机器学习第四章

机器学习第四章第一页，共一百零六页，编辑于2023年，星期日频率域图像增强本章要点背景知识

傅立叶变换频率域滤波基础频率域平滑滤波器频率域锐化滤波器同态滤波器需要注意的问题第二页，共一百零六页，编辑于2023年，星期日背景知识系统：线性系统：对于某特定系统，有

x1(t)y1(t)

x2(t)y2(t)该系统是线性的当且仅当：x1(t)+x2(t)y1(t)+y2(t)从而有：a×x1(t)a×y1(t)系统x(t)输入y(t)输出第三页，共一百零六页，编辑于2023年，星期日背景知识线性系统平移不变性对于某线性系统，有：

x

(t)y

(t)当输入信号沿时间轴平移T，有：

x

(t-T)y

(t-T)则称该线性系统具有平移不变性第四页，共一百零六页，编辑于2023年，星期日背景知识卷积的定义:对于一个线性系统的输入f(t)和输出h(t)，如果有一个一般表达式，来说明他们的关系，对线性系统的分析，将大有帮助卷积积分: 记为第五页，共一百零六页，编辑于2023年，星期日背景知识离散一维卷积二维卷积离散二维卷积第六页，共一百零六页，编辑于2023年，星期日背景知识傅立叶变换:周期函数可以表示为不同频率的正弦和/或余弦和的形式非周期函数可以用正弦和/或余弦乘以加权函数的积分来表示—这种情况下的公式就是傅立叶变换第七页，共一百零六页，编辑于2023年，星期日频率域图像增强本章要点背景知识傅立叶变换

频率域滤波基础频率域平滑滤波器频率域锐化滤波器同态滤波器需要注意的问题第八页，共一百零六页，编辑于2023年，星期日傅立叶变换一维傅立叶变换 设函数f(x)在任一有限区域(-L,L)上满足：1）具有有限个间断点；2）具有有限个极值点；3）绝对可积，则其傅立叶变换定义为

其逆变换为 第九页，共一百零六页，编辑于2023年，星期日傅立叶变换函数f(x)的傅立叶变换后一般是一个复量，它可以用下式表示：第十页，共一百零六页，编辑于2023年，星期日傅立叶变换傅立叶变换中的变量u通常称为频率变量这个名称源于欧拉公式中的指数项

exp[-j2ux]=cos2ux-jsin2ux

如果把傅立叶变换的积分解释为离散项的和，易推出F(u)是一组sin和cos函数项的无限和，其中u的每个值决定了其相应cos,sin函数对的频率第十一页，共一百零六页，编辑于2023年，星期日傅立叶变换例：为右图所示的简单矩形函数f(x)，求其傅立叶变换F(u)。第十二页，共一百零六页，编辑于2023年，星期日傅立叶变换第十三页，共一百零六页，编辑于2023年，星期日傅立叶变换二维连续傅立叶变换：如果二维函数f(x,y)满足狄里赫莱条件，则将有下面的傅立叶变换对存在：二维傅立叶变换的傅立叶谱和相位谱为：第十四页，共一百零六页，编辑于2023年，星期日傅立叶变换例：求如图所示的函数的傅立叶谱xyf(x,y)Af(x,y)函数第十五页，共一百零六页，编辑于2023年，星期日傅立叶变换其傅立叶变换为：其傅立叶谱为：第十六页，共一百零六页，编辑于2023年，星期日傅立叶变换第十七页，共一百零六页，编辑于2023年，星期日傅立叶变换离散傅立叶变换：由于实际问题的时间或空间函数的区间是有限的，或者是频谱有截止频率离散傅立叶变换(DiscreteFourierTransform－简称DFT)在数字信号处理和数字图像处理中应用十分广泛，它建立了离散时域和离散频域之间的联系第十八页，共一百零六页，编辑于2023年，星期日傅立叶变换一维离散傅立叶变换第十九页，共一百零六页，编辑于2023年，星期日傅立叶变换第二十页，共一百零六页，编辑于2023年，星期日傅立叶变换

矩阵表示第二十一页，共一百零六页，编辑于2023年，星期日傅立叶变换第二十二页，共一百零六页，编辑于2023年，星期日傅立叶变换二维傅立叶变换：第二十三页，共一百零六页，编辑于2023年，星期日傅立叶变换第二十四页，共一百零六页，编辑于2023年，星期日傅立叶变换二维离散傅立叶变换特性可分离性平移性分配性和比例变换性旋转特性周期与共轭对称均值性卷积与相关微分第二十五页，共一百零六页，编辑于2023年，星期日傅立叶变换可分离性二维离散傅立叶变换DFT可分离性的基本思想是：

二维DFT可分离为两次一维DFT应用：

二维快速傅立叶算法FFT，是通过计算两次一维FFT实现的第二十六页，共一百零六页，编辑于2023年，星期日傅立叶变换先对行做变换：然后对列进行变换：f(x,y)（0，0）（N-1，M-1）xyF(x,v)（0，0）（N-1，M-1）xvF(x,v)（0，0）（N-1，M-1）xvF(u,v)（0，0）（N-1，M-1）uv第二十七页，共一百零六页，编辑于2023年，星期日傅立叶变换平移性当u0=M/2,v0=N/2第二十八页，共一百零六页，编辑于2023年，星期日傅立叶变换分配性和比例变换性对于系数a和b第二十九页，共一百零六页，编辑于2023年，星期日傅立叶变换旋转特性：如果f(x,y)旋转了一个角度，那么f(x,y)旋转后的图象的傅立叶变换也旋转了相同的角度。对图像的旋转变换和傅立叶变换的顺序是可交换的第三十页，共一百零六页，编辑于2023年，星期日傅立叶变换周期与共轭对称周期性共轭对称：傅立叶变换结果是以原点为中心的共轭对称函数第三十一页，共一百零六页，编辑于2023年，星期日傅立叶变换第三十二页，共一百零六页，编辑于2023年，星期日傅立叶变换均值性:离散函数的均值等于该函数傅立叶变换在(0,0)点的值第三十三页，共一百零六页，编辑于2023年，星期日傅立叶变换卷积与相关:空域和频域之间的基本联系卷积定理相关定理第三十四页，共一百零六页，编辑于2023年，星期日傅立叶变换微分等于傅立叶谱乘以项，相当于传递函数随频率平方增加的线性系统。第三十五页，共一百零六页，编辑于2023年，星期日傅立叶变换由于图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面空间上的梯度。如：大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的区域，对应的频率值很低；而对于地表属性变换剧烈的边缘区域在图像中是一片灰度变化剧烈的区域，对应的频率值较高。傅立叶变换在实际中的物理意义，设f是一个能量有限的模拟信号，则其傅立叶变换就表示f的谱。从纯粹的数学意义上看，傅立叶变换是将一个函数转换为一系列周期函数来处理的。从物理效果看，傅立叶变换是将图像从空间域转换到频率域，其逆变换是将图像从频率域转换到空间域。换句话说，傅立叶变换的物理意义是将图像的灰度分布函数变换为图像的频率分布函数，傅立叶逆变换是将图像的频率分布函数变换为灰度分布函数。第三十六页，共一百零六页，编辑于2023年，星期日傅立叶变换快速傅立叶变换Why?对u的M个值中的每一个都需进行M次复数乘法和和M-1次加法，即复数乘法和加法的次数都正比于M2快速傅里叶变换(FFT)则只需要Mlog2M次运算计算量之比是log2M/M，如M=1024≈103,则原始变换算法需要106次计算，而FFT需要104次计算，FFT与原始变换算法之比是1：100第三十七页，共一百零六页，编辑于2023年，星期日傅立叶变换第三十八页，共一百零六页，编辑于2023年，星期日傅立叶变换第三十九页，共一百零六页，编辑于2023年，星期日频率域图像增强本章要点背景知识傅立叶变换频率域滤波基础频率域平滑滤波器频率域锐化滤波器同态滤波器需要注意的问题第四十页，共一百零六页，编辑于2023年，星期日频率域滤波基础频率域滤波原理边、噪音、变化陡峭部分变化平缓部分uv第四十一页，共一百零六页，编辑于2023年，星期日频率域滤波基础频率域滤波原理边、噪音、变化陡峭部分变化平缓部分uv第四十二页，共一百零六页，编辑于2023年，星期日频率域滤波基础第四十三页，共一百零六页，编辑于2023年，星期日频率域滤波基础频域增强的处理方法用（-1）x+y

×f(x,y)进行中心变换计算出它的傅立叶变换F(u,v)选择一个变换函数H(u,v)，计算H(u,v)F(u,v)（并非到空域找）计算出它的反傅立叶变换用（-1）x+y乘以上面结果的实部，得目标图像H(u,v)被称为滤波器，常用术语为滤波器传递函数第四十四页，共一百零六页，编辑于2023年，星期日频率域滤波基础第四十五页，共一百零六页，编辑于2023年，星期日频率域滤波基础陷波滤波器：离散函数的均值等于该函数傅立叶变换在(0,0)点的值，如在频率域设置此项为零，并进行反变换，则结果图像的平均值将为零。第四十六页，共一百零六页，编辑于2023年，星期日频率域滤波基础陷波滤波器：非常适合于可以识别由特定的、局部化频率成分引起的空间图像效果时第四十七页，共一百零六页，编辑于2023年，星期日频率域滤波基础第四十八页，共一百零六页，编辑于2023年，星期日频率域滤波基础频域增强与空域增强的关系空间域和频率域中的滤波器组成傅立叶变换对在实践中，小的空间模板比傅立叶变换用得多得多，因为它们易于实现，操作快捷。对于很多在空域上难以表述清楚的问题，对频域概念的理解就显得十分重要（如压缩)第四十九页，共一百零六页，编辑于2023年，星期日频率域滤波基础第五十页，共一百零六页，编辑于2023年，星期日频率域图像增强本章要点背景知识傅立叶变换频率域滤波基础频率域平滑滤波器频率域锐化滤波器同态滤波器需要注意的问题第五十一页，共一百零六页，编辑于2023年，星期日频率域平滑滤波器思想：边缘和其它尖锐变化（如噪声）在图像的灰度级中主要处于傅立叶变换的高频部分，因此平滑可通过衰减指定图像傅立叶变换中高频成分的范围来实现理想低通滤波器Butterworth低通过滤器高斯低通过滤器第五十二页，共一百零六页，编辑于2023年，星期日频率域平滑滤波器理想低通滤波器: 一个二维的理想低通过滤器（ILPF）的转换函数满足（是一个分段函数）其中：D0为截止频率

D(u,v)为距离函数D(u,v)=(u2+v2)1/2由于中心化了,频率矩形的中心在(M/2,N/2)处，此时距离为D(u,v)=[(u-M/2)2+(v-N/2)2]1/2第五十三页，共一百零六页，编辑于2023年，星期日频率域平滑滤波器理想低通过滤器的透视图\图像显示、截面图H(u,v)作为距离函数D(u,v)的函数的截面图第五十四页，共一百零六页，编辑于2023年，星期日频率域平滑滤波器理想低通过滤器的截止频率的设计首先计算如果将变换作中心平移，则一个以频域中心为原点，r为半径的圆就包含了百分之β的能量第五十五页，共一百零六页，编辑于2023年，星期日频率域平滑滤波器理想低通过滤器的截止频率的设计第五十六页，共一百零六页，编辑于2023年，星期日频率域平滑滤波器小的边界和其它尖锐细节信息被包含在频谱的至多0.5%的能量中被钝化的图像被一种非常严重的振铃效果——理想低通滤波器的一种特性所影响第五十七页，共一百零六页，编辑于2023年，星期日频率域平滑滤波器频率域滤波器H(u,v)对应的空间滤波器h(x,y)的求解方法用(-1)u+v

×H(u,v)进行中心变换计算出它的傅立叶反变换反变换的实部乘以(-1)x+y第五十八页，共一百零六页，编辑于2023年，星期日频率域平滑滤波器理想低通过滤器的分析:振铃效果第五十九页，共一百零六页，编辑于2023年，星期日频率域平滑滤波器理想低通过滤器的分析:振铃效果第六十页，共一百零六页，编辑于2023年，星期日频率域平滑滤波器Butterworth低通过滤器:一个截止频率在与原点距离为D0的n阶Butterworth低通过滤器（BLPF）的变换函数如下：第六十一页，共一百零六页，编辑于2023年，星期日频率域平滑滤波器Butterworth低通过滤器的截面图等H(u,v)作为D(u,v)/D0的函数的截面图第六十二页，共一百零六页，编辑于2023年，星期日频率域平滑滤波器Butterworth过滤器截止频率变换函数中不存在一个不连续点作为一个通过的和被过滤掉的截止频率的明显划分通常把H(u,v)开始小于其最大值的一定比例的点当作其截止频率点如当D(u,v)

=

D0时，H(u,v)=0.5第六十三页，共一百零六页，编辑于2023年，星期日频率域平滑滤波器在任何经二阶BLPF处理过的图像中都没有明显的振铃效果，这是过滤器在低频和高频之间的平滑过渡的结果低通滤波是一个以牺牲图像清晰度为代价来减少干扰效果的修饰过程第六十四页，共一百零六页，编辑于2023年，星期日频率域平滑滤波器Butterworth低通滤波器第六十五页，共一百零六页，编辑于2023年，星期日频率域平滑滤波器Butterworth低通过滤器的分析BLPF处理过的图像中几乎没有振铃效果第六十六页，共一百零六页，编辑于2023年，星期日频率域平滑滤波器高斯低通过滤器第六十七页，共一百零六页，编辑于2023年，星期日频率域平滑滤波器高斯低通过滤器 无振铃第六十八页，共一百零六页，编辑于2023年，星期日频率域平滑滤波器低通滤波的其它例子第六十九页，共一百零六页，编辑于2023年，星期日频率域平滑滤波器低通滤波的其它例子第七十页，共一百零六页，编辑于2023年，星期日频率域平滑滤波器低通滤波的其它例子尽可能模糊细节，而保留大的可识别特征第七十一页，共一百零六页，编辑于2023年，星期日频率域图像增强本章要点背景知识傅立叶变换频率域滤波基础频率域平滑滤波器频率域锐化滤波器同态滤波器需要注意的问题第七十二页，共一百零六页，编辑于2023年，星期日频率域锐化滤波器基本思想：低通滤波器的反操作，即

Hhp(u,v)=1－Hlp(u,v)

也就是说被低通滤波器过滤掉的频率均能通过高通滤波器第七十三页，共一百零六页，编辑于2023年，星期日频率域锐化滤波器Butterworth锐化滤波器为理想滤波器的尖锐化和高斯滤波器的完全光滑之间的一种过渡第七十四页，共一百零六页，编辑于2023年，星期日频率域锐化滤波器第七十五页，共一百零六页，编辑于2023年，星期日频率域锐化滤波器理想高通过滤器一个二维的理想高通过滤器（ILPF）的转换函数满足（是一个分段函数）其中：D0为截止频率

D(u,v)为距离函数第七十六页，共一百零六页，编辑于2023年，星期日频率域锐化滤波器理想高通过滤图结论：图a和b的振铃问题十分明显第七十七页，共一百零六页，编辑于2023年，星期日频率域锐化滤波器Butterworth高通滤波器：一个截止频率在与原点距离为D0的n阶Butterworth高通过滤器（BHPF）的变换函数如下：第七十八页，共一百零六页，编辑于2023年，星期日频率域锐化滤波器Butterworth高通滤波器结论：BHPF的结果比IHPF的结果平滑得多第七十九页，共一百零六页，编辑于2023年，星期日频率域锐化滤波器Butterworth高通滤波器分析低频成分被严重地消弱了，使图像失去层次改进措施：1）加一个常数到变换函数

H(u,v)+A

这种方法被称为高频强调2）为了解决变暗的趋势，在变换结果图像上再进行一次直方图均衡化。这种方法被称为后过滤处理第八十页，共一百零六页，编辑于2023年，星期日频率域锐化滤波器高斯高通过滤器结论：GHPF的结果比BHBF和IHPF的结果更平滑第八十一页，共一百零六页，编辑于2023年，星期日频率域锐化滤波器频率域上的拉普拉斯算子第八十二页，共一百零六页，编辑于2023年，星期日频率域锐化滤波器频率域上的拉普拉斯算子：

即频率域的拉普拉斯算子可以由如下滤波器实现：H(u,v)=-(u2+v2)（忽略系数）中心化的拉普拉斯算子滤波器：由于F(u,v)的原点在进行图像变换前已由执行运算(-1)x+yf(x,y)中心化了。滤波函数中心也需要被平移为： H(u,v)=-[(u-M/2)2+(v-N/2)2)]第八十三页，共一百零六页，编辑于2023年，星期日频率域锐化滤波器频率域上的拉普拉斯算子： 空间域拉普拉斯算子过滤后的图像可由计算的反傅里叶变换得到第八十四页，共一百零六页，编辑于2023年，星期日频率域锐化滤波器第八十五页，共一百零六页，编辑于2023年，星期日频率域锐化滤波器空间域的拉普拉斯增强频率域的拉普拉斯增强第八十六页，共一百零六页，编辑于2023年，星期日频率域锐化滤波器第八十七页，共一百零六页，编辑于2023年，星期日频率域锐化滤波器钝化模版高频提升滤波高频加强滤波第八十八页，共一百零六页，编辑于2023年，星期日频率域锐化滤波器高频提升滤波第八十九页，共一百零六页，编辑于2023年，星期日频率域锐化滤波器高频加强滤波第九十页，共一百零六页，编辑于2023年，星期日频率域图像增强本章要点背景知识傅立叶变换频率域滤波基础频率域平滑滤波器频率域锐化滤波器同态滤波器需要注意的问题第九十一页，共一百零六页，编辑于2023年，星期日同态滤波器同态滤波器的基本思想一个图像f(x,y)可以根据它的照度和反射分量的乘积来表示

f(x,y)=i(x,y)r(x,y)其中：i(x,y)为照度函数，

r(x,y)反射分量函数通过同时实现压缩亮度范围和增强对比度，来改进图像的表现第九十二页，共一百零六页，编辑于2023年，星期日同态滤波器出发点：图像的明度分量的特点是平缓的空域变化，而反射分量则近于陡峭的空域变化这些特性使得将图像的对数的傅立叶变换的低频部分对应于明度分量，而高频部分对应于反射分量尽管这种对应关系只是一个粗略的近似，但它们可以用于优化图像的增强操作这个控制要求指定一个过滤器函数H(u,v)，它对于傅立叶变换的低频和高频部分的影响是不同的第九十三页，共一百零六页，编辑于2023年，星期日同态滤波器因为两个函数乘积的傅立叶变换不是可分离的，也即：

然而假设我们定义

z(x,y)=lnf(x,y)=lni(x,y)r(x,y) =lni(x,y)+lnr(x,y) 那么有第九十四页，共一百零六页，编辑于2023年，星期日同态滤波器用过滤器函数H(u,v)的方法处理Z(u,v)：

S(u,v)=H(u,v)Z(u,v) =H(u,v)Fi(u,v)