2016人教版高中数学必修一：预习检测

DIYIZHANG|第一章集合与函数概念

L1集合

>1.1.1集合的含义与表示

课时1集合的含义

1.集合的相关概念

(1)元素

①定义：指的是研究对象.

②表示：用小写的拉丁字母a,b,c,…表示.

(2)集合

①含义：指的是一些元素匆成的总体.

②表示：用大写的拉丁字母4,B,表，…表示.

(3)集合相等：指相成两个集合的元素是一样的.

(4)集合中元素的特性：确定性、耳异性和无序忡.

2,元素与集合的关系

(1)“属于"：如果a是集合4的元素，就说。属于集合力,记作a£4

(2)“不属于"：如果a不是集合4的元素，就说a不属于集合4,记作

a44

3.常见的数集及表示符号

非负整数集

数集正整数集整数集有理数集实数集

(自然数集)

符号NN*或N+ZQR

知识点一集合的概念

U2016•洛阳高一检测］下列对象能组成集合的是()

A.中央电视台著名节目主持人

B.我市跑得快的汽车

C.上海市所有的中学生

D.香港的高楼

答案C

解析对A,“著名”无明确标准；对B,“快”的标准不确定；对D,

“高”的标准不确定，因而A、B、D均不能组成集合.而对C,上海市的中学

生是确定的，能组成集合.

2.已知a和b都是自然数，且aWb,由a,b,a2,b2,a3,/构成的集合

〃中，元素的个数最少为.

答案2个

解析或则a=/=/,b=b2=N,

此时元素的个数最少，只有2个.

知识点二元素与集合的关系

3.给出下列关系式:£R,0.3£Q,0GN,0£N*,£N*,-演3其中正确的有

()

A.3个B.4个

C.5个D.6个

答案A

解析正确的有£R,0.3£Q,-演Z.

4,已知集合4中只有一个元素%则下列各式中正确的是()

A.OEAB.M

C.a£/D.a-A

答案C

解析集合/中只有一个元素a,所以a£4

知识点H集合中元素特性的应用

5.已知集合4中含有两个元素a和若lez,求实数。的值.

解若104,则a=1或a?=1,即a=±1.

当a=l时，a=a2,集合4有一个元素，1.

当a=-1时，

集合4含有两个元素1,-1,符合互异性.

・・a=~~1.

易错点忽视集合中元素的互异性致误

6.方程f-(a+i)x+a=o的解集中含有几个元素？

易错分析本题产生错误的原因是没有注意到字母。的取值带有不确定性

而得到错误答案两个元素.事实上，当。=1时，不满足集合中元素的互异性.

正解x2-(a+l)x+er=(x-a)(x-1)=0,所以方程的解为修=1,必=&.

若。=1,则方程的解集中只含有一个元素1;若aWl,则方程的解集中含

有两个元素1,a.

一、选择题

1.下列各组对象中不能构成集合的是()

A,正三角形的全体

B.所有的无理数

C.高一数学第一章的所有难题

D.不等式2x+3>l的解

答案C

解析因为A、B、D三项可以确定其元素，而C中难题的标准无法确

定.因此选C.

2,若a£R,但*Q,1a可以是()

A.3.14B.-5

C.D.

答案D

解析由题意知a是实数但不是有理数，故a应为无理数.

3.下列三个结论：

①集合N中最小的数是1,

②-E,则a£N,

③a£N,Z）eN,则a+b最小值是2.

其中正确结论的个数是（）

A.0B.1

C.2D.3

答案A

解析因为自然数集中最小的数是0,而不是1,所以①错；对于②，取a

=,则-CN,4N,所以②错；对于③，a=0,6=0时，a+b取得最小值0,而

不是2,所以③错.

4.[2016•衡水高一调研]若集合M中的三个元素a、b、c分刖是△ABC的

三边长，则△/3C一定不是（）

A.锐角三角形B,直角三角形

C.钝角三角形D.等腰三角形

答案D

解析因为集合中元素具有互异性，所以a,dc互不相等，所以三角形

不可能为等腰三角形，选D.

5.[2016•泰6高一检测]下列所给关系正确的个数是（）

①兀£R；②qQ；③0GN*;④|-4|GN*.

A.1B.2

C.3D.4

答案B

解析兀是实数，①对；是无理数，②对；0不属于N*,③错；|-4|=

4,4EN*,④错，故选B.

二、填空题

6.设直线y=2x+3上的点集为尸，点(2,7)与点集P的关系为

(2,7)P(填或“建”).

答案e

解析直线＞=2x+3上的点的横坐标光和纵坐标＞具有＞=2x+3的关系，

即只要具备此关系的点就是集合产的元素.

由于当x=2时，＞=2X2+3=7,a(2,7)£P.

7.设P,。是两个数集，P中含有0,2两个元素，。中含有1,2两个元素，

定义集合尸+。中的元素是。+6,其中b^Q,则。+。中元素的个数是

答案4

解析由于a£P,a=0或2,bGQ,6=1或2,因此a+6的值为

1,2,3,4,共4个.

8.[2016•连云港高一检测]集合4中的元素x满足&N,x£N,则集合力中

的元素为.

答案0,1,2

解析由题意如3-x是6的正约数，当3-x=1时，x=2;当3-x=2

时，x=1;当3-x=3时，x=0;当3-x=6时，x=-3;而x^N,=

0,1,2,即集合4中的元素为0,1,2.

三、解答题

9,判断下列说法是否正确，并说明理由.

(1)某个单位里的年轻人组成一个集合；

(2)由1,,,,这些数组成的集合有五个元素；

(3)由a,b,。组成的集合与由噂a,c组成的集合是相等的.

解(1)不正琳因为判断是不是“年轻人”没有明确的标准，对象不具有

确定性,不能组成集合.

(2)不正确.由集合的互异性可知，这个集合是由三个元素组成的.

(3)正确.集合中的元素相同，只是次序不同，它们仍表示同一个集合.

10.已知集合中含有三个元素：a+2,伍+1)2,a2+3a+3,且1£/,求

实数。的值.

解Vie^,

：.a+2=\或(a+1)2=1或『+3a+3=1.

：.a=一1或<7=0或4=-2.

当«=-1时，集合中的元素为：a+2=l,(a+1)2=0,a2+3a+3=1,不

符合元素的互异性，舍去；

当。=0时，集合中的元素为：。+2=2,(a+1>=1,

a2+3a+3=3,符合元素的互异性；

当a=-2时，集合4中的元素为：a+2=0,(«+I)2=1,a2+3a+3=1,

不符合元素的互异性，舍去.

综上<2=0.

课时2集合的表示

1.列举法表示集合

(1)定义：把集合的元素一一列举出来,并用花括号“n”括起来表示集合的

方法.

(2)形式：A={aita2,的，…，a,,}.

2.描述法表示集合

（1）定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法.

（2）具体方法：在花括号内先写I■表示这个集合元素的一般符号及取值（或变

化）范围,再画一条竖线，在监线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.

知识点一用列举法表示集合

1.用列举法表示集合{(x,y)|(x+I)2+[y-1|=0,x,y^R}为.

答案((-1,1))

解析因为(x+l)2»0,\y-1|^0,所以(x+1)2=0且卜-1|=0,故有x=-

1且歹=1,因此答案为{(一1,1)}.

2,已知集合Z={x|x<5且x£N*},B={(a,b)\a+/=1,b^A},试用列

举法表示集合3=.

答案{(0,1),(-3,2),(-8,3),(-15,4)}

解析VxeN*,且x<5,.\x=1,2,3,4,：.A={1,2,3,4}.又•.7+/=1,且

beA,

当6=1时，Q=0,当6=2时，Q=-3,

当6=3时，Q=-8,当6=4时，a--15.

•••8={(0,1),(-3,2),(-8,3),(-15,4)}.

知识点二用描述法表示集合

3.集合/={2,4,6,8,…},用描述法表示正确的是（）

A.{x|x=2k,kRZ}B.{x|x=2k,N}

C.{x\x=2k,左金N*}D.以上都不对

答案C

解析因为正偶数都能被2整除，因此选C.

4.将集合“正奇数的全体”用描述法表示正确的是（）

A.{x|x=2«+1,〃£N*}B.{x[x=2〃-1,〃WN*}

C.{x|x=2n-1,”£Z}D.{x|x=2〃+1,nRZ}

答案B

解析A项中没有1;C,D两项表示奇数集.

知识点三集合表示法的应用

5.已知集合Z={x|af+2x+1=0,«ER),若力中只有一个元素，求。的

值.

解应根据。是否为0介两种情况进行抗论：

①a=0,此时/=,符合题意；

②aWO,则必须且只需/=4-4a=0,即a=l.

I.a=0或a=1.

易错点对描述法表示集合的理解不够而出错

6.用列举法表示下列集合.

(1)y4={y\y=-x2+6,x£N,y£N};

(2)8={(x,y)\y=-X2+6,X£N,y£N}.

易错分析本题产生错误的原因是对用描述法表示的集合分不清其代表元

素，导致用列举法表示集合时出现错误.

正解(1)因为y=-x2+6^6,且x£N,yWN,

所以x=0,l,2时,y=6,5,2,符合题意，

所以4={2,5,6}.

(2)(x,歹)满足条件^=-x2+6,x£N,y£N,

则有，…

所以8={(0,6),(1,5),(2,2)}.

一、选择题

1.方程组的解组成的集合是()

A.{2,1}B.(2,1)

C.{(2,1)}D.{-1,2}

答案C

解析先求出方程组的解再写成集合的形式.注意集合的元素是有序实数

对(2,1),故选C.

2.用列举法可将集合{(%,")以£{1,2},歹£{1,2}}表示为()

A.{1,2}

B.{(1,2)}

C.{(1,1),(2,2)}

D.{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}

答案D

解析x=1时，＞=1,2;x=2时，y=1,2.共有4组，故选D.

3.[2016•成都高一一诊]已知集合尸={1,2},Q={z\z=x+y,x,y^P},1

集合。为()

A.{1,2,3}B.{2,3,4}

C.{3,4,5}D.{2,3}

答案B

解析VI+1=2,1+2=3,2+1=3,2+2=4,

又集合中的元素具有互异性，

{2,3,4},被选B.

4.[2016•成都七中高一月考]已知集合/={1,2,3,4,5},-={(%,y)\x^A,

y^A,x-y^A},则6中的元素个数为()

A.3B.6

C.8D.10

答案D

解析y^A,且x-y^A.'.x=2时，＞=1;x=3时，＞=2,1;x=

4时，7=3,2,1;x=5时，＞=4,3,2,1.所以集合B中的元素共有1+2+3+4=10

个，4选D.

5.[2016,南昌高一检测]若1£{x,f},则％=()

A.1B,-1

C.0或1D.0或1或-1

答案B

解析若x=l则f=i不满足互异性，若f=l则》=±1且x=l舍去，故

X——1.

二、填空题

6.[2016-汉中高一检测]若集合4={1,2,3,4},集合3={My=x-1,

x^A},将集合8用列举法表示为.

答案{01,2,3}

解析当x=l,2,3,4时，y=x-l,.••y=0,l,2,3,

：.B={0,1,2,3).

7.[2016•昆明高一检测]设-5£{耳？一5一5=0},则集合{%*一5x-a=0}

中所有元素之和为.

答案5

解析由-50“归2-狈-5=0}得：25+5a-5=0,

.,.a=-4,则集合{x|x2-5x-a=0}={x|x2-5x+4=0}={x|(x-1)(%-4)=0}

={1,4},.,.集合中所有元素之和为1+4=5.

8.集合4={m\m+125},B={y\y=x+2x+5,x^R},则/、

B(填“是”或“否”)表示同一集合.

答案是

解析A={m\m^4,〃?£R},即/中元素为大于或等于4的所有实数；B

={)^=。+1)2+4},即歹=(x+iy+424,所以3中元素也为大于或等于4的

所有实数，故43表示同一集合.

三、解答题

9.人大于0不大于15且除以4余3的整数构成的集合分刖用列举法和描

述法表示出来.

解列举法：{3,7,11,15};

描述法：{x|0<xW15,且x=4〃+3,〃WN}.

10.集合4={邓*_8x+16=0},若集合/中只有一个元素，试求实数左

的值，并用列举法表示集合4

解当左=0时，原方程变为-8x+16=0,x=2.

此时集合4={2}.

当上W0时，要便一元二次方程一16=0有两个相等的实根，

只需4=64-64左=0,即左=1.

此时方程的解为为=历=4,集合/={4},满足题意.

综上所述，实数4的值为0或1.当左=0时，4={2};当人=1时，4=

{4}.

H.1.2集合间的基本关系

课时3集合间的基本关系

1.Venn图表示集合

诵常用平面I■封闭曲线的内部表示一个集合.

2.子集的有关概念

(1)子集

①定义：对于两个集合4B,如果集合4中任意一个元素都是集合8中的

元素，我们就说这两个集合有包含关系，林集合4为集合3的子集；

②记作：4项3(或B2A);

③读作：’7包含于3”(或“3包含4”).

(2)集合相等

①定义：如果集合A是集合B的王集(4G3),且集合B是集合A的王集

(B»此时，集合Z与集合8中的元素是二^的，因此集合力和集合8相

等.

②符合表示：若Z旦5且则4=3.

(3)真子集

①定义：如果集合型，但存在元素且出,我们称集合4是集

合8的真子集.

②记法：一义或B_A).

③图示：

3.空集

(1)定义：不含化何元素的集合叫做空集，记为巴

(2)规定：空集是任何集合的千集.

4.集合间关系的性质

(1)任何一个集合都是它本身的子集，即月嶷4

(2)对于集合Z,B,C,

①若A^B,且BNC,则AQC;

②若AB,BC,则AC.

(3)若ANB,4WB,|AB.

知识点一子集的概念

1.下列四个命题:

①空集没有子集；

②空集是任何一个集合的真子集；

③。={0};

④任何一个集合必有两个或两个以上的子集.

其中正确命题的个数为（）

A.0个B,1个

C.2个D.3个

答案A

解析空集是其本身的子集，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子

集.

2.写出力=10,1,2}的所有子集，并指出其中哪些是集合1的真子集.

解{0,1,2}的所有子集：0,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},

{0,1,2},其中集合力的真子集有：。，{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2}.

知识点二集合间的关系

3.已知4={x|-2<x<4},8={x|x-5<0},则Z与3之间的关系是（）

A.ABB.AB

C.A=BD.不能确定

答案A

解析B={x[x<5},利用数轴易为4B.

4.[2016•福建大校高一联考]E知集合<={0,1},则下列式子错误的是

（）

A.O^AB.{1}04

C.。曰D.{0,1}口

答案B

解析“W”用于元素与集合之间，而{1}是4的子集，

•••应为{1}但4

知识点三集合相等问题

5.设尸={%52},Q={2a,2,b2},且尸=。，求以,5的值.

解由尸=。得①或②

解①得或

解②得或

当。=6=0时，不符合元素的互异性，舍去.

a=0,6=1或a=,b=.

易错点遗忘空集致误

6.E知集合Z={x|f-2x-3=0},8=3办一2=0},且则实数。的

值为.

易错分析由集合3=4及3的含义求。时，易忽略8=。时的情况，也就

丢了。的可能解.

答案0或或-2

正解由Z={小2一2r-3=0}={-1,3}得

当8C/时，3=0或3={-1}或3={3},

当3=0时，＜2=0.

当3={-1}时，得。=—2.

当8={3}时，得a=.

综上可知：。=0或。=-2或a=.

一、选择题

1.下列各式中，正确的是（）

A.2£{珅运3}B.24{x|xW3}

C.2旦{x|xW3}D.{2}{x\x^3}

答案B

解析2表示一个元素，{x|xW3}表示一个集合，但2不在集合中，故

2乳小〈3},A,C不正确,2集合{2}°{x、W3},2D不正确.

2.[2016・成都七中高一月考]下列四个集合中，表示空集的是()

A.{0}

B.{(x,+y2=0,x,y£R}

C.{x||x|=5,xGZ,x《N}

D.{x|2f+3x-2=0,x£N}

答案D

解析A中，{0}有元素0,不是空集；B中，集合为{(0,0)},不是空集；C

中，集合力{-5},不是空集；D中，方程没有非负整数解，为空集，选D.

3.[2016•福建漳州高一质检]定义集合且次㈤，若/=

(1,3,5,7},B={2,3,5},则的子集个数为()

A.1B,2

C.3D.4

答案D

解析/*5中的元素有{1,7},

；./*8的子集个数为2?=4个,选D.

4.集合8={a,b,c},C={«,b,d},集合4满足ANB,A^C,则集

合4的个数是()

A.8B.3

C.4D.1

答案C

解析若4=0,则满足ZCB,ZCC;若4W。，由Z旦8,4CC知/是由

属于3且属于。的元素构成，此时集合Z可能为{a},{b},{a,b}.

5.[2016・浏阳高一检则已知集合Z={x|3WdW5,x£Z},则集合4的真

子集个数为()

A.1个B.2个

C.3个D.4个

答案C

解析4="|3忘%2<5}={2,-2},它的真子集有。，{2},{-2},共3

个.

二、填空题

6.已知集合U,S,T,歹之间的关系如下图所示，下列关系中错误的有

.(只填序号)

①SU;②FT;③ST;④SF;⑤SF;@FU.

答案②④⑤

解析根据子集、真子集的Venn图，可知SU,ST,F。正确，其

余借鼠

7.[2016•玉溪高一检测]已知集合4=7|-2WxW3},B={x\x^m},若

AJB,则实数用的取值范围为.

答案mW-2

解析由已知倒数轴

可得mW-2.

8.设x,y£R,A-{(x,j?)[y=x],B-,1A,8的关系是.

答案BA

解析Z中(x,y),x£R,y£R,所以Z表不直线y=x上所有点构成的集

合.

3中的xWO,所以3表示直线y=x上所有点构成的集合，但除去原点.

:.BA.

三、解答题

9.设集合A={\,-2,cr-\],B={1,/一300}.若A=B,求a的

值.

解由4=3及集合中元素特点可得

解得a=1.

把a=l代人验证，满足集合中元素的互异性.

••Q=1.

10.若集合M={x|x2+x-6=Q},N={x|a-2)(x-a)=0},且N^M,求

实教a的值.

解由％2+%一6=0,得x=2或x=-3.

所以M={2,-3}.

若a=2,则N={2},此时NM\

若a=-3,则N={2,-3},此时N=M;

若aW2且aW-3,则N={2,a},此时N不是〃的子集，故所求实数a

的值为2或-3.

>1.1.3集合的基本运算

课时4并集、交集

1.并集

(1)定义：一般地，由所有属于集合力或属于集合3的元素组成的集合,称

为集合Z与8的并集，记作员旦£.

(2)并集的符号话言表不为4U3=或

(3)性质：^U5=5LM,AUA=A,AU0=A,AUB=AQBNA,AQAUB.

2.交集

(1)定义：一般地，由属于集合力且属于集合8的所有元素组成的集合,称

为4与8的交集，记作ADB.

(2)交集的符号语言表示为4cB=且

(3)性质：AC\B=BC\A,AHA=A_,AH0=0_,AHB=A㈡ANB,

AAB^A,AQB^B.

知识点一并集的运算

1.设集合尸={123,4,5,6},〃={x£Z|2WxW5},则尸UM=()

A.{2,3,4,5,6}B.{1,2,3,4,5,6}

C.{1,2,3,4,5}D.{2,3,4,5}

答案B

解析>：M={2,3,4,5},：,PUM={1,2,3,4,5,6).

2.已却集合M={x|-3<xW5},N={x|x<-5或x>5},则MUN=()

A.{x[x<-5或x>-3}B.{x|-5<x<5}

C.{x|-3cx<5}D,{x|x<-3或x>5}

答案A

解析由题意画出数轴.

可知，MUN={x|x<-5或x>-3}.

知识点二交集的运算

3.已知集合/={-1,0,1},3={x|-lWx<l},则4n3等于()

A.{0}B.{-1,0}

C.{0,1}D.{-1,0,1}

答案B

解析V-1,01^5,：.AC\B={-1,0}.

4.设A={x\-\<x<2},B={x|x<a},若4C8W0,则a的取值范围是

答案d>-\

解析结合数轴可知a>-L

知识点三并集、交集运算的应用

5.设集合力={-2},3={x|ax+l=0,a£R},若4cB=B,求a的值.

解,：A(yB=B,：.BQA.

\'A={-2}^0,:.B=。或BW0.

当3=。时，方程ax+l=O无解，此时a=0.

当3W0时，此时aWO,15=,

-^A,即有-=-2,得a=.

综上，a=O或a=.

易错点忽略空集致误

6.集合/={x\x2-3x+2=0},B={x\x2-2x+«-1=0},若403=3,1a

的取值范围是.

易错分析本题由4n5=3得则5={1}或8={2}或5={1,2},忽

视了3=0的可能性，从而导致a的取值范围错误.

答案{a\a^2]

正解由题意得力={1,2},

■:ACB=B,：.BQA,，5=0或5={1}或8={2}或8={1,2}.

当8=0时，J=4-4(a-1)<0,得a>2.

当8={1}时，，得a=2.

当8={2}时，，无解.

当3={1,2}时，此时a无解.

综上可知，a的取值范围是回。22}.

―、选择题

1.若集合/={0,1,2,3},3={1,2,4},则集合ZU5=()

A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4}

C.{1,2}D.{0}

答案A

解析由并集的概念，可得4U8={0,l,2,3,4}.

2,已知集合M={(x,刃|x+>=2},N={(x,刃|x-y=4},那么集合MAN

为()

A.x=3,y=-\B.(3,-1)

C.{3,-1}D.{(3,-1))

答案D

解析••.要求集合〃与N的公共元素，

二.解得，MAN={(3,-1)},选D.

3.段全集U=R,4={x£N|lWxW10},5={x£R|f+x-6=0},则右图

中阴影部介表示的集合为()

A.{2}B.{3}

C.{-3,2}D.{-2,3}

答案A

解析注意到集合Z中的元素为自然数，因此易知4=

{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},而直接解集合8中的方程可知8={-3,2},因此阴影部

分显然表示的是/A3={2},选A.

4.满足〃U{ai,a2,a3,a4},且河门{/，a2,的}={0，色}的集合M的

个数是()

A.1B.2

C.3D.4

答案B

解析直接列出满足条件的M集合有{©,即}、{©,也，他},因此选B.

5.集合4={x|-lWxW2},3={x|x<l},则4c3等于()

A.{x|x<l}B.{x|-lWxW2}

C.{x.lWxWl}D.{x|-l^x<l}

答案D

解析由交集定义得{x|-1-}n{x\x<l}={x|-l^x<l).

二、填空题

6.[2015・江苏高考]已知集合4={1,2,3},8={2,4,5},则集合4日5中元素

的个数为.

答案5

解析ZU8={1,2,3,4,5},，力口台中元素的个数为5.

7.[2016•福建六校高一联考]已知集合集={1,3,m},

3={3,4},4U3={1,2,3,4},|m=.

答案2

解析由题意易知2£(/U3),且2物，口匕，"=2.

8.E知集合尸={一1,a+b,ab},集合。=,若PUQ=PC}Q,则a-b

答案-4

解析由尸UQ=PG。易知尸=。，由。集合可知。和6均不为0,因此

ab#0,于是必须a+匕=0,所以易得=-1,因此又必得必=a-3代人b=

-a解得a=-2.所以b=2,因此得到a-匕=-4.

三、解答题

9.[2016•山东烟台模块检测]已知集合4={x|aWxWa+3},B={x|x<-1或

x>5}.

(1)若/A3=0,求a的取值范围；

(2)若/U3=3,求a的取值范围.

解(1)要使/A3=。，

则需满足下列不等式组

解此不等式组得-lWaW2,

即。的取值范围是{a|-lWaW2}.

(2)要便/U3=3,即4是3的子集，

则需满足。+3<-1或a>5,

解得a>5或a<-4,

即a的取值范围是{a[a>5或a<-4}.

10.[2016•衡水高一调研]已知集合4={-1,1},6={小2一2"+6=0},若

8W0且/U8=Z,求a,A的值.

解BW0且4UB=4,所以BW0且8旦/,故3存在两种情况：

(1)当3含有两个元素时，B=A={-\,\},此时a=0,b=-1;

(2)当8含有一个元素时,J=4tz2-4/)=0,：.a2=b.

若3={1}时，有/-2a+1=0,.*.£?=1,h=\.

若3={-1}时，有/+2a+1=0,.,.a=-1,b=\.

综上：或或

课时5补集

1.全集

(1)定义：如果一个集合含有我们所研究间题中涉及的所有元素,那么就称

这个集合为全集.

(2)记法:全集通常记作口

2.补集

对于一个集合/,由全集。中不属于集合「的所有元

文字谙言素组成的集合称为集合/相对于全集。的补集，记作

符号语言［4=且x-1

图形语言

3.补集的性质

［°。=0,［碑=U,［认(［4)=0.

C^n5)=(C^)u(C^).

［依u3)=((Mn(］/).

知识点-补集的简单运算

1.若。={1,2,3,4,5},{1,3,4},5={2,4,5},则(1〃)A(［〃)等于()

A.0B.{1,3}

C.{4}D.{2,5}

答案A

解析由题意可知：［必={2,5},［或={1,3}.

•••((〃)口(［网=0,选A.

2.［2015•浙江高考］设全集U={x£N|x》2},集合4={x£N|fN5},则

［必=()

A.0B.{2}

C.{5}D.{2,5}

答案B

解析4={xGN|fN5}={x£N|x》3},U={X£N|xN2},.,//={2},故

选B.

知识点二补集的应用

3.如下图所示，阴影部分表示的集合为.

答案zn（［08）

解析由韦恩图可知阴影部分位于集合Z内，但不位于集合B内，.•.阴影

部分表示的集合为4门（［曲）.

4.［2015-上海高考］段全集。=区若集合4={1,2,3,4},3="|2五%五3},则

/门（［曲）=.

答案{1,4}

解析={x\x<2或x>3},A={1,2,3,4},

，/（1（［网={1,4}.

5.已知集合4={x|x2+ax+12b=0}和B={x*2-ax+6=0},满足

（C^）n5={2},/门（［必）={4},U=R,求实数a,6的值.

解•.•（［〃）C3={2},：.2RB,.M-Za+buO.①

又•.•/A（1/）={4},.\4EA,，16+4a+12b=0.②

联立①②，得解得

易借点遗漏端点致误

6.设。为实数集，集合〃={九［0<%<2},N=®y=f},则（［CMGN=

易错分析本题易产生的错解是在进行集合的交集运算时，遗漏了0这个

端点值.由于集合变成了单元素集，所以常常会出现遗漏的情况.

答案{x\x^2或x=0}

2

正解N={y［y=x}={x\x^O］,［aM={x|x^O或x》2},则（［uMGN=

{x\x^2或x=0}.

一、选择题

1.设全集U={a,b,c,d},集合M={«,c,d},N={b,d},则

([cMCN等于()

A.{b}B.{d}

C.{a,c}D,{b,d}

答案A

解析由题意可知，[°M={b},

.,.([^A7V={b},选A.

2.设全集U=MUN={1,2,3,4,5},MA([加={2,4},则N等于()

A.{1,2,3}B.{1,3,5}

C.{1,4,5}D.{2,3,4}

答案B

解析,••四0((：网={2,4},.,.2,4£〃且2,4圳,JIVMUTV={1,2,3,4,5},

：.N={1,3,5},选B.

3.[2016•杭州七校高一联考]已知全集。={一1,1,3},集合％={a+2,a2+

2},且[必={-1},则以的值是()

A.-1B.1

C.3D.±1

答案A

解析由/U([/)=U,可知4={1,3},

又•.•/+222,，a+2=1且/+2=3.

解得a=-1,故选A.

4.如下图，。是全集，M,P,S是。的三个子集，则阴影部分所表示的

集合是()

A.(MAP)nsB.(MA尸)US

C.(河0尸)("1([^D.(Mnp)u([u»

答案C

解析由题图不难判断阴影部分位于MP尸中，但不在s中，故阴影部分

表示的集合力(MCP)G(1"S),选C.

5.[2016•哈尔滨九中期末]已知全集。={1,2,345,6,7},M={3,4,5},N=

{1,3,6},则集合{2,7}等于()

A.MCNB.&根门([网

C.([MU([网D.MUN

答案B

解析根据元素与集合的关系和集合的运算规律可知，2,7既不在集合〃

中，也不在集合N中，所以2,7在集合[曲且在[孙中，根据交集的意义即可

知{2,7}=([u〃)A([“V).

二、填空题

6.有15人进入家电超市，其中有9人买了电视机，有7人买了电腼，两

种均买的有3大，则这两种均没买的有人.

答案2

解析设这15人构成全集U,买电视机的9人构成集合Z,买电胭的7人

构成集合3,用Venn图表示，如图所示，

则两种均没买的有15-(9-3)-3-(7-3)=2(大).

7.已知集合Z={xh<a},3={x[l<x<2},ZU([RB)=R,则实数a的取

值范围是.

答案{a\a^2]

解析V[R5={X\X^1或Q2},1A={x|x<a],且4U(CR8)=R,

.,.a22.

8.已知集合U={(x,历-1)+2},A=(x,y)

,则[〃=.

答案{(")}

解析•；/={(x,y)[y=3(x-1)+2,xWl}.又当x=l时，由歹=3(x-l)+

2得y=2,.•.[〃={(1,2)}.

三、解答题

9.[2016•郑州期末]已知集合4={x|0<2x+aW3},B=.

(1)当a=1时，求ZU([R3);

(2)若求实数。的取值范围.

解(1)当a=1时，A=,

“RB=,

.,.NU([R3)={x|xWl或x52}.

(2)4=,

若4NB,1

解得-l<aWl,所以a的取值范围是{a|-l<aWl}.

10.已知集合。={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},A={1,2,3,4,5,6),B=

{5,6,7,8,9,10}.

(1)求(1出)，CM4UB),([必)U(C/)，C44C8);

(2)从(1)的计算结果，能发现什么规律？

解(i)(c^)n(c^)={7,8,9,10}n{1,23,4}=0,U5)=0,([〃)u(C/)

={7,8,9,10}U{1,2,3,4}={1,2,3,4,7,8,9,10},[忒/A3)=

(1,2,3,4,7,8,9,10}.

(2)([5-([曲)=[必口8),

([MU([网=kZG8).

习题课（1）

复习要点

集合是数学中最基本的概念，学习时一是要注意把集合知识作为一种语言

来学习，集合语言是用集合的有关概念和符号来描述问题的语言，能简浩、准

确地表达相关的数学内容；二是要注意集合中元素的互异性及空集的特殊性；

三是要注意使用集合间的运算法则或运算思想，解决一些遗辑关系较复杂的问

题，例如运用补集思想解决问题等.

提升训练

―、选择题

1.下列各项中，不能组成集合的是（）

A.所有三角形

B.数学《必修1》中的所有习题

C.所有有理数

D.数学《必修1》中的所有难题

答案D

解析因A、B、C三项可以确定其元素，而D中难题的标准无法确定，

因此选D.

2.设集合4={x|xW},a~,那么（）

A.aAB.a^-A

C.{a}^AD.{a}A

答案D

解析因a=<,，{}{x\x^},

Z.选D.

3.段集合/={x1Kx<4},集合3={x|-1WXW3},则/。（力）等于（）

A.{x|l<x<4}B.{x\3<x<4}

C.{x|l<x<3}D,{x［l<x<2或3<x<4}

答案B

解析•••3={x|-1WXW3},i={x|x<-1或x>3},.\^n(CR5)=

{x|3<x<4}.

4.

已却全集。=R,集合4={1,2,3,4,5},B={x£R|x23},右图中阴影部分

所表示的集合为()

A.{1}B.{152}

C.{1,2,3}D.{0,1,2}

答案B

解析由题意得，103={3,4,5},阴影部分所表示的集合为集合Z去掉集

合/A3中的元素所组成的集合，所以为{1,2}.

5.50名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项，参加甲项

的学生有30名，参加乙项的学生有25名，则仅参加了一项活动的学生人数为

()

A.50B.45

C.40D.35

答案B

解析记参加甲、乙项体育活动的学生组成的集合分刖为/、&则依题意

有card(/U8)=50,card(/)=30,card(5)=25,card(ZA3)=30+25-50=5,

于是只参加了一项活动的学生人数是(30-5)+(25-5)=45.(也可利用Venn图解

决问题)

6.［2016•洛阳高一检测］已知全集。={x|0<x<8,且x£Z},集合4,3均为

全集。的子集，若［必UB)={1,2,3},(［必)08={6,7},则集合/为()

A.{123,4,5}B.{4,5}

C.{4,5,6,7}