大学物理 振动和波

五章机械振动基本内容：谐振动的特征谐振动的描述谐振动的合成机械振动：物体在一定位置附近来回往复的运动。其轨迹可以是直线，也可以是平面曲线或空间曲线。机械振动可分为周期性振动和非周期性振动，最简单的机械振动是周期性的直线振动——简谐振动。任何复杂的振动都可认为是由若干个简谐振动合成的。2021/5/91§15.1简谐振动的特点

A位置A：小球所受合力为零的位置，称为振动系统的平衡位置。

将小球推离平衡位置并释放，小球来回振动，如果摩擦阻力小，小球振动的次数就多。假如一点阻力也没有，小球只受弹性回复力，振动将永久持续下去，这种理想化的振动是——简谐振动。一、谐振动中的理想模型—弹簧振子2021/5/92

如果振动物体可表示为一质点，而与之相连接的所有弹簧等效为一轻弹簧，忽略所有摩擦，可用弹簧振子描述简谐振动。mkX0

以平衡位置为坐标原点，水平向右为正，则小球所受弹性力F与小球离开平衡位置的位移x有以下关系：二、谐振动的特点：1、动力学特征：2021/5/93

从动力学观点，若物体仅受线性回复力作用，它就作简谐振动。动力学特征：质点所受得力大小与位移成正比，方向相反。K是弹簧的弹性系数，负号表示力和位移方向相反。回复力2、运动学特征：令2021/5/94积分得：

从运动学观点，若物体离开平衡位置的位移随时间变化的规律是正弦或余弦的函数，它就作简谐振动。

运动学特征：物体离开平衡位置的位移随时间变化的规律是正弦或余弦的函数。3、能量特征：其中2021/5/95能量特征：谐振动的机械能等于x为A时的弹性势能，或速度最大时（平衡位置）的动能。振动过程中动能和势能相互转换，机械能守恒。一个周期内的平均动能与平均势能：2021/5/96例6.谐振子在相位为,其动能为,求其机械能。

解：2021/5/971、方程中各参量的物理意义x:表示

t时刻质点离开平衡位置的位移。

A:质点离开平衡位置的位移最大值的绝对值——振幅。§15.2简谐振动的描述一、谐振动的代数描述法：又2021/5/98比较知称为圆频率仅决定于振动系统的力学性质。t+:称位相或相位或周相，是表示任意t时刻振动物体动状态的参量。

:称为初位相，是表示t=0时刻振动物体状态的参量。2、位移、速度加速度v的位相超前x/22021/5/99其中是加速度的幅值a与

x的位相相反atvxaxv02021/5/910问题：是描述t=0时刻振动物体的状态，当给定计时时刻振动物体的状态（t=0时的位置及速度：x0v0)，如何求解相对应的？（1）、已知t=0振动物体的状态x(0),v(0)求可得：A与由系统的初始条件[x(0),v(0)]决定

2021/5/911（2）已知t=0振动物体的状态x(0)及A时求最终确定初位相的值2021/5/912mkX0例1：如图所示，将小球拉至A释放，小球作谐振动。如果已知k,，以小球运动至A/2处，且向x负方向运动作为计时的起点，求小球的振动方程。解：问题归结于求t=0小球向x负方向运动，因而v0=+600

2021/5/913例2如图所示,弹簧处于原长,当子弹射入后,求系统的振动方程。m1kX0vm2解：t=0,x(0)=0,v(0)=v2021/5/914

[例3]

垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，弹簧伸长量为b

。求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。b自然长度mg平衡位置F取平衡位置为坐标原点，静平衡受力分析如图kb-mg=0证明：则有：x任意位置时小球所受到的合外力为：ΣF=mg-k(b+x)=

-kx小球作谐振动2021/5/915ω=kmgb=A=b,φ=π由mg-kb=0得：由题知：t=0时，x0=-b，v0=0则可得：所以运动方程为：2021/5/916二、谐振动的图线描述法tx0t1A两类问题：1、已知谐振动方程，描绘谐振动曲线2、已知谐振动曲线，描绘谐振动方程2021/5/917三、简谐振动的旋转矢量表示法

1、旋转矢量AMx0ωP（ωt+φ）x旋转矢量的长度：振幅A旋转矢量旋转的角速度：旋转矢量旋转的方向为逆时针方向旋转矢量与参考方向x的夹角：振动周相圆频率

M点在x轴上投影P点的运动规律为振动方程：

2021/5/918MPxA注意：旋转矢量在第1象限速度v<0MPxAMPxAMPxAMPxAMPxAMP注意：旋转矢量在第2象限速度v<0xAMPxAMPxAMPxAMPxAMPxAMPxA注意：旋转矢量在第3象限速度v>0MPxAMPxAMPAMPAMPAMPA注意：旋转矢量在第4象限速度v>0MPAMPAMPAMPAMPA2021/5/919则称振动2

超前振动1，振动1

滞后振动2

若周相差ΔΦ=φ2-φ1＞0A1A20A2A10φAA221φ10x2、用旋转矢量分析位相与振动的关系若周相差ΔΦ=0，则称两振动同步若周相差ΔΦ=π，则称两振动反相2021/5/920πA2xxAA21.00t{t=1时x1=0d1＜0v=dxt[例4]一谐振动的振动曲线如图所示，求ω、φ以及振动方程。πxA3{t=

0时0x=A2＞00vφ=π3πΦ1=2解：Φ1=ωt1+φω=56π2021/5/921x=Acos(56πtπ3)本题ω的另一种求法:π3xAt=0π2At=1πππ2+32=T1T=125ω=56π2021/5/922§15.3简谐振动的合成一、同方向、同频率两个谐振动的合成1、利用三角函数公式合成2021/5/923令则可得：其中：2021/5/9242、利用旋转矢量合成xA1A2A结论：同方向同频率的两个简谐振动合成后仍为一简谐振动，其频率与分振动频率相同。2021/5/925讨论：合振动的加强与减弱12AA合振动加强1合振动减弱AA2

相位相反12=AAA、+（1）若φφ=2k12(k=012...、+)π12=AAA+

相位相同π、+(k=012...、+)φ（2）若φ(2k+1)12=

一般情形：二分振动既不同相位也不反相位，合振动振幅在A1+A2与|A1-A2|

之间。2021/5/926二、同方向、不同频率的两个谐振动的合成一般情况下合成后的振动是一个复杂的运动。一种特殊情况——拍现象νν12拍频=νπνπ1221xx==AAcoscos2tt2x=xx+12ννννν~22111~＜＜ννννππ1122=2Acos2(())2costt2+22021/5/927tttxx12xνννΔ=20.25s0.75s0.50s==2161812021/5/928利用旋转矢量分析，作出李萨如图形（观察演示）三、相互垂直的同频率的两个谐振动的合成[例5]已知求：合振动的振幅及初相位，并写出合振动的表达式。解：2021/5/929[例6]一物体沿x轴作简谐振动，振幅为0.12m,周期为2s，当t=0时位移为0.06m，且向x轴正方向运动，求（1）振动表达式；（2）t=0.5s时，物体的位置、速度和加速度；（3）从x=-0.06m且向x轴负方向运动到返回平衡位置所需的时间解:（1）由于物体此时向x正向运动，故（2）2021/5/930（3）注意相位与状态相对应。质点沿x轴负向运动，设时，x=-0.06m.故质点返回平衡位置的相位为，设该时刻为。所以2021/5/931第十六章波动学基础

波动是振动的传播过程，也是动量和能量传播的过程。机械波：机械振动在媒质中的传播过程。电磁波：交变电磁场在空间的传播过程。基本内容：

机械波的产生与传播机械波的几个特征量波动方程波的叠加原理—（特例）波的干涉。

各类波的本质不同，但都伴有能量的传播，都能产生反射、折射、干涉和衍射等现象，且有相似的数学描述。2021/5/932

§16.1机械波的产生与传播1、波源2、弹性媒质横波：质点的振动方向和波的传播方向垂直纵波：质点的振动方向和波的传播方向平行二、机械波的分类

一、产生机械波的条件特点：具有波峰和波谷（如绳子上的波）特点：具有疏密相间的区域（如声波）2021/5/933横波的波动波的传播方向xy振动方向特点：具有波峰和波谷2021/5/934纵波的波动波的传播方向质点振动方向疏密疏密疏特点：具有疏密相间的区域2021/5/935三、波的形成和传播（以横波为例）1、过程分析：由于媒质内各质点间存在相互作用力，故当一个质点振动后，在媒质内部的弹性力作用下，将带动其周围其它的质点也相继振动起来………如此依次带动，振动状态由近及远地传播开去形成机械波。（静止）1234567891011121312345678910111213（振动状态传至4）12345678910111213（振动状态传至7）2021/5/936（振动状态传至10)（振动状态传至13）12345678910111213123456789101112132.结论（1）各质点仅在自己的平衡位置附近振动，并不随波前进。（2）振动状态以一定的速度传播—波速。（注意波速不是质点的振动速度）2021/5/937（3）波的周期与质点的振动周期相同。沿波的传播方向，各质点的相位依次落后。（4）波形在空间移动—行波。四、波的几何描述同相面（波面）：由振动周相相同的点所组成的面。波阵面（波前)：某时刻波动所到达的点所组成的面。波线（波法线）：表示波的传播方向的线。在各向同性介质中与波面法线相同。在各向同性媒质中波线和波阵面垂直2021/5/938平面波波线波阵面球面波波阵面波线平面波：球面波：波阵面为一球面。波阵面为一平面。2021/5/939横波波速φsFFG

切变弹性模量ρ密度（单位体积质量）波长

在同一条波线上,周相差为2的两质点间的距离。周期

传播一个波长距离所用的时间。频率

在单位时间内通过某一观察点的完整波数目。波速

波在单位时间内所传播的距离。

§16.2机械波的几个特征量频率和周期只决定于波源，和媒质无关。2021/5/940纵波波速流体（气体、液体）固体Y:杨氏弹性模量VΔVPPB:容变弹性模量波速是与媒质有关的一个物理量2021/5/941任意点（B点）的振动方程为：参考点O点的振动方程为：uyxxoBy表示在波线上任意一点（距原点为x处）质点在任意时刻的位移,也就是平面简谐波的波动方程。

§16.3波动方程一、平面简谐波的波动方程2021/5/942质点的振动速度：平面简谐波的波动方程为:其中减号表示波向x轴正向传播，加号表示波向x轴负向传播2021/5/943表示在t1

时刻的波形yto3、t

与x都发生变化t=t1时yxo表示x1处质点的振动方程二、波动方程的物理意义1、x=x1（常数）2、t=t1（常数）t=t1+Δt时2021/5/944yy1xutxytx表示在t1时刻x处的位移y1，在经过Δt时间后，同样的位移发生在x´处，波向前传播了uΔt的距离，即某一固定周相传播了uΔt的距离。y1=令yxx=+uΔt得：2021/5/945可以证明三维的波动方程为：其中ξ为质点的位移从上两式可得波动方程：

三、波动方程的一般形式2021/5/946例1、已知波源在原点的平面简谐波的方程为式中A、B、C为正值恒量。试求：（1）波的振幅、波速、频率、周期与波长；（3）任何时刻，在波传播方向上相距为D的两点的周相差。（2）写出传播方向上距离波源l处一点的振动方程；解：（1）波动方程的标准形式2021/5/947波的振幅为A,波速频率波长（2）（3）2021/5/948

[

例2]

以P

点在平衡位置向正方向运动作为计时零点，写出波动方程。yxPoudπω解：p=2yp=AAAcoscoscosddtttπππ)))(((ωω222y==o[]++uuy[xu]φ2021/5/949[例3]波速

u=400m/s,t=0s时刻的波形如图所示。写出波动方程。uy(m)p4532ox(m)23==φφ0pt===Ayvππ000(o点)22＞0{=yv00t0(p点)=0＜0{得：得：2021/5/950φφπ2λp=0dφφππππλ0p=2d==22×35()34(m)y(m)23==φφππ0pup4532ox(m)d2021/5/951yλ==ω2ππππν2002u===24004π04cos)(200π3tS1λ=4(m)()[例4]一横波在弦上传播，其方程是式中x、y以米计，t与秒计。（1）求波长、周期、波速；（2）画出t=0,0.0025s,0.005s时弦的形状。2021/5/952解：（1）方法一：与标准方程相比较波长周期T=0.01S,波速方法二、依各量的物理意义求解2021/5/953（2）方法一：根据各时刻的波形方程逐一画出波形。方法二：只画出t=0的波形，然后采用移动波形的方法。0.40.2yxo2021/5/954例5、一平面简谐波在空间以速度u传播，已知p点的振就下面四种选定的坐标系，写出各自的波函数。动方程为opyxuuxyopuxyoplopyxul2021/5/955例6、沿x轴负向传播的平面简谐波在t=2s时的波形曲线如图，设波速u=0.5m/s求原点0的振动表达式。t=0x0y0.5-112t=2s

解：由图知t=0原点0:2021/5/956例7、一平面简谐波沿x轴正向传播，其振幅和圆频率为A、波速为u，设t=0时的波形曲线如图。（1）写出该波的波函数；（2）求距0点为（3）求距0点为处的质点的振动表达式；处的质点在t=0时的振动速度。yx0u2021/5/957解：（1）t=0时，0点的相位，即初相位故波函数（2）（3）2021/5/958§16.4波的能量能流密度一、能量密度pdEdE=可以证明：kdmdV取体积元dV，体元内质量为ρdVdm=2021/5/959dEdE=2k+dEp=dEk能量密度:平均能量密度：2021/5/960能流P:单位时间通过某一面积的波能。P=Swu二、能流密度平均能流P:能流在一个周期内的平均值。uuS2021/5/961

波的强度

I（能流度）:通过垂直于波的传播方向的单位面积的平均能流。wρω1222uI=u=A总结：波是能量传播的一种形式。波真正传播的是振动、波形和能量。波形传播是现象，振动传播是本质，能量传播是量度。2021/5/962t+tΔuΔtΔutt+Δtt时刻波阵面t时刻波阵面§16.5惠更斯原理一、惠更斯原理

波动所到达的媒质中各点，都可以看作为发射子波的波源，而后一时刻这些子波的包迹便是新的波阵面。2021/5/963用惠更斯原理解释折射定律sinsinir=CBABADAB=uuΔΔ1122=u2u==nn1n12ttiuuΔΔt12trnn12CBADiruΔt12二、惠更斯原理的应用2021/5/964沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加两水波的叠加

§16.6波的叠加原理一、波的叠加原理1、波的独立传播原理:

有几列波同时在媒质中传播时，它们的传播特性（波长、频率、波速、波形）不会因其它波的存在而发生影响。2、波的叠加原理:在几列波相遇的区域内,媒质质点同时参与这几列波所引起振动，其位移为各波单独存在时在该点所引起振动的合振动。2021/5/965

二、波的干涉

相干波源：若有两个波源，它们的振动方向相同、频率相同、周相差恒定，称这两波源为相干波源。波源ωcos=+ty222φA)(Sωt=y111φAcos)(+S1r*2sr11y*22sPy.P点rr=222πλφ11(φΔΦ)λωyt2+r=2222cos)Aπ(φω+t=y211λφAcos)(1π1r2021/5/966干涉加强(A最大)条件：干涉减弱(A最小)条件：Δ=πΦ2kk=0,1,2,+Δ++Φ2k=(1)k=0,1,2,ππ111Acoscossinsinφφφ=+2ππrr()))(((211tg222AAA221rrφ)+2π22φλλλλ2AAAAcosΦΔ=2++22211A)φ2221φΦΔ=πrr(1λ2021/5/9672λ波程差rr1=+k干涉加强rλ2()波程差r1+2k2=+1干涉减弱=12若：φφ则有：λ++2k(1)π==πrr)(Φ21Δ2λrrΔ=π)(Φ21π2k+=2rr)φ2221φΦΔ=π(1λ问题：对于相干光波，干涉条件如何？2021/5/968两波的波动方程分别为：yy22AA+xxttTTcoscos21λλππ==))((

驻波：一对振幅相同的相干波，在同一条直线上，沿相反方向传播时，叠加而成的波。AAxcos=振幅22πλ