微积分函数定稿

微积分函数定稿第一页，共四十四页，编辑于2023年，星期六CompanyLogoPowerPointTemplate第一章函数第二页，共四十四页，编辑于2023年，星期六CompanyLogoPowerPointTemplate1.1.1集合

1.集合的概念集合是数学中最基本的概念之一．通常将具有某种特定性质的事物的总体称为集合，组成这个集合的每一个事物称为该集合的元素．习惯上常用大写拉丁字母A，B，C，X，Y，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，x，y，…表示集合中的元素．对于给定的集合A和元素a，二者的关系是确定的，要么a在集合A中，记作a∈A，读作a属于A；要么a不在集合A中，记作a∉

A，读作a不属于A，二者必居其一．1.1集合集合1.1第三页，共四十四页，编辑于2023年，星期六CompanyLogoPowerPointTemplate

第一章函数含有有限个元素的集合称为有限集；含有无穷多个元素的集合称为无限集；不含任何元素的集合称为空集，用Ø

表示．表示集合的方法主要有两种：一是列举法，二是描述法．列举法，就是把集合中的所有元素一一列举出来．如集合A由a1，…，an所组成，则可以将其表示为A={a1，…,an}；而描述法，则是强调指出具有某种性质P的元素x的全体所组成，通常表示成A={x|x具有性质P}，例如，集合A是方程x2-3x+2=0的解集，就可表示成A={x|x2-3x+2=0}，再如，集合B是不等式0<3x-2≤1的解集，则可表示成B={x|0<3x-2≤1}.第四页，共四十四页，编辑于2023年，星期六CompanyLogoPowerPointTemplate

第一章函数2.集合与集合间的关系设A、B是两个集合，若对任意a∈A⇒a∈B,则称A是B的子集，记作A⊂B(读作A含于B)或B⊃A(读作B包含A)；若A

⊂

B且B

⊂A，则称A与B相等，记作A=B.特别地，规定Ø

⊂A，其中A为任何集合.如果集合的元素都是数，则称其为数集.常用的数集有(1)自然数集(或非负整数集)记作N，即N={0，1，2，…，n，…}；

(2)正整数集记作N+，即N+={1，2，3，…，n，…}；

(3)整数集记作Z，即Z={…，–n，…，–2，–1，0，1，2，…，n，…}；第五页，共四十四页，编辑于2023年，星期六CompanyLogoPowerPointTemplate

第一章函数(4)有理数集记作Q={|p∈Z,q∈N+且p,q互质}；(5)实数集记作R;正实数集记作R+.1.1.2集合的运算1.集合的运算集合间的基本运算有三种:并、交、差.设有集合A、B，它们的并集记作A∪B,A∪B≜{x|x∈A或x∈B}.集合A与B的交集记作A∩B(或AB)，A∩B≜

{x|x∈A且x∈B}.集合A、B的差集记作A＼B,A＼B

≜{x|x∈A且x∉B}.第六页，共四十四页，编辑于2023年，星期六CompanyLogoPowerPointTe`plate

第一章函数通常我们将所研究的某一问题纳入到某个大集合Ω中进行，所研究的其他集合都是Ω的子集，此时我们称Ω为全集.而将Ω＼A称为A的补集或余集用Ac

表示，即记Ac=Ω＼A.如Ω=R时，集合A={x|-1<x≤1},则Ac={x|x≤-1或x>1}.2.集合的运算规律集合的运算满足如下运算规律:设A、B、C及Ai(i=1,2,3，…)为Ω中的集合，则

第七页，共四十四页，编辑于2023年，星期六CompanyLogo

(1)A∪B=B∪A,A∩B=B∩A;交换律

(2)(A∪B)∪C=A∪(B∪C),(A∩B)∩C=A∩(B∩C);结合律

(3)A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C),A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C);结合律

(4)(A∪B)c=Ac∩Bc,(A∩B)c=Ac∪Bc;对偶律

(5)对偶律以上运算规律均可依据集合相等的定义加以证明，留给读者一试.1.1.3区间与邻域区间是常用的一类数集,大体可以分为有限区间和无限区间.

1.有限区间设a,b为实数，且a<b,通常有如下定义与记法:

(1)闭区间［a,b］={x|a≤x≤b};

(2)开区间(a,b)={x|a<x<b};PowerPointTemplate

第一章函数第八页，共四十四页，编辑于2023年，星期六CompanyLogo

第一章函数

(3)半开半闭区间［a,b)={x|a≤x<b},

(a,b］={x|a<x≤b}.以上区间称为有限区间，a、b称为区间端点，a为左端点，b为右端点，数b-a称为区间的长度.从几何上看，这些区间是数轴上长度有限的线段，可以用图1-1(a)、(b)、(c)和(d)在数轴上表示出来

2.无限区间引进记号+∞(读作正无穷大)及-∞(读作负无穷大)，则可类似地给出无限区间的定义和记法.

第九页，共四十四页，编辑于2023年，星期六CompanyLogoPowerPointTemplate

第一章函数

(1)［a,+∞)={x|x≥a};

(2)(a,+∞)={x|x>a};

(3)(-∞,b］={x|x≤b};

(4)(-∞,b)={x|x<b};

(5)(-∞,+∞)=R.前四个无限区间同样可以在数轴上分别用图1-2(a)、(b)、(c)和(d)表示，而(-∞,+∞)就是整个实数轴.图1-2第十页，共四十四页，编辑于2023年，星期六CompanyLogoPowerPointTemplate

第一章函数

3.邻域及去心邻域邻域也是我们经常用到的概念.设a,δ∈R,其中δ>0,称开区间(a-δ,a+δ)为点a的δ邻域，记为U(a,δ)，即U(a,δ)=(a-δ,a+δ)={x|a-δ<x<a+δ}

={x||x-a|<δ}.点a称为邻域的中心，δ称为邻域的半径.U(a,δ)可以在数轴上表示为图1-3.

图1-3有时用到的数集需要把邻域的中心去掉，邻域U(a,δ)去掉中心a后，称为点a的去心δ邻域，记作Ů(a,δ),即

第十一页，共四十四页，编辑于2023年，星期六CompanyLogoPowerPointTemplate

第一章函数Ů(a,δ)=(a-δ,a)∪(a,a+δ)={x|0<|x-a|<δ},是两个开区间的并集，见图1-4.

函合图1-4

为表达方便，有时把开区间(a-δ,a)称为a的左δ邻域，把开区间(a,a+δ)称为a的右δ邻域.有时在研究某一变化过程中，无需指明a的某邻域(或去心邻域)的半径，此时就简单地记为U(a)(或Ů(a)),读作a的某邻域(或a的某去心邻域).第十二页，共四十四页，编辑于2023年，星期六CompanyLogoPowerPointTemplate

第一章函数1.2.1函数的概念在研究自然现象、客观规律和经济现象、经济规律过程中，往往会遇到各种不同的量，其中有的量在过程中始终不变，保持一定的数值，这种量叫做常量；还有一些量在过程中是变化着的，可以取不同的数值，这种量叫做变量.通常用字母a,b,c等表示常量，用字母x,y,z等表示变量.但变量没有孤立存在的，变量和变量之间往往都相互作用、相互依赖和相互影响，而函数是描述变量之间相互依存关系的重要工具之一.函数是微积分学中的基本概念，研究函数的局部性质、整体性质、函数的分解与合成以及函数的变化规律构成了微积分的基本内容.下面我们给出函数的定义.

定义1-1

设在某变化过程中有两个变量x和y,变量x在一个给定的数域D函数1.2第十三页，共四十四页，编辑于2023年，星期六CompanyLogoPowerPointTemplate

第一章函数中取值，如果对于D中每个确定的变量x的取值，变量y按照一定的法则总有唯一确定的数值与之对应，则称y是x的函数，记作y=f(x),x∈D,其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域，记作Df,即Df=D.函数定义中，对每个取定的x0∈D，按照对应法则f,总有唯一确定的值y与之对应，这个值称为函数y=f(x)在点x0处的函数值，记作f(x0)或y|x=x0=f(x0).当x取遍D的各个数值时，对应的函数值全体组成的数域称为函数的值域，记作Rf,即Rf={y|y=f(x),x∈D}

表示函数的记号除了常用f外，还可用其他的英文字母或希腊字母，如“g”、“φ”、“F”、“G”、“Φ”等.相应地函数可以记作y=g(x),y=φ(x),y=第十四页，共四十四页，编辑于2023年，星期六CompanyLogoPowerPointTemplate

第一章函数F(x)等.有时还直接用因变量的记号来表示函数，即把函数记作y=y(x).但在研究同一问题时，与该问题相关的几个不同函数，要用不同的记号加以区别.

由函数的定义可知，构成函数的基本要素有两个:一是对应法则，二是定义域.而值域是由以上二者派生出来的，若两个函数的对应法则和定义域都相同，则我们认为这两个函数相同，而不在意它们的自变量和因变量采用何字母表示.如y=x

sin,x∈(-∞,0)∪(0,+∞)和s=tsin,t∈(-∞,0)∪(0,+∞),这两个函数是相同的.函数定义域的确定，取决于两种不同的研究背景:一是有实际应用背景的函数；二是抽象地用算式表达的函数.前者定义域的确定取决于变量的实际意义；而后者定义域的确定是使得算式有意义的一切实数组成的集合，这种定义域称为函数的自然定义域.例如，函数y=px2,若x表示圆的半径，y表示圆的面积，则定义域的确定属于前者，此时Df=［0,+∞);若不考虑x的实际意义，则其自然定义域为Df=(-∞,+∞).

第十五页，共四十四页，编辑于2023年，星期六CompanyLogoPowerPointTemplate第一章函数在函数的定义中，我们用“唯一确定”来表明所讨论的函数都是单值函数.当D中的某些x值有多于一个y值与之对应时，我们称之为多值函数.例如，变量x和y之间的对应法则由方程所给出.显然，对任意x∈(-a,a)，对应着y有两个值.所以方程确定了一个多值函数，我们往往根据问题的性质或研究的需要，取其单值分支或进行分析和讨论.本书只讨论单值函数.函数的表示方法主要有三种:表格法、图形法、解析法(公式法).将解析法和图形法相结合来研究函数，可以将抽象问题直观化，借助于几何方法研究函数的有关特性.相反，一些几何问题也可借助函数来做理论研究.所谓函数y=f(x)的图形，指的是坐标平面上的点集{(x,y)|y=f(x),x∈D}.一个函数的图形通常是平面内的一条曲线(图1-5).图中的Rf表示函数y=f(x)的值域.

第十六页，共四十四页，编辑于2023年，星期六CompanyLogoPowerPointTemplate

第一章函数

例1-1

求函数y=+lnsinx的定义域.

解函数的定义域就是使表达式有意义的全体x,即

例1-2

设函数求:

(1)函数的定义域；

(2)f(0),f(-1),f(3),f(a),f［f(-1)］；第十七页，共四十四页，编辑于2023年，星期六CompanyLogoPowerPointTemplate

第一章函数

(3)画出函数的图形.

解

(1)函数的定义域应是Df=(-∞,0］∪(0,+∞)

=(-∞,+∞).

(2)因0∈(-∞,0］,-1∈(-∞,0］此时f(x)=2+x,得f(0)=2+0=2,f(-1)=2+(-1)=1.因3∈(0,+∞),此时f(x)=2x,得f(3)=23=8.当a≤0时，f(a)=2+a;当a>0时，f(a)=2a.因f(-1)=1,所以f［f(-1)］=f(1)=21=2.

(3)函数f(x)的图形如图1-6所示.图1-6下面给出几个以后常用的函数.

例1-3绝对值函数第十八页，共四十四页，编辑于2023年，星期六CompanyLogoPowerPointTemplate

第一章函数定义域D=(-∞,+∞),值域Rf=［0,+∞),它的图形如图所示.

例1-4

符号函数

第十九页，共四十四页，编辑于2023年，星期六CompanyLogoPowerPointTemplate

第一章函数它的定义域D=(-∞,+∞),值域Rf={-1,0,1},它的图形如图1-8所示.显然，对任意x∈(-∞,+∞)有|x|=xsgnx.

例1-5

取整函数y=［x］.对任意实数x,用［x］表示不超过x的最大整数.

例如［-2.2］=-3［2］=2，.这个函数可以分段表示如下(图1-9):y=［x］=n,n≤x<n+1(n∈Z).

图1-8

第二十页，共四十四页，编辑于2023年，星期六CompanyLogoPowerPointTemplate

第一章函数它的定义域D=(-∞，+∞)，值域Rf=Z.

这里请读者注意，例1-2~例1-5这几个函数具有如下特征:在自变量的不同变化范围内，其对应法则是由不同的解析式表示，通常将其称为分段函数.分段函数是一个函数，它也是在自然科学、工程技术和经济管理中常用的函数形式.

1.2.2函数的几种特性研究函数的目的是为了探索它所具有的性质，进而掌握它的变化规律.下面给出几个我们所关心的某些函数所具有的特性.在数学逻辑推理中，为了书写方便，我们通常采用符号“”表示“任给”或“每一个”；符号“”表示“存在”.

1.函数的有界性设函数y=f(x)的定义域为Df,实数集X⊂Df,如果存在数Q，使得对x∈X都有f(x)≤Q

第二十一页，共四十四页，编辑于2023年，星期六CompanyLogoPowerPointTemplate

第一章函数成立，则称函数f(x)在X上有上界，而Q称为f(x)在X上的一个上界.如果存在数P，使得对x∈X都有

f(x)≥P成立，则称函数f(x)在X上有下界，而P称为f(x)在X上的一个下界.如果存在正数M，使得对x∈X都有|f(x)|≤M成立，则称f(x)在X上有界.如果这样的M不存在，就称f(x)在X上无界;即对M>0,x1∈X,使得|f(x1)|>M,则称f(x)在X上无界.

注意

函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界.

由于|f(x)|≤M得到-M≤f(x)≤M,从几何直观上看，如果f(x)在X上有界，则其图形位于两条直线y=-M和y=M之间，如图1-10所示(其中X=［a,b］).

第二十二页，共四十四页，编辑于2023年，星期六CompanyLogoPowerPointTemplate

第一章函数图1-10

例如，函数f(x)=sinx，在其定义域(-∞,+∞)内有界，因取任何正数M≥1，都有|f(x)|=|sinx|≤M.数1和-1分别为它的一个上界和下界.再如函数g(x)=，在其定义域(-∞，+∞)内也有界,只要取正数M≥，都有|g(x)|≤M.数和分别为它的一个上界和下界.

第二十三页，共四十四页，编辑于2023年，星期六CompanyLogoPowerPointTemplate

第一章函数

2.函数的单调性设函数y=f(x)的定义域为Df，X

⊂Df，如果对x1,x2∈X且x1<x2有f(x1)<f(x2)(或f(x1)>f(x2)),则称f(x)在X上是单调增加的(或单调减少的);如果对∀x1,x2∈X且x1<x2有f(x1)≤f(x2)(或f(x1)≥f(x2)),则称f(x)在X上是单调不减的(或单调不增的).函数的以上性质统称为单调性.如果y=f(x)在区间I上是单调增加(或减少)函数，则称区间I为函数f(x)的单调增加(或减少)区间.从几何直观上看，单调增加函数的图形是X上随x的增加而上升的曲线(图1-11)；单调减少函数的图形是X上随x的增加而下降的曲线(图1-12).例如，函数f(x)=(x-1)2-1在(-∞,1］上是单调减少的，在区间［1，+∞)上是单调增加的；但在Df=(-∞,+∞)上f(x)却不具有单调性(图1-13).

第二十四页，共四十四页，编辑于2023年，星期六CompanyLogoPowerPointTemplate

第一章函数又如，函数f(x)=在(-∞,0)上是单调减少的，在(0，+∞)上也是单调减少的；但在Df=(-∞,0)∪(0,+∞)上却也不具有单调性(图1-14).

图1-11图1-12

图1-13图1-14

第二十五页，共四十四页，编辑于2023年，星期六PowerPointTemplate

第一章函数

3.函数的奇偶性设函数f(x)的定义域Df是关于原点对称的数集，即对∀x∈Df，有-x∈Df.如果对∀x∈Df有f(-x)=-f(x),则称f(x)为奇函数；如果对∀x∈Df有f(-x)=f(x),则称f(x)为偶函数;如果f(x)既非奇函数，又非偶函数，则称f(x)为非奇非偶函数.从几何直观上，奇函数的图形关于坐标原点对称(图1-15)；偶函数的图形关于y轴对称(图1-16).

例1-7

判断函数f(x)=sinx2·log2(x+)的奇偶性.第二十六页，共四十四页，编辑于2023年，星期六CompanyLogoPowerPointTemplate

第一章函数

解函数f(x)的定义域为(-∞，+∞)，对∀x∈(-∞,+∞)有

图1-15图1-16所以f(x)=sinx2log2(x+)为奇函数.

第二十七页，共四十四页，编辑于2023年，星期六CompanyLogoPowerPointTemplate

第一章函数

奇偶函数的性质奇函数+奇函数=奇函数偶函数+偶函数=偶函数奇函数+偶函数=非奇非偶函数奇函数（0）+偶函数（0）=非奇非偶函数奇函数奇函数=偶函数偶函数偶函数=偶函数奇函数偶函数=奇函数第二十八页，共四十四页，编辑于2023年，星期六CompanyLogoPowerPointTemplate

第一章函数4.函数的周期性设函数y=f(x)的定义域Df，如果存在正数T，使得对∀x∈Df，有x+T∈Df，且f(x+T)=f(x)恒成立，则称f(x)为周期函数,T称为f(x)的一个周期.显然，如果T是f(x)的一个周期，则对∀n∈N+,nT也是f(x)的周期.通常我们所说的周期函数的周期往往是指最小正周期.例如，y=sin(wx+ϕ)和y=cos(wx+ϕ)都是以为周期的周期函数；而y=tan(wx+ϕ)和y=cot(wx+ϕ)则是以为周期的周期函数.第二十九页，共四十四页，编辑于2023年，星期六CompanyLogoPowerPointTemplate

第一章函数例1-9

设函数y=f(x)是以T为周期的周期函数，证明函数y=f(ax)(a>0)是以为周期的周期函数.

图1-17

证只需证明因为f(x)以T为周期，所以

f(ax)=f(ax+T),即

所以f(ax)是以为周期的周期函数.第三十页，共四十四页，编辑于2023年，星期六CompanyLogoPowerPointTemplate

第一章函数1.2.3反函数

定义1-2

给定函数y=f(x)，其定义域Df，值域为Rf,如果对于∀y∈Rf,必定∃唯一的x∈Df,使f(x)=y,那么我们称在Rf上确定了y=f(x)的反函数，记作x=f-1(y),y∈Rf.此时也称y=f(x)(x∈Df,y∈Rf)在Df上是一一对应的.习惯上常以x记为自变量，y记为因变量，故反函数又记为y=f-1(x).相对反函数y=f-1(x)来说，原来的函数y=f(x)称为直接函数.从几何直观上看，y=f(x)和y=f-1(x)的图形关于直线y=x是对称的.第三十一页，共四十四页，编辑于2023年，星期六CompanyLogoPowerPointTemplate

第一章函数

值得说明的是，并非所有的函数都有反函数，例如，函数y=x2在定义域Df=(-∞，+∞)上不是一一对应的，从而没有反函数；但y=x2,x∈(-∞,0]有反函数y=-.现在我们要问函数y=f(x)在什么条件下一定存在反函数，容易证明如下结论(留给读者证之):

定理1-1(反函数存在定理)单调函数y=f(x)必存在单调的反函数y=f-1(x)，且y=f-1(x)具有与y=f(x)相同的单调性.

例1-10

求函数y=的反函数.

第三十二页，共四十四页，编辑于2023年，星期六CompanyLogoPowerPointTemplate

第一章函数

解函数y=的定义域Df=(-∞,+∞),值域为Rf=(-1,1).由

可解得x=log3,变换x与y的位置，得反函数1.2.4复合函数在实际问题中经常出现这样的情形:在某变化过程中，第一个变量依赖于第二个变量，而第二个变量又依赖于另外一个变量.例如，某产品的销售成本C依赖于销量Q，C=100+3Q，而销量Q又依赖于销售价格P,Q=5e，则通过Q销售成本C实际上依赖于销售价格P，即C=100+15e.像这样在一定条件下，将一个函数“代入”到另一个函数中的运算称为函数的复合运算，而得到的函数称为复合函数.

第三十三页，共四十四页，编辑于2023年，星期六CompanyLogoPowerPointTemplate

第一章函数

定义1-3

设函数y=f(u)的定义域为Df,函数u=ϕ(x)的定义域为Dϕ

,值域为Rϕ

,当Rϕ

∩Df≠Ø

时，称y=f［ϕ

(x)］为由y=f(u)与u=ϕ(x)构成的复合函数，而u称为中间变量.但若Rϕ∩Df=Ø,则称y=f(u)与u=ϕ(x)二者不能进行复合运算.

利用复合这个概念，有时可以把一个复杂的函数分解成若干简单的函数的某些运算，有时也可以利用几个简单的函数复合成一个较为复杂的函数.例如，y=sinlnx可以看作是由y=sinu，和u=lnx复合而成的；同样函数y=eu,u=arctanx二者可以复合成函数y=earctanx.

复合函数的概念还可推广到有限多个函数复合的情形.例如y=3可以看成是由三个函数复合而成，其中u、v为中间变量，x为自变量，y为因变量.第三十四页，共四十四页，编辑于2023年，星期六CompanyLogoPowerPointTemplate

第一章函数注：会装例设f(x)=g(x)=tanx，则

f［g(x)］=

g［f(x)］=

f(x)=sinx,g(x)=lnx,h(x)=3x,则

f［g［h(x)］]=sing［h(x)］=注意：复合函数中已知f(x)，g(x)和f［g(x)］中任意两者可以求出第三者。

会拆：能够将一个复杂的复合函数拆开成若干个基本初等函数或简单函数（即基本初等函数仅仅经过有限次的四则运算而得到的函数的复合）

第三十五页，共四十四页，编辑于2023年，星期六CompanyLogo会拆：能够将一个复杂的复合函数拆开成若干个基本初等函数或简单函数（即基本初等函数仅仅经过有限次的四则运算而得到的函数的复合）例

解：例解：第三十六页，共四十四页，编辑于2023年，星期六PowerPointTemplate

第一章函数

1.3.1基本初等函数在微积分这门课程中，函数往往是研究问题的工具，有时也是研究对象.常用的函数都是由常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数这些函数构成的，我们将这六类函数称为基本初等函数.

1.常函数函数y=C(C是常数)叫做常函数.它的定义域Df

=(-∞,+∞),值域Rf={C}(图1-19).基本初等函数与初等函数1.3第三十七页，共四十四页，编辑于2023年，星期六PowerPointTemplate

第一章函数图1-19

2.幂函数函数y=xm(m是常数)叫做幂函数.

幂函数y=xm

的定义域取决于m

的给定值.例如，当m=3时，y=x3

的定义域为(-∞，+∞)；当m=时，y=x3/2的定义域为［0，+∞)；当m=时,y=x的定义域为(-∞,0)∪(0，+∞)；当m=时，y=x

的定义域为(0,+∞);当m

为无理数时，规定y=xm

的定义域为(0,+∞).总之，无论m

取何值，幂函数在(0,+∞)内有定义.第三十八页，共四十四页，编辑于2023年，星期六PowerPointTemplate

第一章函数当y=xm

中的m=1,2,3,,-1时是最常见的幂函数，它们的图形如图1-20所示.

图1-20

3.指数函数函数

y=ax(a>0且a≠1,a是常数)叫做指数函数.指数函数y=ax

的定义域Df

=(-∞，+∞)，值域Rf

=(0,+∞).当a>1时它第三十九页，共四十四页，编辑于2023年，星期六PowerPointTemplate

第一章函数是单调增加函数；当0<a<1时，它是单调减少函数.其图形总在x

轴的上方，且通过(0，1)点，如图1-21、图1-22所示.

图1-21