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2．1比较法哈11中学校

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栏目链接作差比较法证明不等式(1)已知a，b∈R，求证：a2＋b2＋1＞a(b＋1)；(2)已知a，b是互不相等的正数，n＞1，求证：an＋bn＞an－1b＋abn－1.分析：用作差比较法证明不等式，作差后要注意因式分解或配方，以利于判断符号．

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栏目链接证明：(1)∵a2＋b2＋1－a(b＋1)＝[(a－b)2＋(1－a)2＋b2＋1]＞0，∴a2＋b2＋1＞a(b＋1)．(2)(an＋bn)－(an－1b＋abn－1)＝(a－b)(an－1－bn－1)．∵a，b∈R＋，n＞1，n－1＞0，a≠b，∴当a＞b时，an－1＞bn－1，∴a－b＞0，an－1－bn－1＞0，∴(a－b)(an－1－bn－1)＞0，即an＋bn＞an－1b＋abn－1.

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栏目链接当a＜b时，an－1＜bn－1，∴a－b＜0，an－1－bn－1＜0，∴(a－b)(an－1－bn－1)＞0，即an＋bn＞an－1b＋abn－1.因此总有an＋bn＞an－1b＋abn－1.点评：作差比较法的一般步骤为：作差→变形(因式分解或配方)→判断符号→下结论，有时需要分类讨论．

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栏目链接设a，b，c∈R＋，且ab＋bc＋ca＝1，求证：a＋b＋c≥.分析：要证a＋b＋c≥，只要证(a＋b＋c)2≥3，然后再用差比法．证明：因为(a＋b＋c)2－3＝(a＋b＋c)2－3(ab＋bc＋ca)＝a2＋b2＋c2－ab－bc－ca＝[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0，所以(a＋b＋c)2≥3.又a，b，c∈R＋，a＋b＋c＞0，所以a＋b＋c≥.

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栏目链接►变式训练1．已知正数a，b，c成等比数列，求证：a2－b2＋c2≥(a－b＋c)2.

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栏目链接2．已知a＞0，b＞0，求证：＋≥＋.

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