【2022高考数学一轮复习】命题与逻辑联结词

1第二课时命题与逻辑联结词第一章集合与常用逻辑

1．命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以①

的陈述句叫做命题.其中②的语句叫真命题，③

的语句叫假命题.

2．四种命题及其关系（1）若原命题表述的形式为：若p，则q，则其逆命题为④

；否命题为⑤

;逆否命题为⑥

.2判断真假正确不正确若q，则p
若p，则q

若q，则p

（2）两个命题互为逆否命题，它们有⑦

的真假性，两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性⑧

.

3．逻辑联结词

（1）简单的逻辑联结词有⑨

.

（2）命题p∧q当且仅当⑩

时为真.

（3）命题p∨q当且仅当

时为假.

（4）命题

p当且仅当

时为真.3相同无关或、且、非p、q同真p、q同假p假1112

1.下列句子是命题的有（）①集合与逻辑；②3x-2＞0；③x2-673x+2010=0；④没有公共点的两条直线互相平行吗？⑤把电脑打开；⑥2009≥2010.

A.1个B.2个

C.3个D.4个以上开语句、疑问句、祈使句都不是命题，不能判断真假的语句也不是命题，故①②③④⑤都不是命题，⑥是假命题，选A.4A

2.若p、q是两个简单命题，且“p或q”的否命题是真命题，则必有（）

A.p真q真B.p假q假

C.p真q假D.p假q真

“p或q”的否命题是“p且q”，为真命题，故p假q假，选B.5B

3.（2009·广州二模）命题“x0∈R,

-2x0+1＜0”的否定是（）

A.x0∈R,

-2x0+1≥0

B.x0∈R,

-2x0+1＞0

C.x∈R,x2-2x+1≥0

D.x∈R,x2-2x+1＜0

“存在”的否定为“任意”，“x2-2x+1＜0”的否定为“x2-2x+1≥0”，故选C.6C

4.已知四个命题：①1240能被3或5整除；②对任意的实数x，x2+x+1>0；③存在实数x，使函数y=log2（ax2+x+3）>0；④设A、B是两个集合，命题“若xA，则x∈A∩B”的逆否命题.其中假命题的序号是

（填上所有假命题的序号）.

①②③正确，④的逆否命题为“若xA∩B，则x∈A”，为假命题.7④

5.已知命题p：|ax+1|<4，命题q：

{x|-3<x<5}.若pq，则

.

由p:-4<ax+1<4，得-5<ax<3.而pq，故易知a=-1.8a=-1

1.命题及关系（1）“若p则q”的否命题是①

.（2）命题p：y=cx为减函数，命题q：x2≥0.若“p∧q”为真命题，则c的取值范围是②

.

2.逻辑联结词（1）已知“p∨q”为真，且p为假，则q为③

（真或假）.9
若p，则q
（0,1）真（2）已知p：x＞1，q：x＜4，则“p∧q”的意义是④

，命题（p∨q）的真假性是⑤

.

3.四种命题关系已知原命题：“若xy=0，则x=0或y=0”，其逆命题为⑥

；否命题为⑦

；逆否命题为⑧

.10
若x=0或y=0，则xy=01<x<4假若xy≠0，则x≠0且y≠0若x≠0且y≠0，则xy≠0

4.量词的否定（1）命题“x0∈R，＞0”的否定为⑨

.（2）命题“对任意的x∈R，x2+x+1>0”的否定为⑩

.

11x∈R，＜0或x-2010=0x0∈R，+x0+1≤0

题型1

命题的真假判断指出下列各题中构成的“p∨q”，“p∧q”，“p”形式的复合命题，并判断真假.

（1）p：NZ，q：{0}∈N；（2）p：{矩形}{正方形}，q：{圆的内接四边形}{矩形}.

（1）p∨q：NZ或{0}∈N；p∧q：NZ且{0}∈N；p：N=Z或NZ.12
≠≠≠
≠≠因为p真q假，所以“p∨q”为真，“p∧q”为假，“p”为假.（2）p∨q：{矩形}{正方形}或{圆的内接四边形}{矩形}；p∧q：{矩形}{正方形}且{圆的内接四边形}{矩形}；p：{矩形}={正方形}或{矩形}{正方形}，因为p真q真，所以“p∨q”为真，“p∧q”为真，“p”为假.

【评注】由p、q的真假，判断“p∨q”的真值时，可简称为“一真即真”；判断“p∧q”的真值时，可简称为“一假则假”.13≠≠≠≠

已知命题p：“若a≥0，则方程x2+x-a=0有实数根”.写出命题p的否命题和逆否命题，并分别判断其真假.

否命题：若a＜0，则方程x2+x-a=0没有实数根，该命题是假命题.

逆否命题：若方程x2+x-a=0无实数根，则a＜0，该命题为真命题.14

题型2

根据命题的真假解决相关问题已知命题p：“函数y=log2（x2+2x+a）的定义域为R”，命题q：“若|x|<1，则x<a”.如果命题p是真命题，判断“q”的真假，并说明理由.

因为命题p是真命题，所以不等式x2+2x+a>0在R上恒成立，得Δ=4-4a<0，解得a>1.又当a＞1时，有{x||x|<1}{x|x<a}成立，所以q是真命题，于是“q”是假命题.15

【评注】首先命题p为简单命题，由对数的意义和不等式x2+2x+a>0在R上恒成立，得到了a>1，这是解决问题的第一个关键点，为判断q的真假提供了帮助；其次要正确理解命题q的含义，并且懂得命题q与命题“q”的真假性相反，这是解决问题的第二个关键点，进而借助q的真假性去判断“q”的真假.16

写出并判断命题：“若c＞0，则函数y=x2+x-c的图象与x轴有两个交点”的逆否命题的真假.

因为c＞0，所以Δ=1+4c>0，故原命题为真命题.逆否命题为：若函数y=x2+x-c的图象与x轴无两个交点，则c≤0.因为原命题与它的逆否命题同真假，所以，该逆否命题是真命题.17

题型3

全称命题与特称命题

写出命题“能被8整除的数能被4整除”的否定和否命题，并判断真假.

能被8整除的数能被4整除，显然这是一个全称命题.

故它的否定为：存在一个能被8整除的数，但它不能被4整除，此命题是假命题；

它的否命题为：不能被8整除的数也不能被4整除，此命题亦为假命题.18

【评注】关于对量词的否定，需要掌握两点：一是能否分清楚命题是全称命题还是特称命题，本例题的命题是全称命题，因为任何能被8整除的数一定能被4整除；二是要否定量词，同时否定结论，本例的全称量词是“任何”，否定它要用特称量词“存在”，并且命题的结论要完全被否定，这是含有量词命题的否定形式，19即条件中的量词互换，结论被否定.注意与否命题的区别，否命题不仅否定条件，也否定结论.全称量词如“任何”“一切”“所有”等表达的逻辑为“对任意的事物x，都具有性质p（x）”，存在量词如“有些”“某个”“有”等表达的逻辑为“存在某些（某个）x，具有性质p（x）”.20

已知命题p：“x∈［1,2］,

x2-a≥0”，命题q：“x0∈R，+2ax0+2-a=0”.若“p且q”为真命题，则实数a的取值范围是

（

）

A.a=1或a≤-2

B.a≤-2或1≤a≤2

C.a≥1

D.-2≤a≤121

由“p且q”为真命题，则p、q都是真命题.

p：x2≥a在［1，2］上恒成立，只需

a≤（x2）min=1，所以命题p为真命题的意义是：a≤1；

q：设f（x）=x2+2ax+2-a.存在x∈R,使f（x）=0，只需Δ=4a2-4（2-a）≥0,即a2+a-2≥0，解得a≥1或a≤-2.所以命题q为真命题的意义是：a≥1或a≤-2.

综上，得a=1或a≤-2，故选A.22

1.简单命题分条件和结论两部分，复合命题是由简单命题通过“或”“且”“非”构成的.由简单命题的真假可以判断复合命题的真假，反之，由复合命题的真假也能判断构成该复合命题的简单命题的真假.如p真，q假，则“p∨q”真，“p且q”假，“p”假；反之，若“p∨q”真，则p、q至少有一个真.23

2.“或”“且”“非”这三个逻辑联结词构成了命题间的运算，它们分别对应着真值集合“并”“交”“补”.因此，逻辑联结词的运算可以用集合的运算来描述.

3.在命题关系中，特别要区分命题的否定与否命题：命题的否定总是与原命题的真假性相对立，是保留条件，否定结论；24否命题是否定原命题的条件仍作条件，且否定原命题的结论仍作结论，它与原命题的真假没有必然的联系.如命题p：已知a、b为实数，若|a|+|b|=0，则a=b，否命题为：已知a、b为实数，若|a|+|b|≠0，则a≠b；命题的否定为：已知a、b为实数，若|a|+|b|=0，则a≠b.四种命题中，原命题与逆否命题同真假，是等价命题，逆命题与否命题同真假，也是等价命题.25

4.含有一个量词（全称量词或特称量词）的命题的否定，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，如“x∈R,x2≥0”的否定是“x0∈R,

<0”.

5.分式不等式的否定不可直接改不等号，而应先求解再否定，如“＞0”的否定为“x≤0”.26

1.（2008·广东卷）已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（）

A.（p）∨q

B.p∧q

C.（p）∧（q）D.（p）∨（

q）命题p、q都是全称命题，p真，q假，所以“p”假，“q”真.答案：D27