，星期六(2)A对称正定，但|2D-A|=0,说明2D-A不正定，故Jacobi迭代发散，0<ω<2时SOR迭代收敛；(3)A为严格对角占优矩阵，故Jacobi迭代收敛，