第十一讲函数奇偶性

函数奇偶性一、知识梳理：知识点一 偶函数：一般地，如果对于函数f(X)的定义域内任意一个x，都有f(-X)=f(x)，那么函数f(X)就叫做偶函数。例：f(x)=x2知识点二 奇函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。例：f(x)=3x注：定义域在数轴上所示的区间关于原点对称，是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件。例：J=x2在区间(-3,+3)上时偶函数，但在区间［-1,2］上却无奇偶性可言了。知识点三奇函数、偶函的性质y=f(x)是奇函数oy=f(x)的图象关于原点对称；y=f(x)是偶函数oy=f(x)的图象关于y轴对称。例1、已知y=f(x)是偶函数，且图象与x轴有四个交点，则方程f(x)的所有实根之和是()A、4 B、2 C、1 D、0、若是奇函数f(x)且在x=0处有定义，则f(0)=0、奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反、奇偶函数的运算性质：在公共定义域内有：奇土奇=奇(函数) 偶土偶=偶(函数)奇乂奇=偶(函数)偶乂偶=偶(函数) 奇乂偶=奇(函数)注：以上结论是在两函数的公共定义域内才成立；并且只能在选择题、填空题中直接应用，解答题需先证明再利用。、对称性：奇(偶)函数的定义域关于原点对称，且这是函数具有奇偶性的必要不充分条件；、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x都必须成立；、可逆性：f(-x)=f(x)of(x)是偶函数；f(-x)=-f(X)9f(X)奇函数;、等价性：f(-X)=f(X)9f(-X)-f(X)=0f(-X)=-f(X)9f(-X)+f(X)=0、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既奇又偶的函数(有且只有一类，即f(x)=0，XeD)、非奇非偶函数。二、基本方法函数奇偶性的判断1、 定义法：定义域(关于原点对称)T验证f(-X)=±f(X)T下结论2、 图像法：3、 性质法：(定义域相同)4、 分段函数奇偶性的判断例2、判断函数f(x)=[X(X-1)，X-0的奇偶性-X(X+1),X<0利用函数奇偶性求函数的值例3、已知f(x)=ax5+bx3+cx-8，且f(d)=10，求f(-d)利用函数奇偶性求函数解析式例4、已知f(x)是偶函数，且当X>0时，求f(x)=xIx-2I，求X<0时，f(x)的解析式。

（四）利用函数奇偶性解抽象函数不等式例5、设f（x）在R上时偶函数，在区间（-3,0上递增，f(2（四）利用函数奇偶性解抽象函数不等式例5、设f（x）在R上时偶函数，在区间（-3,0上递增，f(2a2+a+1)<f(3a2-2a+1)，求a的取值范围。三、典例分析考点一、判断函数的奇偶性例6、判断下列函数的奇偶性(2)f(x)=— (3)f(x)=\x2-1+5-x21 … ~—x2+1(x>0)(4)f(x)=j21-—x2一1(x<0)(5)f(x)=x+1拓展延伸:例7、判断下列函数的奇偶性(1)f(x)=(x-1)1+x1一x（2）x2+x(x<0)f(x)=<—x2+x(x>0)(3)f(x)=x+2+x一2(4)f(x)=凶(x-1)0

x考点二、利用函数奇偶性求解析式例8、已知f（x）是定义域为R的奇函数，当x<0时，解析式。拓展延伸：例9、已知f(x)函数是定义在(_3,+3)上的偶函数，当XG(-3,0)时，f(X)=X-X4,贝0当XG(0,+3)时，f(X)=考点三、奇偶性与单调性结合例10、定义在(-1,1)上的奇函数f(x)在整个定义域上减函数，若f(1-a)+f(1-3a)<0，求实数a的取值范围。拓展延伸：例11、已知函数f(X)是定义在(-3,0)D(0,+3)上的奇函数，又f(X)在(0,+3)上减函数且f(x)<0，问F(X)=1在(-3,0)上时增函数还是减函数？并说明你的结论。f(X)考点四、综合应用例12、已知定义在R上的函数f(x)对任意实数x,y，恒有f(x)+f(y)=f(X+y)，― 一 2且当X>0时，f(x)<0又f⑴=-一3求证：f(x)为奇函数；(2)求证：f(x)在R上时减函数；(3)求f(x)在［-3,6］上的最大值与最小值。例13、f(x),g(x)均为奇函数，H(x)=af(x)+bg(x)+2在(0,+3)上的最大值为5,则H(x)在(-3,0)上的最小值为。拓展延伸：例14函数f(x)=竺也是定义在(-1,1)上的奇函数，且f(1)=2，1+x2 2 5确定函数f(x)的解析式；用定义证明f(x)在(-1,1)上时增函数；解不等式f(t-1)+f(t)<0课后练习1、函数f(x)=—-X的图象关于()XA、y轴对称B、直线y=-X对称C、坐标原点对称 D、直线y=X对称么已知f(X)在上是奇函数且满足f(X+4)=f(X)，当XG(0,2)时f(x)=2X2则f⑺=()f⑺=()TOC\o"1-5"\h\zA、-2B、2 C、-98 D、983、 设定义上的函数f(x)满足f(X-f(x+2)=13，若f⑴=2，则f(99)=()A、13B、2 C、13 D、—2 134、若函数x3(xeR)，则函数y=f(x)在其定义域上是( )A、单调递减的偶函数B、单调递减的奇函数C、单调递增的偶函数D、单调递增的奇函数5、f(x),g(x)是定义在上的函数，入(X=f(X+g(X则“f(x),g(x)均为偶函数”是是“h(X)为偶函数”的()A、充要条件 B、充分不必要条件C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件6、 (理)设函数f(x)=(X+1)(X+。)为奇函数，则a=a(文)设函数f(X=(x+1)(xa+)为偶函数，则a=7、 已知函数y=f(x)为奇函数，若f⑶-f⑵=1