第二章231抛物线及其方程

学习目标1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程.3.p的几何意义，能解决简单的求抛物线标准方程问题.知识点一1EFAB固定在三角板C点，将三角板的另一条直角边贴在直EFD处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线.这是一条什答案Fl(定点不在定直线上)距离相等的点的轨迹叫做抛Fl叫做抛物线的准线.思考 抛物线的定义中，l能经过点F吗？为什么答案lFFl的一梳理从定义可以看出，抛物线不是双曲线的一支，双曲线有渐近线，而抛物线没有.知识点二思考 答案p是抛物线的焦点到准线的距离，抛物线的方程中一次项决定开口方向思考 于答案(1)原点在抛物线上；(2)对称轴为坐标轴；(3)p0的常数，其几何意义表示焦的距离都等于思考 答案x(y)x轴(y轴)梳理 类型一＝例 (1)方程＝

2 2A. D.抛物 答案 2，解析(1)2，是以(2,0)为焦点，x＝－2y2＝8x.与感悟“Fl上”这个条件训练 若位于y轴右侧的动点M到

M轨迹方程解由位于y轴右侧的动点M到

1 M

MF为焦点，l为准线的抛物线(不包含原点)，y2＝2px(p>0)的形式， M类型二命题角度 例2 解(1)y2＝－6x

5

5 5)，准线方程为y

1

1， 1)，准线方程为y＝－1.， 2p＝a，p＝2，2＝4 如果已知抛物线的标准方程，求它的焦点坐标、准线方程时，首先要判断抛物 训练 (1)抛物线y＝4x的焦点到双曲线x－3＝1的渐近线的距离是 33 3 3 答案 解析(1)y＝4xF(1,0)x3＝1y＝±3x，即 | 3＝. 命题角度 例 (2)Fxy＝－3 解(1)双曲线方程可化为9左顶点为 2

又(－3)2＝2pm，∴p＝±1y2＝±2x与感悟p，最后写出标准方程.p的值.训练3 距离等于5，求抛物线的方程和m的值，并写出抛物线的焦点坐标和准线方程.解y2＝－2px 得 66

或m＝－2y2＝－8x，m＝±26.抛物线的焦点坐标为(－2,0)x＝2.类型三抛物线在实际生活中的应用例 河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5m时，水面宽为8m，一小船宽4m、m0.75m，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米解

2 涉及拱桥、隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标4OAAB5m，且与OA4mO9mOA的长是多解5－5yA(－4，y0)在抛物线上，16＝－5y0y0＝－16，5所以OA的长为 —5OA1.8

1＝4x的准线方程是 答案解析

1 线方程为 已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，－2)到焦点的距离为4，则m的值为( C.4或 D.12或答案解析由题可设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0).由定义知点P到准线的距离为

49

或

9或 答案

解析y2＝－2pxx2＝2py(p>0)， ＝4

9x或

2若椭圆3＋p2＝1(p>0)的左焦点在抛物线y＝2px的准线上，则p 答 解析由题意知，左焦点为 0)，则

∵a＝3，b＝4 ∴3＝44p＝y2＝－2px(p>0)M，其横坐标为－910，求抛物线M点的坐标. 解

M到准线的距离为则 ∴M点的坐标为(－9,6)或

线方程为

＝－4点为 ， ＝－MFMF叫做抛物线的焦半径.M(x0，y0)在抛物线

40分钟作

答案

解析由抛物线的定义，可得

5 5 0x0＝1y2＝x0∴A的坐标为已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为( 答案解析抛物线y2＝2px(p＞0)的准线方程为

1 答案 解析y＝2pxx＝－2过点F(0,3)，且和直线y＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为( 答案解析F(0,3)y＝－3的距离，故动圆圆心的Fy＝－3x2＝12y.设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是 答案解析P已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率 答案解析因为抛物线C：y2＝2px的准线方程为

2y2＝8x(2,0)3

O为坐标原点，FC：y2＝42x的焦点，PC上一点，若|PF|＝423的面积为 32 2答案

解析Cx＝－2F(2，0)，由|PF|＝42PxP＝32yP＝±2 △POF＝2|OF|·|yP|＝2×2×26＝2 1答案解析y＝ax2可化为

1 1

抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标 答案解析抛物线方程化为 1y，准线为 1.由于点M到焦点的距离为1，所以M到准 1 AF的斜率为－3，那么 答案解析AFy＝－x＝－2A(－2,4P(x0,43)y2＝8x，8x0＝48，∴x0＝6.34设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A(0,2).若线段FA的中点B在抛物线上，则点B到34解析

p1).得

p＝2

3 到准线的距离为2＋4＝4＝4

此双曲线交于点2，6，求抛物线和双曲线的方程解， ， 所以双曲线的标准方程为13 CFxA，BC动点(ABx轴)，且|AF|＋|BF|＝8ABQ(6,0)