概率论基础复习题及答案

《概率论基础》本科填空题（含答案）设随机变量ξ的密度函数为p(x),则p(x)0;=1；Eξ=。考查第三章设A,B,C为三个事件，则A,B,C至少有一个发生可表示为：；A,C发生而B不发生可表示；A,B,C恰有一个发生可表示为：。考查第一章设随机变量，其概率密度函数为，分布函数为，则等于，等于0.5。考查第三章设随机变量ξ具有分布P{ξ=k}=，k=1,2,3,4,5，则Eξ=3，Dξ=2。考查第五章已知随机变量X，Y的相关系数为,若U=aX+b,V=cY+d,其中ac>0.则U，V的相关系数等于。考查第五章设，用车贝晓夫不等式估计：考查第五章设随机变量ξ的概率函数为P{ξ=}=则0；=1；Eξ=。考查第一章设A,B,C为三个事件，则A,B,C都发生可表示为：；A发生而B,C不发生可表示为：；A,B,C恰有一个发生可表示为：。考查第一章，，则5。考查第三章设随机变量在[1，6]上服从均匀分布，则方程有实根的概率为。考查第三章较难若随机变量X，Y的相关系数为,U=2X+1,V=5Y+10则U，V的相关系数=。考查第三章若服从的均匀分布，，则的密度函数＝。考查第五章设，，若与互不相容，则0.3；若与相互独立，则0.5。考查第一章将数字1，2，3，4，5写在5张卡片上，任意取出三张排列成三位数，这个数是奇数的概率P（A）=。考查第一章若，8，1.6，最可能值8。考查第二、五章设随机变量X的概率密度为，则=6,=考查第四、五章任取三线段分别长为x,y,z且均小于等于a，则x,y,z可构成一三角形的概率考查第一章（较难）设随机变量X，Y的相关系数为1，若Z=X-0.4,则Y与Z的相关系数为1考查第五章若，3，0.16.考查第五章14.事件A，B相互独立，，P（A）=（D）。（A）（B）（C）0（D）15.随机变量服从（D）分布时，。（A）正态（B）指数（C）二项（D）泊松（Poisson）16.设，记，则（A）。（A）对任何实数，都有（B）对任何实数，都有（C）只对的个别值，才有（D）对任何实数，都有17．若有十道选择题，每题有A、B、C、D四个答案，只有一个正确答案，求随机作答恰好答对六道的概率为（B）（A）（B）（C）（D）18．某课程考试成绩,已知96分以上占2.3%，则60~84分所占比例为（A）（已知）（A）（B）（C）（D）19.设独立随机变量X，Y分别服从标准正态分布，则XY服从(C)（A）泊松分布（B）分布（C）N(0,2)（D）不能确定20.对于任意事件，有（A）。（A）（B）0（C）1（D）21.设随机变量的密度函数为则常数为（B）（A）（B）（C）0（D）22．下列陈述不正确的是（D）（A）两两独立不一定相互独立（B）若事件A与B独立则与B独立（C）事件AB独立则（D）随机变量二者不相关则和独立23.下列数列可以构成分布列的是（C）（A）（B）（C）0（D）24．下列陈述不正确的是（B）（A）和不相关则（B）随机变量二者不相关则和独立（C）和不相关则（D）随机变量二者不相关则25．事件中，发生且与不发生的事件为：(C)（A）； （B）；（C）； （D）26．设为相互独立的两事件，则下列式子中不正确的是：（A）(A)； （B）；（C）； （D）27．工厂每天从产品中随机地抽查50件产品，已知这种产品的次品率为0.1%，，则在这一年内平均每天抽查到的次品数为：（A）（A）0.05;（B）5.01;（C）5;（D）0.5.28．则服从分布：（C）（A）（B）（C）（D）29．设随机变量的联合概率密度为则：（B） （A）不相关； （B）相互独立；（C）相关； （D）不相互独立．30．事件A，B互不相容，是指（B）(A)P(AB)=P(A)P(B)(B)AB=(C)AB=(D)A=计算题（含答案）一．设随机变量只取非负整数值，其概率为P{，a>0是常数，试求E及D解：记t=<1=========+====二．炮战中，在距离目标250米，200米，150米处射击的概率分别为0.1,0.7,0.2,而在各处射击时命中目标的概率分别为0.05,0.1,0.2。任射一发炮弹，求目标被击中的概率。若已知目标被击毁，求击毁目标的炮弹是由距目标250米处射出的概率。解：1）设分别表示炮弹从250米，200米，150米处射击的事件,

B表示目标被击中。则由全概率公式=2)由Bayes公式＝＝三．某单位招聘2500人，按考试成绩从高分到低分依次录用，共有10000人报名，假设报名者的成绩X服从分布N已知90分以上有359人，60分以下有1151人，问被录用者中最低分为多少？X的分布函数为标准正态分布表可得到=72和=100的值，然后令录取的最低分为，则从而得到即录取的最低分为79分。四．从1到2000这2000个数字中任取一数，求1）该数能被6整除的概率；2）该数能被8整除的概率；3）该数能被6和8整除的概率；4）该数能被6或8整除的概率。解：利用古典概型的公式1）；2）；3）；4）五．空战中，从，，处射击的概率分别为0.2,0.7,0.1,而在各处射击时命中敌机的概率分别为0.2,0.1,0.05。任射一发炮弹，求敌机被击中的概率。若已知敌机被击中，求击中敌机的炮弹是由处射出的概率。解：1）设B表示目标被击中。则由全概率公式=2)由Bayes公式＝＝六．一地区农民年均收入服从元，元的正态分布，求：该地区农民年均收入在500元~520元间的人数的百分比；如果要使农民的年均收入在内的概率不小于0.95，则至少为多大？3个农民中至少有一个年均收入在500元~520元间的概率。解：（1）（2），，2可得，，（3）考虑反面没有一个年收入在范围中的情形，其概率为：，七．设随机变量（i=1,2）,且满足，则求概率。解：由，得，即再根据联合分布与边际分布的关系可以求得和的联合分布。－101－10000100所以＝0.八、有一袋麦种，其中一等的占80%，二等的占18%，三等的占2%，已知一、二、三等麦种的发芽率分别为0.8，0.2，0.1，现从袋中任取一粒麦种：试求它发芽的概率；若已知取出的麦种未发芽，问它是一等麦种的概率是多少？解：设事件“取出来的种子是一等种子”“取出来的种子是二等种子”“取出来的种子是三等种子”“取出的种子发芽”“取出的种子未发芽”由题：（1）全概率公式=67.8%（2）贝叶斯公式=0.497九、设随机变量ξ的分布列为ξP0.20.30.30.2求的分布列。解：p0.20.30.30.2整理得η的分布列1P0.30.50.2十、某师院的毕业生，其中优等生，中等生，下等生各占20%，65%，15%.毕业后十年，这三类学生能成为优秀教师的概率各为80%，70%，55%.求该学院毕业的学生十年后成为优秀教师的概率。解：记B={成为优秀教师}十一、将一颗均匀的骰子连掷两次，以ξ表示两次所得点数之和。求1）ξ的分布列；2）Eξ。解：1）234567891011122）＝十二、设二维离散型随机向量（ξ，η）的联合分布列为：ηξ01212030求常数C;求ξ，η的边缘分布列；求ξ＝2的条件下，η的条件分布列；判断ξ与η是否相互独立。解：1）C=1;2)ηξ01210.10.10.10.3200.20.20.430.200.10.30.30.30.4和的边沿分布列为：123P0.30.40.3012P0.30.30.43)012P00.50.5整理得：12P0.50.54）因为所以与不相互独立十三、一个篮球运动员的投篮命中率为0.6，以表示他首次命中时累计的投篮次数。写出的分布律．解：分布律为十四、已知连续型随机变量ξ有密度函数求系数k及分布函数，并计算P{1.5<ξ<2.5}．解：由密度函数的性质当时，,当时，当时，十五、设随机变量的联合分布为123400.000.030.050.0210.120.050.070.0120.080.030.080.1130.050.04x0.06求x,及的边际分布（直接填写在表中），给出在的条件下的条件分布．解：x=0.2在的条件下的条件分布为X|1234十六、设二元连续型随机向量的联合密度函数为求的数学期望、方差和相关系数．解：当0<x<1时，而或时，当-1<y<0时，当而，，综合应用题（含答案）1.设二维连续型随机向量（）的联合密度函数为其中为常数，求：常数的边沿密度函数的条件密度函数判断与是否相互独立；解：1）由密度函数的性质：2x2xy11所以2）由边沿密度的计算公式，及的直观图形：当或时所以当时，所以当或时，，此时；当时所以：3）由条件密度的计算公式：当时，此时条件密度存在，且当时，，此时条件密度存在，且4）显然：所以与不独立。2.设(X,Y)服从单位圆上的均匀分布，概率密度为：试求，并讨论X，Y的独立性。解：(X,Y)关于X的边际密度为：当|x|<1时,有即当|x|<1时,有，X，Y不独立。3.设二维随机变量的概率密度为求常数；求和的边际密度；和是否相互独立？求概率。解:(1)所以。（2）（3）和不相互独立。（4）4．某人有10万元资金决定进行投资，现有两个投资项目可供选择，设投资项目1的收益为（万元），投资项目2的收益为（万元），其分布列为分别为-2140.20.30.4-4150.20.30