第2讲函数的基本性质（题型训练）-2022年高考数学函数与导数（知识技能题型训练）重点突破（解析版）

第2讲函数的基本性质题型训练题型训练一·函数单调性的判断1．（2021·宁夏中卫市·中宁一中（理））下列函数中既是奇函数，又在定义域内为减函数的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】选项A中，对数函数是减函数，但不具有奇偶性，选项A错误选项B中，是增函数减去减函数，根据单调性的性质可知，函数为增函数，所以选项B错误选项C中，函数在和都是减函数，但不是在定义域内的减函数，所以选项C错误选项D中，，，为奇函数，且时，，所以为减函数，所以选项D正确故选：D2．（2021·上海长宁·高三）已知函数满足：对任意，都有．命题：若是增函数，则不是减函数；命题：若有最大值和最小值，则也有最大值和最小值．则下列判断正确的是（）A．和都是真命题 B．和都是假命题C．是真命题，是假命题 D．是假命题，是真命题【答案】C【解析】对于命题：设，因为是上的增函数，所以，所以，因为，所以所以故函数不是减函数，故命题为真命题；对于命题在上有最大值，此时，有最小值，此时，因为，所以，所以有界，但不一定有最大值和最小值，故命题为假命题．故选：C3．函数的单调递增区间是（）A． B．和C．和 D．和【答案】B【解析】如图所示：函数的单调递增区间是和．故选：B.4．（2021·陕西汉台中学（文））函数的单调递增区间是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】，∴的单调递增区间为，故选：D.5．（2021·湖北高三月考）函数的单调递增区间是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】，设，则，，函数是由和复合而成，当时，是减函数；若求的单调递增函数，只需求的单调递减区间，当时，为减函数，所以函数的单调递增区间是.故选：A.6．（2021·西城区·北京育才学校高三月考）下列函数中是定义在上的增函数的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】对于A，在区间上为增函数，故A错误；对于B，在单调递减，故B错误；对于C，在区间上为减函数，故C错误；对于D，在上为增函数，故D正确.故选：D.题型训练二·利用函数单调性比较大小7．（2021·福建南平市·高三月考）已知定义在上的函数满足，当时，单调递增，则（）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为为偶函数，所以，又，所以，所以，即是周期为4的函数，则.因为，所以，，.因为为偶函数，且当时，单调递增，所以当时，单调递减，故.故选：A.8．（2021·九龙坡区·重庆市育才中学高三月考）若，则（）A． B．C． D．【答案】A【解析】构造函数，因为函数为上的增函数，函数为上的减函数，故函数为上的增函数，因为，则，即，则.对于A选项，函数为上的增函数，故，A对；对于B选项，若，则、均无意义，B错；对于C选项，取，，则，C错；对于D选项，取，，则，D错.故选：A.9．（2021·陕西咸阳市·高三开学考试（文））已知定义在R上的函数的图象关于点对称，，且函数在上单调递增，则（）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为函数的图象关于点对称，故函数的图象关于原点对称，所以是R上的奇函数，由可得，所以的周期为2，因为函数在上单调递增，所以函数在上单调递增，又，所以.故选：A.10．（2021·广东深圳市·）已知是可导的函数，且，对于恒成立，则下列不等关系正确的是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】令，则，，，，在上单调递减，，，即，，，.故选：A.11．（2021·河南高三开学考试（文））已知定义在上的函数，其导函数为，当时，，若，，，则，，的大小关系是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】构造函数，得，由题知时，，所以，故在上单调递增，，即，即，故选：.12．（2021·河南南阳市·南阳中学（理））已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（）A． B．C． D．【答案】C【解析】设，则，又当时，，∴，∴在上单调递减，∵，∴即，故A错误；∵，∴即，故B错误；∵，∴，又是定义在上的奇函数，∴，故C正确；∵，∴，即，故D错误.故选：C题型训练三·利用函数单调性解不等式13．（2021·江西高三月考（理））若定义在上的奇函数在区间上单调递增，且，则满足的的取值范围为（）．A． B．C． D．【答案】C【解析】因为定义在上的奇函数在上单调递增，且，所以在上也是单调递增，且，，所以当时，，当时，，所以由可得：或或解得或，故选：C.14．（2021·青海高三（文））已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)=20，且f(x)的导函数满足，则不等式f(x)>2x3+2x的解集为（）A．{x|x>-2} B．{x|x>2} C．{x|x<2} D．{x|x<-2或x>2}【答案】B【解析】令，因，则，即在R上单调递增，因，则不等式f(x)>2x3+2x等价于，于是得x>2，所以原不等式的解集为{x|x>2}.故选：B15．（2021·河北沧州市·高三月考）已知定义在上的函数是偶函数，且在上单调递增，则满足的的取值范围为（）A． B．C． D．【答案】B【解析】为定义在上的偶函数，且在上单调递增，关于对称，且在上单调递增，在上单调递减，由得：，解得：或，即满足的的取值范围为.故选：B.16．（2021·安徽省亳州市第一中学高三月考（理））已知奇函数的图象在上是连续不断的，且当时，，则不等式的解集为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因函数是定义在上的奇函数，于是得的图象关于点成中心对称，且，当，即时，，当且仅当，即时取等号，即在上单调递增，而的图象关于点成中心对称，且在上连续不断，因此函数在上单调递增，不等式可化为或由得即，解得；由得即，解得；所以所求不等式的解集为.故选：A.17．（2021·息县第一高级中学高三月考）已知定义在的函数满足：，其中为的导函数，则不等式的解集为（）A． B．C． D．【答案】A【解析】设，因为，所以在上，所以在上单调递增，由已知，的定义域为，所以，所以等价于，即，所以，解得，所以原不等式的解集是.故选：A.18．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三月考（文））已知奇函数在上是增函数，又，则的解集是（）A．或 B．或C．或 D．或【答案】D【解析】因是奇函数，则，又在上是增函数，于是得在上是增函数，由得或，解得，解得，所以的解集是或.故选：D。题型训练四·利用函数的单调性求参数19．（2021·云南高三（文））已知函数，若实数满足，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为函数的定义域为R，且，所以为奇函数，又为上的增函数，所以，即，所以，解得，所以实数的取值范围是.故选：D.20．（2021·怀仁市第一中学校高三月考（文））函数在单调递增，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】函数为开口向上的抛物线，对称轴为函数在单调递增，则，解得.故选：A.21．已知函数，若，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：根据题意，设，其定义域为R，则，则为奇函数，又由，则在R上为增函数，故，必有，解得，即a的取值范围为.故选：C．22．（2021·绵阳南山中学实验学校（理））函数在区间上是减函数，则实数a的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由定义域知，在区间上恒成立，在区间上恒成立，即，令，则，在上单调递减，要使函数在区间上是减函数，则内函数在区间上是增函数，，得，综上所述，实数a的取值范围为：，故选：C.23．函数．若存在，使得，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】当时，，，可化为，即存在，使得成立，的对称轴为，在区间单调递增，只要，即，解得：，又，，当时，可化为，此时不等式恒成立，综上所述，．故选：24．（2021·全国（文））满足函数在上单调递减的充分必要条件是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】解：若在上单调递减，则满足且，则，即在上单调递减的一个充分必要条件是.故选:B.题型训练五·函数的奇偶性25．（2021·江西景德镇市·景德镇一中高三月考（理））设函数，则满足的为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以，所以为奇函数.又，因为，所以，所以在上单调递增，所以由，得，因为在上单调递增，所以，解得，所以满足的为.故选：C.26．（2021·江苏连云港市·灌云县第一中学高三月考）已知函数是奇函数，则实数的值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，则，因为函数为奇函数，则，故.故选：B.27．（2021·全国高三（文））已知函数是奇函数，且当时，，则不等式的解集为（）A． B．C． D．【答案】B【解析】解：令，因为函数，是奇函数，所以是偶函数，当时，，则，解得，因为是偶函数，则当时，，的解为，综上所述，不等式的解集为.故选：B.28．（2021·四川成都市·石室中学高三开学考试（理））已知是周期为2的奇函数，当时，，则的值为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为的周期为2，所以，即，所以的周期为2，又因为是奇函数，所以，当时，，所以，，故选：D29．（2021·河北高三月考）已知函数的导函数是奇函数.若当时，关于的不等式有解，则的最小值为（）A．1 B． C． D．【答案】A【解析】由已知是偶函数，由，解得，即（舍负）经检验，当时，为偶函数.因此令当，单调递减，且，因此在单调递减由复合函数单调性，在单调递增又在单调递减∴在上单调递减.当，令在单调递增，令在单调递减，在单调递增，，∴由，可得有解∴，令，，在上单调递增，而，∴故选：A30．（2021·广西柳州市·柳铁一中（理））已知函数的定义域为，为偶函数，对任意，，当时，单调递增，则关于的不等式的解集为（）A． B．C． D．【答案】B【解析】解：因为函数的定义域为，为偶函数，所以，所以函数关于对称.因为函数在为增函数，所以函数在为减函数.不等式等价于，即或，令得到：或.当时，无解.当时，，解得：，即，.故选：B.题型训练六·函数性质的综合应用31．（2021·上海市实验学校高三月考）已知函数的定义域是，，且当时，.（1）求的值；并证明在定义域上是增函数；（2）解不等式.【答案】（1），证明单调性见解析，（2）【解析】（1）因为函数的定义域是，，所以令，则，所以，任取，且，因为，所以所以，因为，且，所以，所以，所以，所以在定义域上是增函数；（2）因为，所以不等式可化为，因为在定义域上是增函数，所以，即，解得或，所以不等式的解集为32．（2021·上海市控江中学高三开学考试）已知常数，函数.（1）若，解关于的不等式；（2）若在上为增函数，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题设，，令，则，∴，即，整理得，解得.∴，即，故的解集为.（2）令，则，又，∴上递减，上递增，又为增函数，∴上为增函数，要使在上为增函数，∴，可得，故的取值范围.33．（2021·长宁区·上海市延安中学高三月考）已知函数；（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）若函数在上是增函数，求实数的取值范围；【答案】（1）当a＝0时，偶函数；当a≠0时，既不是奇函数也不是偶函数；（2）【解析】解：（1）当a＝0时，，对，有，∴为偶函数．当a≠0时，，取，得，，．∴函数既不是奇函数也不是偶函数．（2），若函数在上是增函数，则在上恒成立，又由恒成立可得恒成立，因为，所以.34．（2021·安徽省亳州市第一中学高三月考（理））已知函数是定义在上的奇函数，且.（1）确定函数的解析式；（2）判断函数在上的单调性，并证明；（3）解不等式.【答案】（1）；（2）函数在上是增函数，证明见解析；（3）.【解析】（1）因为，所以，所以，解得.所以，又，所以，解得，所以.（2）函数在上是增函数.证明如下：，当时，则，所以函数在上是增函数.（3）因为，所以，即，则解得，所以实数的取值范围为.35．已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在区间上是减函数，在上是增函数．（1）如果函数（）的值域为，求b的值；（2）研究函数（常数）在定义域上的单调性，并说明理由；（3）对函数和（常数）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数（n是正整数）在区间上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．【答案】（1）；（2）该函数在上是减函数，在区间上是增函数，理由见解析；（3