向量积的行列式计算法

表示法:向量的模:向量的大小,向量:(又称矢量).既有大小,又有方向的量称为向量向径(矢径):自由向量:与起点无关的向量.起点为原点的向量.单位向量:模为1的向量,零向量:模为0的向量,有向线段M1

M2,或a,第二节矢量代数2021/5/91规定:零向量与任何向量平行

;若向量a与b大小相等,方向相同,则称a与b相等,记作a＝b;若向量a与b方向相同或相反,则称a与b平行,

a∥b;与a

的模相同,但方向相反的向量称为a

的负向量,记作因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称两向量共线

.若k(≥3)个向量经平移可移到同一平面上,则称此k个向量共面

.记作－a;2021/5/92§6.2.1矢量运算1.矢量的加法三角形法则:平行四边形法则:运算规律:交换律结合律三角形法则可推广到多个向量相加.2021/5/932021/5/942.矢量的减法三角不等式2021/5/953.数量与矢量的乘法是一个数,规定:可见与a

的乘积是一个新向量,记作总之:运算律:结合律分配律因此2021/5/96空间一点在轴上的投影4.矢量的射影2021/5/97空间一向量在轴上的投影2021/5/98关于向量的投影定理（1）证2021/5/99定理1的说明：投影为正；投影为负；投影为零；(4)

相等向量在同一轴上投影相等；2021/5/9105.矢量的分解与矢量的坐标在空间直角坐标系下,设点

M

则沿三个坐标轴方向的分向量.的坐标为此式称为向量

r

的坐标分解式

,任意向量r可用向径OM表示.2021/5/9116.矢量的模方向余弦方向数

1.向量的模与两点间的距离公式则有由勾股定理得因得两点间的距离公式:对两点与2021/5/912

方向角与方向余弦设有两非零向量任取空间一点O,称=∠AOB(0≤≤)

为向量

的夹角.

类似可定义向量与轴,轴与轴的夹角.与三坐标轴的夹角

,,为其方向角.方向角的余弦称为其方向余弦.

记作2021/5/913方向余弦的性质:2021/5/914

作业：p-25习题6.1-6.210，18，2021/5/915沿与力夹角为的直线移动,1.定义设向量的夹角为,称记作数量积(点积).引例.

设一物体在常力F作用下,位移为s,则力F

所做的功为§6.2.2两矢量的数量积2021/5/916记作故数量积的基本性质为两个非零向量,则有2021/5/9172)交换律3)结合律4)分配律事实上,当时,显然成立;2021/5/918例1.

证明三角形余弦定理证:则如图.设2021/5/919例2.

已知三点AMB.解:则求故2021/5/920引例.

设O为杠杆L的支点,有一个与杠杆夹角为符合右手规则矩是一个向量

M:的力F作用在杠杆的P点上,则力F

作用在杠杆上的力§6.2.3两矢量的矢量积2021/5/921定义定义向量方向:(叉积)记作且符合右手规则模:向量积,称引例中的力矩思考:

右图三角形面积S＝2021/5/9224.数量积的坐标表示设则当为非零向量时,由于两向量的夹角公式,得2021/5/9232.性质为非零向量,则∥5)分配律4)结合律证明:2021/5/9244.向量积的坐标表示式设则2021/5/925向量积的行列式计算法2021/5/926例4.

已知三点角形

ABC

的面积解:

如图所示,求三2021/5/927一点M

的线速度例5.

设刚体以等角速度绕l

轴旋转,导出刚体上的表示式.解:

在轴l

上引进一个角速度向量使其在l

上任取一点O,作它与则点M离开转轴的距离且符合右手法则的夹角为

,

方向与旋转方向符合右手法则,向径2021/5/9281.定义已知三向量称数量混合积

.记作几何意义为棱作平行六面体,底面积高故平行六面体体积为则其§6.2.4两矢量的混合积2021/5/9292.混合积的坐标表示设2021/5/9303.性质(1)三个非零向量共面的充要条件是(2)轮换对称性:(可用三阶行列式推出)2021/5/931例6.

已知一四面体的顶点4),求该四面体体积.解:

已知四面体的体积等于以向量为棱的平行六面体体积的故2021/5/932例7.

证明四点共面