2022-2023学年苏教版高一数学新教材教学讲义2.3 全称量词命题与存在量词命题解析

文档来源网络侵权删除2.3全称量词命题与存在量词命题【知识点梳理】知识点一：全称量词与全称量词命题1．全称量词：一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述句中表示所述事物的全体，称为全称量词，用符号“”表示．2．全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题．3．全称量词命题的形式：对集合M中的所有元素x，，简记为：对．知识点二：存在量词与存在量词命题1．全称量词：一般地，“存在”“有”“至少有一个”在陈述句中表示所述事物的个体或部分，称为全存在量词，用符号“”表示．2．存在量词命题：含有存在量词的命题，称为存在量词命题．3．存在量词命题的形式：存在集合M中的元素x，，简记为：对．知识点三：命题的否定1．一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“”，读作“非p”或p的否定．2．如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然．知识点四：全称量词命题的否定一般地，全称量词命题“”的否定是存在量词命题：．知识点五：存在量词命题的否定一般地，存在量词命题“”的否定是全称量词命题：．知识点六：命题与命题的否定的真假判断一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假．知识点七：常见正面词语的否定举例如下：正面词语等于大于（>）小于（<）是都是否定不等于不大于（≤）不小于（≥）不是不都是正面词语至少有一个至多有一个任意的所有的至多有n个否定一个也没有至少有两个某个某些至少有n＋1个【题型归纳目录】题型一：全称量词命题与存在量词命题的判定题型二：判断全称量词命题与存在量词命题的真假题型三：由全称量词命题的真假确定参数取值范围题型四：由存在量词命题的真假确定参数取值范围题型五：全称量词命题与存在量词命题的否定【典型例题】题型一：全称量词命题与存在量词命题的判定例1．（2022·湖南·高一课时练习）下列命题中为全称量词命题的是（

）A．有些实数没有倒数B．矩形都有外接圆C．存在一个实数与它的相反数的和为0D．过直线外一点有一条直线和已知直线平行【答案】B【解析】解：对于A，含有存在量词有些，为存在量词命题；对于B，含有全称量词都有，为全称量词命题；对于C，含有存在量词存在一个，为存在量词命题；对于D，含有存在量词有一条，为存在量词命题．故选：B．例2．（2022·广西·浦北中学高一期中）下列结论中不正确的个数是（

）①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题：②命题“，”是全称量词命题；③命题，，则，．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】对于①：命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题，故①错误；对于②：命题“”是全称量词命题；故②正确；对于③：命题，则，故③错误．所以错误的命题为①③，故选：C例3．（2022·湖南·高一课时练习）下列命题，是全称量词命题的是________，是存在量词命题的是________（填序号）．①正方形的四条边相等；②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．【答案】

①②③

④【解析】解：④含有存在量词，至少有一个，为存在量词命题，①②③含有全称量词：任意的或者包含所有的意思，为全称量词命题．故答案为：①②③；④．例4．（2022·全国·高一课时练习）下列命题中，不是全称量词命题的是（）A．任何一个实数乘以0都等于0

B．自然数都是正整数C．实数都可以写成小数形式

D．一定存在没有最大值的二次函数【答案】D【解析】【详解】A选项中，“任何”是全称量词，它是全称量词命题．B选项中，意思是所有的自然数都是正整数，它是全称量词命题．C选项中，“都”是全称量词，它是全称量词命题．D选项中，“存在”是特称量词，它是存在量词命题．故选：D．例5．（2022·江苏·高一）判断正误．（1）命题“任意一个自然数都是正整数”是全称量词命题．（）（2）命题“三角形的内角和是”是全称量词命题．（）（3）命题“梯形有两边平行”不是全称量词命题．（）【答案】

正确

正确

错误【解析】【详解】（1）“任意”是全称量词，所以它是全称量词命题，该结论正确．（2）这里省略了全称量词“所有”，意思是“所有三角形内角和是180°”，该结论正确．（3）这里省略了全称量词“所有”，意思是“所有梯形有两边平行”，该结论错误．【技巧总结】理解全称量词命题及存在量词命题时应关注的三点（1）全称量词命题就是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题，常见的全称量词还有“一切”“每一个”等，相应的词语是“都”．（2）有些命题省去了全称量词，但仍是全称量词命题，如“有理数是实数”，就是“所有的有理数都是实数”．（3）存在命题就是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题，常见的存在量词还有“存在”等．题型二：判断全称量词命题与存在量词命题的真假例6．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高二阶段练习（文））以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是（

）A．锐角三角形有一个内角是钝角B．至少有一个实数x，使x2≤0C．两个无理数的和必是无理数D．存在一个负数x，使>2【答案】B【解析】锐角三角形的内角都是锐角，A是假命题．时，，所以B选项中的命题既是存在量词命题又是真命题．，所以C选项中的命题是假命题．时，，所以D选项中的命题是假命题．故选：B例7．（2022·河南三门峡·高二期末（理））有四张卡片，它们的一面为数字，另一面写着英文字母．现在它们平放在桌面上，只能看到向上面的情况如图．对于命题p：所有大写字母的背面都写着奇数，要验证p的真假，至少要翻开的是（

）A．①④ B．①② C．①③ D．①③④【答案】A【解析】根据命题p：所有大写字母的背面都写着奇数，因为①的背面为大写字母，④的背面可能是大写字母，所以要验证p的真假，至少要翻开的是①④．故选：A．例8．（2022·甘肃·静宁县第一中学高一阶段练习）下列四个命题：①

②③

④至少有一个实数，使得其中真命题的序号是（

）A．①③ B．②③ C．②④ D．①④【答案】D【解析】对于①中，由成立，所以命题①为真命题；对于②中，由无法判定真假，所以②不是命题，不符合题意；对于③中，例如当时，此时，所以命题为假命题；对于④中，由，解得，所以命题④为真命题；故选：D．例9．（多选题）（2022·广东·梅州市梅江区梅州中学高一阶段练习）下列四个命题中真命题为（

）A．∀x∈R，2x2－3x＋4>0B．∀x∈{1，－1，0}，2x＋1>0C．∃x∈N*，x为29的约数D．对实数m，命题p：∀x∈R，x2－4x＋2m≥0．命题q：m≥3．则p是q的必要不充分条件【答案】ACD【解析】，A正确；∵，则，B不正确；29的约数有1和29，C正确；∀x∈R，x2－4x＋2m≥0，则，即p是q的必要不充分条件，D正确；故选：ACD．例10．（2022·江苏·高一）判断下列命题的真假：（1），；（2），；（3）线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；（4）平面上任意两条直线必有交点．【解析】（1）解：若，解得，因为不是整数，故命题“，”为假命题；（2）解：若，解得，因为，故命题“，”为真命题；（3）解：根据垂直平分线的性质可知，线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；故命题：“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；”为真命题；（4）解：平面上两条直线的位置关系有相交与平行，当两直线平行时，两直线没有交点，故命题“平面上任意两条直线必有交点．”为假命题；【技巧总结】（1）要判断一个全称量词命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素，验证成立；要判断全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个，使不成立即可；（2）要判断一个存在量词命题的真假，依据：只要在限定集合M中，至少能找到一个，使成立，则这个存在量词命题就是真命题，否则就是假命题．题型三：由全称量词命题的真假确定参数取值范围例11．（2022·河南濮阳·高二期末（文））若命题“，”为真命题，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依题意命题“，”为真命题，当时，成立，当时，成立，当时，函数开口向下，不恒成立．综上所述，．故选：B例12．（2022·全国·高一专题练习）已知命题：“，方程有解”是真命题，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】“，方程有解”是真命题，故，解得：，故选：B例13．（多选题）（2022·湖北·鄂南高中模拟预测）给定命题，都有．若命题为假命题，则实数可以是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】AB【解析】解：由于命题为假命题，所以命题的否定：，是真命题．当时，则，令，所以选项A正确；当时，则，令，所以选项B正确；当时，则，，不成立，所以选项C错误；当时，则，，不成立，所以选项D错误．故选：AB例14．（多选题）（2022·全国·池州市第一中学高一开学考试）命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．【答案】AB【解析】若“，”为真命题，则，，∴，命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是a的取值范围为的真子集．故选：AB．例15．（2022·江西·临川一中高二期末（文））已知命题“，”为假命题，则实数m的取值范围为______．【答案】【解析】解：因为命题“，”为假命题，所以命题“，”为真命题，所以，解得；故答案为：例16．（2022·河北沧州·高一开学考试）若命题“”是真命题，则的取值范围是__________．【答案】【解析】对于任意恒成立，即大于3的数恒大于．故答案为：．题型四：由存在量词命题的真假确定参数取值范围例17．（2022·江苏常州·高一期中）若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为命题“，”为假命题，则，解得．故选：B．例18．（2022·江苏·高一）若命题“，”为假命题，则实数的取值范围为______．【答案】【解析】若命题“，”为假命题，则一元二次方程无实数解，∴．∴a的取值范围是：．故答案为：．例19．（2022·全国·高一专题练习）已知集合，或．（1）求，B；（2）若集合，且为假命题．求m的取值范围．【解析】（1），或，或；（2）∵为假命题，∴为真命题，即，又，，当时，，即，；当时，由可得，，或，解得，综上，m的取值范围为或．例20．（2022·安徽宣城·高一期中）设全集，集合，非空集合，其中．（1）若“”是“”的必要条件，求a的取值范围；（2）若命题“，”是真命题，求a的取值范围．【解析】（1）解：若“”是“”的必要条件，则，又集合为非空集合，故有，解得，所以的取值范围，（2）解：因为，所以或，因为命题“，”是真命题，所以，即，解得．所以的取值范围．题型五：全称量词命题与存在量词命题的否定例21．（2022·吉林吉林·模拟预测（文））设命题，，则命题p的否定为（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】利用含有一个量词的命题的否定方法可知，存在量词命题，的否定为：，．故选：B．例22．（2022·山东·邹平市第一中学高二期中）命题：“，”的否定为（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】含有一个量词的命题的否定，即先否定量词，后否定结论；命题：“，”的否定为“，”，故选：C．例23．（2022·广西·玉林市第十一中学高一阶段练习）命题“，”的否定为（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】“，”的否定为“，”，故选：B﹒例24．（2022·云南玉溪·高一期中）若命题p：，则其否定为：___________．【答案】【解析】因为命题p：，所以其否定：．故答案为：【技巧总结】（1）一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并找到其量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论．（2）对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定．【同步练习】一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2022·河南河南·高一期末）命题“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【解析】解：命题“，”为全称量词命题，其否定为“，”；故选：A2．（2022·四川省眉山第一中学模拟预测（理））设命题，则为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】根据全称量词命题与存在量词命题的关系，可得：命题“”的否定为“”．故选：B．3．（2022·全国·高一专题练习）在下列命题中，是真命题的是（

）A．B．C．D．已知，则对于任意的，都有【答案】B【解析】选项A，，即有实数解，所以，显然此方程无实数解，故排除；选项B，，，故该选项正确；选项C，，而当，不成立，故该选项错误，排除；选项D，，当时，当取得6的正整数倍时，，所以，该选项错误，排除．故选：B．4．（2022·湖南师大附中高一阶段练习）命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】若“为真命题，得对于恒成立，只需，所以是命题“为真命题的一个充分不必要条件，故选：A．5．（2022·全国·高三专题练习）下列说法错误的是（

）A．命题“，”，则：“，”B．已知a，，“且”是“”的充分而不必要条件C．“”是“”的充要条件D．若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件【答案】C【解析】解：对于A选项，命题p：“，”，则，：“，”满足命题的否定形式，所以A正确；对于B选项，已知a，，“且”能够推出“，“”不能推出“且”，所以B正确；对于C选项，时，成立，反之，时，或，所以C不正确；对于D选项，若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件，满足充分与必要条件的定义，所以D正确．故选：C．6．（2022·北京通州·高一期中）给出下面四个命题：①，；②，；③，的个位数字等于3；④，．其中真命题的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】对于①，因为，所以，，所以①对；对于②，当时，，当时，，所以，成立，所以②对；对于③，设，，，的个位数字等于的个位数字，所以的个位数字都不等于3，所以③错；对于④，因数，所以方程无实数解，所以④错．故选：B．7．（2022·吉林·长春十一高高三阶段练习（理））已知命题：，，使得，则为（

）A．，，使得 B．，，使得C．，，使得 D．，，使得【答案】C【解析】由全称量词命题和存在量词命题的否定形式，可得命题：，，使得的否定为：，，使得故选：C8．（2022·河北·辛集市第一中学高一阶段练习）命题“，”为真命题的充要条件是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】原命题可写为“，”，当时，随x增大而增大，所以取最大值为3，所以．故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（2022·重庆·高一期末）已知全集为，，是的非空子集且，则下列关系一定正确的是（

）A．，且 B．，C．，或 D．，且【答案】AB【解析】全集为，，是的非空子集且，则，，的关系用韦恩图表示如图，观察图形知，，且，A正确；因，必有，，B正确；若，则，此时，，即且，C不正确；因，则不存在满足且，D不正确．故选：AB10选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．A．， B．，C．， D．，【答案】ACD【解析】当时，，显然不成立，故选项A是假命题；当时，，故选项B是真命题；对，恒成立，所以，是假命题，故选项C是假命题；当时，不成立，故选项D是假命题．故选：ACD．11．（2022·湖南·长郡中学高一期中）下列命题中，是存在量词命题且为假命题的有（

）A．， B．有的矩形不是平行四边形C．， D．，【答案】AB【解析】ABC均为存在量词命题，D不是存在量词命题，故D错误，选项A：因为，所以命题为假命题；选项B：因为矩形都是平行四边形，所以命题为假命题；选项C：，故命题为真命题，故C错误，故选：AB．12．（2022·江苏·姜堰中学高一阶段练习）下列说法正确的是（

）A．命题“，”的否定是“，”；B．命题“，”的否定是“，”；C．，使得；D．若集合是全集的子集，则命题“”与“”同时成立；【答案】BD【解析】A．命题“，”的否定是“，”，所以该选项错误；B．命题“，”的否定是“，”，所以该选项正确；C．当时，不存在实数，使得，所以该选项错误；D．若集合是全集的子集，则命题“”与“”同时成立，所以该选项正确．故选：BD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（2022·安徽·合肥市庐阳高级中学高三阶段练习（理））已知命题：“，”，命题：“，”，的否定是假命题，是真命题，则实数的取值范围是___________．【答案】【解析】由，得，，因的否定是假命题，则是真命题，于是得，因，，即方程有实根，则，解得，又是真命题，则，因此，由是真命题，也是真命题，可得，所以实数的取值范围是．故答案为：14．（2022·广西师范大学附属外国语学校高二阶段练习（理））命题：“，”的否定是__________．【答案】，或【解析】由存在量词命题的否定：命题的否定为“，或”．故答案为：，或15．（2022·全国·高一期中）若“，”的否定是假命题，则实数的取值范围是_______________．【答案】【解析】由题意，“，”的否定是假命题，即“，”是真命题故，对恒成立又则实数的取值范围是故答案为：16．（2022·江苏·高一期中）命题“对”为真命题，则实数的最小值是_______．【答案】1【解析】当时，不恒成立，为假命题，不符合题意；当时，要使，为真命题，则需，综上可得实数的最小值是1．故答案为：1四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸．17．（10分）（2022·青海·海南藏族自治州高级中学高二期末（理））写出下列命题的否定，并判断它们的真假：（1）：任意两个等边三角形都是相似的；（2）：，．【解析】（1）解：命题“任意两个等边三角形都是相似的”是一个全称量词命题根据全称量词命题与存在量词命题的关系，可得其否定“存在两个等边三角形不是相似的”，命题为假命题．（2）解：根据全称量词命题与存在量词命题的关系，可得：命题的否定为．因为，所以命题为真命题．18．（12分）（2022·新疆师范大学附属中学高二阶段练习）已知命题，，命题，．（1）若命题和命题q有且只有一个为真命题，求实数a的取值范围；（2）若命题p和命题q至少有一个为真命题，求实数a的取值范围．【解析】（1）若命题，为真命题，则，即．所以若为真命题，