平行四边形（含解析）-2020-2021学年八年级数学下册期末复习知识点（人教版）

专题03平行四边形（含解析）

一.平行线之间的距离（共3小题）

1.平行线之间的距离是指（）

A.从一条直线上一点到另一直线的垂线段

B.从一条直线上一点到另一条直线的垂线段长度

C.从一条直线上一点到另一条直线的垂线的长度

D.从一条直线上一点到另一条直线上的一点间线段的长度

2.如图，MNLAB,垂足为M点，MN交CD于N,过用点作MG_LC£>,垂足为G,EF

过点N点，且所//A8,交MG于H点,其中线段的长度是到的距离,

线段MN的长度是到的距离，又是的距离，点W到直线MG的距离

3.有这样的一个定理：夹在两条平行线间的平行线段相等.下面经历探索与应用的过程.

探索：

已知：如图1,AD//BC,AB//CD.求证：AB=CD.

应用此定理进行证明求解.

应用二、已知：如图3,AD//BC,AC1BD,AC=4,BD=3.求：AD与8c两条线

段的和.

直角三角形斜边上的中线（共3小题）

4.如图，在AABC中，ZC=90°,点。在斜边/W上，且A£>=C£>,则下列结论中错误的

结论是（）

A.ZDCB二ABB.BC=BDC.AD=BDD.ZACD=-ABDC

2

5.如图，在RtAABC中，ZABC=90°,为AC边上的中线，过点C作CEJ_8。于点E,

过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点尸，在〃'的延长线上截取FG=BD,连接BG、

DF.若AG=10,8G=4,则b的长为.

6.如图，在AABC中，ZACB=90°,8为AB边上的高，CE为钻边上的中线，4）=2,

CE=5,则CD=

7.在RtAABC中，ZC=90°,ZA=30°,BC=4,D、E分别为AC、他边上的中点,

连接。E并延长£>E到尸，使得EF=2ED,连接3尸，则3厂长为（）

A.2B.2邪＞C.4D.473

8.如图，在AABC中，点。、E1分别是钻、AC的中点，AC=IO,点F是DE上一

点.DF=\.连接AF,CF.若NAFC=90。，则8c的长度为（）

A.18B.16C.14D.12

9.如图，已知AABC中，点用是8C边上的中点,AV平分Nfi4C,BN上AN于点、N,若

AB=8,MN=2,则AC的长为（）

10.如图，四边形"CD中，N4=90。，AB=2』,AD=2,点M,N分别为线段3C,

AB上的动点（含端点，但点“不与点3重合），点E,尸分别为。M,MN的中点，则

长度的最大值为（）

B

A.3B.2GC.4D.2

11.已知AABC中，AB=5,BC=6,AC=7,点£）、E、尸分别为三边中点，则△£）£■/

的周长为—.

四.平行四边形的性质（共4小题）

12.oA8CD中，对角线AC和BD相交于O,如果AC=10,8/）=6,AB=m,那么"的

取值范围是（）

A.1</w<10B.2<m<8C.6<m<8D.4</n<16

13.如图，QABCE）中，对角线AC、%）相交于点O,OELBD交AD于点E,连接BE,

若aABCD的周长为18,则MBE的周长为（）

A.8B.9C.10D.18

14.如图，在平行四边形AfiCD中，ZB=60°,BC=4,点£为边M上的一个动点，连

接£D并延长至点F,使得DF=LDE,以EC、EF为邻边构造平行四边形EFGC,连接EG,

3

则EG的最小值为.

15.如图，QABCD的对角线AC、处相交于点O,且OE=OF.

（1）求证：ABOE=ADOFt

（2）求证：BE//DF.

五.平行四边形的判定（共3小题）

16.如图，四边形A88的对角线AC,BD交于点O,则不能判断四边形A8C。是平行四

边形的是()

A.ZABC=ZADC,ADI/BCB.ZABD=NBDC,ZBAD=ZDCB

C.ZABD=ZBDC,OA=OCD.ZABC=ZADC,AB=CD

17.下列说法不正确的是()

A.两组对边分别平行的四边形是平行四边形

B.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形

C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

D.一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形

18.如图，E,尸是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF=CE,DF=BE,DFUBE.求

证：

(1)AAFDaACEB；

(2)四边形AfiCZ)是平行四边形.

六.平行四边形的判定与性质(共3小题)

19.(1)甲、乙两个服装厂加工同种型号的防护服，甲厂每天加工的数量是乙厂每天加工数

量的1.5倍，两厂各加工600套防护服，甲厂比乙厂要少用4天.求甲、乙两厂每天各加工

多少套防护服？

(2)如图，点C,。在线段他上，CELAB,DF1AB,AC=BD,AE=BF,点、G为

AB,即的交点，求证。£＞与即互相平分.

E

20.如图，已知四边形ABC£>,AD=BC，AB=DC,对角线AC、89相交于点O,点E

是四边形A8CD外一点.

（1）求证：AC,班»互相平分；

（2）若NAEC=NBED=90°,请判断四边形ABC。的形状，并给予证明.

E

BC

21.如图，在四边形ABCD中，AC和3D是它的两条对角线，点E,E分别为A£>、BC的

中点，点M、N分别为比）、AC的中点.求证：EF与MN互相平分.

七.菱形的性质（共3小题）

22.如图所示，在菱形他CD中，AC、如相交于O,NABC=70。，E是线段AO上一点,

23.如图，在菱形AfiCD中，AC与8。相交于点O,点P是■的中点，PO=2,则菱形

A88的周长是（）

A.4B.8C.16D.24

24.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、8£）相交于点O,£为他中点，AC=6,BD=8,

则线段OE的长为—.

八.菱形的判定（共2小题）

25.如图，将AABC沿射线BC方向平移得到ADCE,当AABC满足条件时（填一个条

件），能够判定四边形ACED为菱形.

26.如图，在Q/WC£）中，点£、尸在对角线瓦＞上，BE=DF.

（1）求证：四边形业户是平行四边形：

（2）若比）平分NABC,求证：四边形是菱形.

九.菱形的判定与性质（共2小题）

27.如图，四边形438中，AB//CD,对角线AC平分NfiAZ）,且CB/MD.

（I）求证：四边形是菱形；

(2)如果四边形ABQ9的面积为24,AC=8,则四边形ABC£＞的周长为.

28.在RtAABC中，NR4c=90。，。是3c的中点，£是AD的中点，过点A作AF//3c交

5E的延长线于点尸.

(1)证明：四边形ADb是菱形；

(2)若AC=3,43=4,求菱形49CF的面积.

一十.矩形的性质(共4小题)

29.如图，在矩形中，AB=4,8C=8,对角线AC、BE＞相交于点O,过点。作。E

)

C.2.4D.2.5

30.如图，在矩形中，4£＞=10,AB=6,点E为8c上的一点,£D平分ZAEC,

则8E的长为()

A.10B.8C.6D.4

31.下列结论中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是()

A.内角和为360。B.对角线互相平分

C.对角线相等D.对角线互相垂直

32.如图，矩形中，AB=2,BC=4,E在边8c上运动，M、N在对角线应)上

运动，且MV=6，连接CM、EN,则CA/+£7V的最小值为.

一十一.矩形的判定(共3小题)

33.下列关于四边形的说法，正确的是()

A.四个角相等的四边形是菱形

B.对角线互相垂直的四边形是矩形

C.有两边相等的平行四边形是菱形

D.两条对角线相等的菱形是矩形

34.如图，在平行四边形ABC。中，对角线AC、BD交于点O.

(1)若于点£,3尸，4。于点尸，求证：AE=CF；

(2)若。O=』AC,求证：四边形/WCD为矩形.

2

35.如图，在AABC中，ZACB=90°,。点是AB的中点，DE、£犷分别是ABDC、AADC

的角平分线.

(1)求NCFD的度数；

(2)求证：四边形是矩形.

E

ADB

一十二.矩形的判定与性质（共2小题）

36.如图，在AABC中，AB=3,AC=4,BC=5,P为边3c上一动点，于E,

PF_LAC于尸，"为EF中点，则AM的最小值为（）

37.已知AA8c的三边4?=3,AC=4,BC=5,如图，P为8c边上一动点，PMLAB

于点M,PN工AC于■点、N.

（1）求证：四边形AWPN是矩形；

（2）在点尸的运动过程中，MN的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存

在，请说明理由.

一十三.正方形的性质（共4小题）

38.如图，已知正方形W）的边长为4,P是对角线加上一点，PEI/CD千点、E,PF11BC

于点尸，连接”，EF.给出下列结论：①PD=4iEC；②四边形PECF的周长为8；③

A4PD一定是等腰三角形；④=其中正确结论的序号为（）

A.①②④B.①③④C.②④D.②③

39.如图，点A,B,£在同一条直线上，正方形正方形BEFG的边长分别为6、

8,”为线段小的中点，则的长为()

A.6B.8C.6或8D.5夜

40.如图，正方形A88和正方形CEFG中，点。在CG上，BC=1,4是AF的中点，CH=3,

那么CE的长是()

A.3B.4C.V15D.V17

41.在矩形A88中，AB=3,BC=4,动点E从B出发，以每秒1个单位的速度，沿射

线3c方向运动，连接AE,以AE为边向上作正方形A£FG.设点E的运动时间为f(r>0).

(1)如图1,EF与CD边交于点、M,当DW=E”时，求此时f的值；

(2)如图2,当点F恰好落在矩形任意两个顶点的所在直线上时，请求出所有符合条件的r

的值.

图1图2

一十四.正方形的判定（共2小题）

42.下列说法中，正确的是（）

A.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形

B.对角线相等的四边形是矩形

C.有一组邻边相等的矩形是正方形

D.对角线互相垂直的四边形是菱形

43.下列说法不正确的是（）

A.有一个角是直角的菱形是正方形

B.对角线互相垂直的矩形是正方形

C.四条边都相等的四边形是正方形

D.两条对角线相等的菱形是正方形

一十五.正方形的判定与性质（共3小题）

44.如图，小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB=BC,

@ZABC=90°,®AC=BD,④AC_L超＞中任选两个作为补充条件，使口MCI）为正方

形.现有下列四种选法，你认为其中错误的是（）

45.如图，点E是正方形对角线AC上一点，EF1AB,EG±BC,垂足分别为产，

G,若正方形的周长是40（加.

（1）求证：四边形是矩形；

（2）求四边形EFBG的周长；

（3）当AF的长为多少时，四边形BFEG是正方形？

46.如图，已知四边形为正方形，48=3亚，点E为对角线AC上一动点，连接DE,

过点£作防，小，交BC于点F,以DE、为邻边作矩形E>£FG,连接CG.

(1)求证：矩形QEFG是正方形;

(2)探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由.

专题03平行四边形（含解析）

参考答案与试题解析

平行线之间的距离（共3小题）

1.平行线之间的距离是指（）

A.从一条直线上一点到另一直线的垂线段

B.从一条直线上一点到另一条直线的垂线段长度

C.从一条直线上一点到另一条直线的垂线的长度

D.从一条直线上一点到另一条直线上的一点间线段的长度

【分析】根据平行线间的距离的定义直接进行选择即可.

【解答】解：平行线之间的距离是指：从一条直线上一点到另一条直线的垂线段长度.

故选：B.

【点评】本题考查了平行线间的距离的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键.

2.如图，MNA.AB,垂足为〃点，MN交CD于N,过M点作MG_LC£>,垂足为G,EF

过点N点，且防/MB,交MG于H点、,其中线段GM的长度是点M到的距

离，线段的长度是到的距离，又是的距离，点N到直线的距离

是

【分析】点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段的长度，根据这一定义结合图

形进行填空即可.

【解答】解：线段GM的长度是点M到直线的距离；

线段MN的长度是点M到直线印的距离，又是平行线43、EF间的距离；

点N到直线MG的距离是线段GN的长度.

【点评】正确理解点到直线的距离的定义是解决此类问题的关键.

3.有这样的一个定理：夹在两条平行线间的平行线段相等.下面经历探索与应用的过程.

探索：

己知：如图1,AD//BC,AB//CD.求证：AB=CD.

应用此定理进行证明求解.

段的和.

【分析】探索：利用平行线的性质得出，ZDAC=ZBCA,ZBAC=ZDCA,进而得出

/SABCACDA(ASA),求出即可；

应用一：作DE//AB交BC于点E,利用平行线的性质得出々=NC;

应用二：利用平行线的性质结合勾股定理得出45与3c两条线段的和.

【解答】探索：

证明：如图1,

连接AC,

-,-AD//BC,:.ZDAC=ZBCA

-,-AB//CD.ZBAC=ZDCA

在MBC和ACD4中，

ZBAC=ZDCA

<AC=AC,

NACB=NDAC

.­.AABC^ACDA(ASA),

/.AB=CD；

应用一：

证明:如图2,

作DE//AB交BC于点、E,

-.•AD//BC,

:.AB=DE

\AB=CDf

/.DE=CD»

/.ZDEC=ZC

•：DEIIAB,

:"B=ZDEC,

:"B=/C;

应用二、

解：如图3,

作DF//AC交BC的延长线于点F

-,-AD//BC,:.AC=DF,AD=CF,

DF11AC,ABDF=ZBEC,

.AC^BD,:.ZBDF=NBEC=90。,

在RtABDF中，由勾股定理得：BF=5,

【点评】此题主要考查了勾股定理以及全等三角形的判定与性质和平行线的性质等知识，正

确作出辅助线是解题关键.

二.直角三角形斜边上的中线（共3小题）

4.如图，在AABC中，NC=90。，点。在斜边上，且A£>=CD,则下列结论中错误的

结论是（）

A.ZDCB=ZBB.BC=BDC.AD=BDD.ZACD=-ZBDC

2

【分析】根据同角的余角相等判断A：根据题意判断3；根据等腰三角形的性质判断C；

根据三角形的外角性质判断D.

【解答】解：♦.•NC=90。，

.-.ZA+ZB=9Q°,ZACD+ABCD=90°,

.AD=CD,

:.ZA=ZACD,

:.ZB=ZBCD,A选项结论正确，不符合题意；

3c与比＞不一定相等，8选项结论错误，符合题意；

•;NB=NBCD,

:.BD=CD,

.AD=CD,

：.AD=BD,C选项结论正确，不符合题意；

■.•ZA=ZACD,

：.NBIX：=ZA+ZACD=2ZACD,

:.ZACD=-ZBDC,。选项结论正确，不符合题意；

2

故选：B.

【点评】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，掌握在

直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键.

5.如图，在RtAABC中，ZABC=90°,比）为AC边上的中线，过点C作CE_L8。于点E,

过点A作BD的平行线,交CE的延长线于点F,在瓶的延长线上截取FG=BD,连接BG、

DF.若AG=10,BG=4,则CF的长为_2近_.

G

//\

ADC

【分析】首先可判断四边形8GFZ)是平行四边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半，

可得BD=FD,则可判断四边形是菱形，则GF=5,则AF=8,AC=10,在RtAACF

中利用勾股定理可求出CF的值.

【解答】解：;AG//%),BD=FG,

：.四边形3GFD是平行四边形，

■.CFYBD,

:.CF±AG,

又•.,瓦)为AC边上的中线，zS4BC=90°,

:.BD=DF=-AC,

2

二四边形3GF力是菱形，

:.BD=DF=GF=BG=4,贝UA尸=AG-G尸=10—4=6,AC=2BD=8,

•.•在RtAACF中，ZCFA=90°,

:.AF2+CF2=AC2,EP62+CF2=82,

解得：CF=2y/l.

故答案是：2出.

【点评】本题考查了菱形的判定与性质、勾股定理及直角三角形的斜边中线的性质，解答本

题的关键是判断出四边形8Gm是菱形.

6.如图，在AA8C中，ZACB=90°,8为45边上的高，CE为45边上的中线，4)=2,

【分析】根据直角三角形的性质求出四，结合图形求出班＞,根据射影定理计算.

【解答】解：•.•NACB=90。，CE为43边上的中线，

.\AB-2CE=10,

.-.BD=AB-AD=S,

由射影定理得，CD=qADBD=4,

故答案为：4.

【点评】本题考查的是直角三角形的性质，射影定理，在直角三角形中，斜边上的中线等于

斜边的一半.

三.三角形中位线定理（共5小题）

7.在RtAABC中，ZC=90°,ZA=30°.BC=4,D、E分别为AC、AB边上的中点,

连接。E并延长小到尸，使得EF=2ED,连接5尸，则成长为（）

A.2B.2>/3C.4D.473

【分析】根据直角三角形的性质求出A3,进而求出AE、硝，根据三角形中位线定理得

到DEHBC,得到ZAED=ZAED=60°,根据等边三角形的判定定理和性质定理解答即可.

【解答】解：在RtAABC中，ZC=90°,ZA=30°,BC=4,

..AB=2BC=8,ZABC=60°,

•.•E为4?边上的中点，

:.AE=EB=4,

­：D,£分别为AC、/R边上的中点，

.-.DE//BC,

：.ZAED=ZAED=6O°,

:.ZBEF=ZABC=Of,

在RtAAED中，ZA=30。，

：.AE=2DE,

•;EF=2DE,

：.AE=EF,

；.MEF为等边三角形,

:.BF=BE=4,

故选：C.

【点评】本题考查的是三角形中位线定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形的性质,

掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键.

8.如图，在AA8C中，点、D、E分别是AB、AC的中点，4C=I0,点F是DE上一

点.DF=1.连接AF,CF.若NAFC=90。，则BC的长度为（）

A.18B.16C.14D.12

【分析】根据直角三角形的性质求出所，进而求出DE,根据三角形中位线定理计算，得

到答案.

【解答】解：♦.•NAFC=90。，点E是AC的中点，AC=10,

.•.EF=-AC=-xlO=5,

22

,;DF=\,

.-.DE=DF+EF=6,

•.•点£＞、E分别是AB、AC的中点，

:.BC=2DE=\2,

故选：D.

【点评】本题考查的是直角三角形的性质、三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于

第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键.

9.如图，已知AABC中，点M是BC边上的中点，AV平分N班C,BN上AN于悬N,若

AB=8,MN=2,则AC的长为（）

A.12B.11C.10D.9

【分析】延长助V交AC于。，证明=根据全等三角形的性质、三角形中位

线定理计算即可.

【解答】解：如图，延长8V交AC于£>,

在A4NB和AAA©中，

.NNAB=NNAD

■AN=AN,

ZANB=NAND=90°

:.MNBMMND（ASA）,

:.AD=AB=8,BN=ND,

又是AABC的边8c的中点，

:.MN是ABCD的中位线，

:.DC=2MN=4,

:.AC=AD+CD=S+4=12,

故选：A.

【点评】本题考查的是三角形中位线定理，关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，并且

等于第三边的一半.

10.如图，四边形A8C。中，NA=90。，AB=2g,4D=2,点M,N分别为线段8C,

45上的动点（含端点，但点M不与点3重合），点E,尸分别为。M,MN的中点，则即

长度的最大值为（）

A.3B.26C.4D.2

【分析】连接ON、DB,根据勾股定理求出即，根据三角形中位线定理得到

2

结合图形解答即可.

【解答】解：连接£>N、DB,

在RtADAB中，ZA=90°,AB=2+,AD=2,

：.BD=yjAD2+AB2=4,

•.•点E,尸分别为MN的中点，

:.EF=-DN,

2

由题意得，当点N与点8重合是£W最大，最大值为4,

防长度的最大值为2,

故选：D.

【点评】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理，掌握三角形的中位线等于第三边的一

半是解题的关键.

II.已知AABC中，AB=5,BC=6,AC=7,点。、E、F分别为三边中点，则ADEF

的周长为9.

【分析】根据三角形中位线定理分别求出DE、EF、DF,根据三角形的周长公式计算即

可.

【解答】解：•.•点£>,E分别4?、BC的中点,

:.DE=-AC=3.5,

2

同理，DF=-BC=3,EF=-AB=2.5,

22

ADEF的周长=QE+EF+£＞尸=9,

故答案为:9.

【点评】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第

三边的一半是解题的关键.

四.平行四边形的性质（共4小题）

12.aABCD^,对角线AC和双）相交于O,如果AC=10,BD=6,AB=m,那么，〃的

取值范围是（）

A.1</«<10B.2<m<8C.6<<8D.4</n<16

【分析】根据平行四边形的性质求出、OB,根据三角形的三边关系定理得到

OB-OA<m<OA+OB,代入求出即可求得的取值范围.

【解答】解：•.•四边形是平行四边形，AC=IO,BD=6,

.\OA=OC=5,OD=OB=3,

在AOAB中，OB-OA<m<OA+OB,

5-3VAz2V5+3,

2<"?<8,

【点评】本题考查对平行四边形的性质，三角形的三边关系定理等知识点的理解和掌握，求

出、03后得出03-<Q4+03是解此题的关键.

13.如图，口钻8中，对角线AC、或）相交于点O,比_13£>交4）于点£,连接BE,

若口ABC。的周长为18,则A4BE的周长为（)

A.8B.9C.10D.18

【分析】先证EO是比）的中垂线，得出BE=ED,从而可得出AABE的周长=4?+AT>,

再由QA8CD的周长为18,即可得出答案.

【解答】解：•.•四边形438是平行四边形，

:.OB=OD,AB=CD,AD=BC,

•.七•8的周长为18,

AB+AD=9,

.OE±BD,

二OE是线段8。的中垂线，

:.BE=ED,

AA8E的周长=A8+5E+AE=A8+=9,

故选：B.

【点评】此题考查了平行四边形的性质、线段的中垂线的性质以及三角形周长等知识，解答

本题的关键是判断出OE是线段处的中垂线.

14.如图，在平行四边形A8CD中，ZB=60°,8c=4,点E为边A3上的一个动点，连

接£»并延长至点尸，使得DF=，OE,以EC、即为邻边构造平行四边形EFGC,连接EG,

3

【分析】根据题意和平行四边形的性质，可以得到区）和）的比值，再根据三角形相似和

最短距离，即可得到EG的最小值，本题得以解决.

【解答】解：作于点”，

・・•在口ABC。中，Zfi=60。，BC=4,

CH=26

・・•四边形ECGF是平行四边形，

:.EF//CG.

:.\EOANGOC,

.EODOED

GO~~cd~GC'

・・・DF=-DE,

3

DE3

----=—,

EF4

ED3

---=—，

GC4

EO3

/.=—,

GO4

・•.当EO取得最小值时，EG即可取得最小值,

当EO_LCD时，EO取得最小值，

CH=EO,

..£0=26，

:.GO=-^，

3

/.EG的最小值是2V3+-V3=—73，

33

故答案为：—\/3.

3

【点评】本题考查平行四边形的性质、三角形的相似、垂线段最短，解答本题的关键是明确

题意，利用数形结合的思想解答.

15.如图，oABCD的对角线AC、8。相交于点O,且。石二O尸.

(1)求证：NBOE=MX)F■,

（2）求证：BE!IDF

【分析】（1）由平行四边形的性质得出03=8,由SAS证明ABOE三ADOF即可;

（2）先证明四边形EMD是平行四边形，由平行四边形的性质可得出结论.

【解答】（1）证明：•.•四边形ABCD是平行四边形，

08=00,

在ABOE和ADOF中，

OE=OF

-NB0E=4DOF,

OB=OD

\BOE=ADOF（SAS）；

（2）连接。E、BF,

由（1）知ABOE=ADOF,

:.OB=OD,OE=OF,

：.四边形是平行四边形，

:.BE//DF.

【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四

边形的判定与性质是解决问题的关键.

五.平行四边形的判定（共3小题）

16.如图，四边形438的对角线AC,BD交于点、O,则不能判断四边形ABCD是平行四

边形的是（）

A

D

//

----^C

A.ZABC=ZADC,AD//BCB.ZABD=^BDC,ABAD=ZDCB

C.ZABD=ZBDC,OA=OCD.ZABC=ZADC,AB=CD

【分析】利用所给条件结合平行四边形的判定方法进行分析即可.

【解答】解：A、；AD/IBC,

NABC+NBM>=180。，

•/ZABC=ZAZX?,

/.ZAZ）C+ZBAD=180o,

：.AB//CD,

••・四边形ABC。是平行四边形，故此选项不合题意；

B、・.・ZABD=NBDC,NBAD=/DCB,

：.ZADB=NCBD,

：.AD//CB,

・・・ZABD=ZBDC,

.・.ABI/CD,

.•・四边形ABC。是平行四边形，故此选项不合题意；

C、\ZABD=ZBDC,OA=OC,

又ZAOB=/COD,

:.^AOB=ACOD（AAS）t

:.DO=BO,

••・四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；

D、ZABC=ZADC,/W=CD不能判断四边形ABC。是平行四边形，故此选项符合题意;

【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握（1）两组对边分别平行的四边形

是平行四边形.（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形.（3）一组对边平行且相等的

四边形是平行四边形.(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形.(5)对角线互相平分

的四边形是平行四边形.

17.下列说法不正确的是()

A.两组对边分别平行的四边形是平行四边形

B.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形

C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

D.一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形

【分析】由平行四边形的判定分别对各个选项进行判断即可.

【解答】解：A、•.•两组对边分别平行的四边形是平行四边形，

选项A不符合题意；

3、•.•一组时边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，

，选项B符合题意；

C、•.•一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，

，选项C不符合题意；

•一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，

选项。不符合题意；

故选：B.

【点评】本题考查了平行四边形的判定；熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键.

18.如图，E,尸是四边形/WCD的对角线AC上两点，AF=CE,DF=BE,DFUBE.求

证：

(1)MFD三NCEB；

(2)四边形他CD是平行四边形.

【分析】(1)利用两边和它们的夹角对应相等的两三角形全等(SAS),这一判定定理容易证

(2)由AAFD三容易证明AQ=8C且AQ//BC,可根据一组对边平行且相等的四

边形是平行四边形.

【解答】证明：（1）-.-DF//BE,

；.ZDFE=ZBEF.

在AADF和ACBE中,

DF=EB

<ZDFA=ZBEC,

AF=CE

:.^FD^ACEB(SAS)；

(2)由(1)知AAFZ)三ACE3,

.-.ZDAC=ZBCA,AD=BC,

：.AD//BC.

：.四边形ABCD是平行四边形.

【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和平行四边形的判定，熟练掌握全等三角形的判

定定理是解题的关键.

六.平行四边形的判定与性质（共3小题）

19.（1）甲、乙两个服装厂加工同种型号的防护服，甲厂每天加工的数量是乙厂每天加工数

量的1.5倍，两厂各加工600套防护服，甲厂比乙厂要少用4天.求甲、乙两厂每天各加工

多少套防护服？

（2）如图，点C,。在线段/W上，CEA.AB,DFA.AB,AC=BD,AE=BF,点G为

AB,所的交点，求证CD与EF互相平分.

【分析】（1）设乙厂每天加工x套防护服，则甲厂每天加工1.5x套防护服，根据“两厂各加

工600套防护服，甲厂比乙厂要少用4天”列出分式方程解答即可；

(2)连接CF、DE,易证CE//DF,由此证得AACE三ABDF,得出CE=OF,则四边

形CFE应为平行四边形，即可得出结论.

【解答】(1)解：设乙厂每天加工x套防护服，则甲厂每天加工1.5x套防护服，

由题意得：600_629.=4,

x1.5%

解得：x=50,

经检验：x=5O是所列方程的解，

/.1.5x=75,

答：甲厂每天加工75套防护服，乙厂每天加工50套防护服；

(2)证明：连接CF、DE,如图所示：

.CEA.AB,DFLAB,

:.CE//DF,ZACE=ZBDF=90°,

在RtAACE与RtABDF中，

\AC=BD

[AE=BF'

:.^CE=\BDF(HL),

：.CE=DF,

：.四边形CFDE为平行四边形，

.•.8与防互相平分.

【点评】本题考查分式方程的应用、平行线的判定、全等三角形的判定与性质、平行四边形

的判定与性质等知识；正确分析题意找到合适的数量关系和熟练掌握平行四边形的判定是解

决问题的关键.

20.如图，已知四边形A8C£>,AD=BC,AB=DC,对角线AC、3D相交于点O,点E

是四边形43co外一点.

（1）求证：AC、如互相平分；

（2）若NAEC=NBED=90°,请判断四边形ABCZ）的形状，并给予证明.

E

BC

【分析】（1）证四边形A88是平行四边形，即可得出结论；

（2）由（1）得：四边形ABCD是平行四边形，则。4=OC,OB=OD,再由直角三角形

斜边上的中线性质得OE=，AC,OE=-BD,则AC=M,即可得出结论.

22

【解答】（1）证明：•.,AO=8C,AB^DC,

：.四边形/WCZ）是平行四边形，

:.AC>互相平分；

（2）解：四边形438是矩形，证明如下：

连接OE，如图所示：

由（1）得：四边形ABC£>是平行四边形，

:.OA=OC,OB=OD,

•.■ZAEC=ZBED=90°,

:.OE=-AC,OE=-BD,

22

.e.AC=BD9

平行四边形ABCD是矩形.

【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、直角三角形斜边上的中线性质

等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键.

21.如图，在四边形A8CD中，AC和应）是它的两条对角线，点E,尸分别为A。、8c的

中点，点M、N分别为BD、AC的中点.求证：b与MN互相平分.

【分析】连接ME、MF、NE、NF,证出ME是的中位线，由三角形中位线定理

得出ME〃相，同理叱//8,ENUCD,FN//AB,再证出ME〃/W,MFHEN,则

四边形£M/W是平行四边形，即可得出结论.

【解答】证明：连接ME、MF、NE、NF,如图所示：

：E,M分别是A£>,或>的中点，

.•.ME是的中位线，

:.ME//AB,

同理：MFUCD,EN//CD,FN//AB,

:.ME//FN,MF//EN,

：.四边形EMFN是平行四边形，

,印与互相平分.

【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理等知识；熟练掌握三角形

中位线定理，证明四边形项ffW为平行四边形是解题的关键.

七.菱形的性质（共3小题）

22.如图所示，在菱形A3CD中，AC,加）相交于O,ZABC=70°,E是线段AO上一点，

则NBEC的度数可能是（）

A.100°B.70°C.50°D.20°

【分析】由菱形的性质可得NABO=35。，AC±BD,可得44c=55。，由三角形的外角

性质可求解.

【解答】解：•.,四边形ABCD是菱形，ZABC=70°,

.-.ZABO=35°,AC.LBD,

ABAC=55°,

ZBEC=ZBAC+ZABE,

.•.55啜区BEC90°,

故选：B.

【点评】本题考查了菱形的性质，熟练运用菱形的性质是本题的关键.

23.如图，在菱形/WCD中，AC与相交于点O,点P是的中点，PO=2,则菱形

ABC£）的周长是（）

A.4B.8C.16D.24

【分析】根据菱形的性质可得AC,3D,M=3C=8=4）,再根据直角三角形的性质

可得AB=2OP,进而得到他长，然后可算出菱形ABCD的周长.

【解答】解：•.•四边形/WCD是菱形，

：.ACLBD,AB=BC=CD=AD,

•.•点P是43的中点，

.-.AB=2OP,

-.PO=2,

:.AB=4,

二.菱形ABC。的周长是：4x4=16,

故选：C.

【点评】此题主要考查了菱形的性质，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直，四边相等,

此题难度不大.

24.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、3。相交于点O,E为他中点，AC=6,BD=8,

则线段O£的长为-

-2-

【分析】由菱形的性质可得。4=OC=3,OB=OD=4,AOA.BO,由勾股定理求出49,

再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果.

【解答】解：•.•四边形ABCD是菱形，AC=6,BD=8,

:.OA=OC=3,OB=OD=4,AOA.BO,

在RtAAOB中，由勾股定理得：AB=^OA2+OB2=732+42=5,

•••E为AB中点,

:.OE=-AB=-

22

故答案为：—.

2

【点评】本题考查了菱形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质等知识；熟练掌

握菱形对角线互相垂直且平分的性质是解题的关键.

八.菱形的判定（共2小题）

25.如图，将AABC沿射线8c方向平移得到ADCE,当AABC满足条件_AC=8C_时（填

一个条件），能够判定四边形HCTO为菱形.

【分析】由题意可证四边形ACED是平行四边形，根据菱形的判定，可得满足条件.

【解答】解：AABC满足条件为AC=BC

•・•将AABC沿射线8C方向平移得到/SDCE

AD=CE,ADIICE

四边形AC。是平行四边形

\AC=BC

，平行四边形ACED是菱形.

故答案为AC=BC

【点评】本题考查了菱形的判定，平移的性质，熟练运用平移的性质是本题的关键.

26.如图，在口A8CD中，点E、尸在对角线应)上，BE=DF.

(1)求证：四边形血户是平行四边形；

(2)若83平分NABC,求证：四边形AEB是菱形.

BC

【分析】(1)由平行四边形的性质得。4=OC,OB=OD,再证。E=。e，即可得出结论;

(2)根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可证明.

【解答】证明：(1)如图，连接AC,与皮)相交于点O,

四边形AfiCD是平行四边形，

:.OA-OC,OB=OD,

.BE=FD,

:.OB-BE=OD-DF,即OE=O尸.

四边形AEC尸是平行四边形；

(2)•.•四边形ABCD是平行四边形，

/.AD//BC,

:.ZADB=ZDBC,

•.,如平分ZAfiC,

:.ZABD=ADBC,

:.ZABD=ZADB,

.\AB=AD,

.••平行四边形ABC。是菱形，

ACVBD,

即ACJLEF;

由（1）得：四边形AECF是平行四边形,

.•.四边形业户是菱形.

【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定等知

识；熟练掌握菱形的判定与性质和平行四边形的判定与性质是解题的关键.

九.菱形的判定与性质（共2小题）

27.如图，四边形中，AB//CD,对角线AC平分NS4Z）,且CB//AD.

（1）求证：四边形是菱形；

（2）如果四边形48（%＞的面积为24,AC=8,则四边形ABC。的周长为20.

【分析】（1）先证四边形/W8是平行四边形，再证AD=CD,即可得出结论；

（2）连接皮）交47于O,由菱形的性质得A5=8C=CD=AD,OA=OC=-AC=^,

2

OB=OD,ACLBD,再由菱形的面积求出比＞=6,则O3=OD=3,然后由勾股定理求

出AB=5,即可求解.

【解答】（1）证明：•.,A8//8,CB//AD,

：.四边形/WCD是平行四边形，

•.•AC平分

:.ZBAC=ZDAC,

•/AB//CD,

ZBAC=ZACD,

.\ZDAC=ZACD,

:.AD=CD,

・•・平行四边形ABC。是菱形；

（2）连接班）交AC于O,如图所示：

由（1）得：四边形A8CD是菱形，

:.AB=BC=CD=AD,OA=OC」AC=