【2022高考数学一轮复习】1不等式的概念与性质

1第一课时不等式的概念与性质第十六章不等式1.实数的运算性质与大小顺序之间的关系设a、b∈R，则（1）a＞b①__________；（2）a=b②___________；（3）a＜b③________.2.不等式的性质（1）a＞b④_______；2b＜a

a-b＜0a-b=0a-b＞0（2）a＞b，b＞c⑤_______；（3）a＞b⑥__________；（4）a＞b,c＞0⑦________；（5）a＞b,c＞d⑧____________；（6）a＞b＞0，c＞d＞0⑨_______；（7）a＞b＞0⑩__________________.__________________________________.3an＞bn（n∈N,且n＞1）ac＞bd

a+c＞b+d

ac＞bc

a+c＞b+ca＞c

41.对于实数a,b,c，有下列命题：①若ac2>bc2，则a>b；②若a>b，则ac2>bc2；③若a<b<0,则a2>ab>b2；④若a>b,c<d，则a-c>b-d.其中正确的命题共有个（）A.1B.2C.3D.4当c=0时，②不正确，其余都正确，故选C.C2.现给出三个不等式：①a2+1>2a；②a2+b2>2（a-b-）；③其中恒成立的不等式共有个（

）A.0B.1C.2D.35因为a2-2a+1=（a-1）2≥0,所以①不恒成立；对于②，a2+b2-2a+2b+3=（a-1）2+（b+1）2+1>0，所以②恒成立；对于③，因为且所以即③恒成立.故选C.63.若a＞1＞b＞-1，则下列不等式中恒成立的是（）4.如果a、b、c满足a＞b＞c，且ac＜0，那么下列选项中不一定成立的是（）A.ac＜bcB.c（b-a）＞0C.cb2＜ab2D.ac（a-c）＜07DC

5.若

则α-β的取值范围是________.

因为

所以又α<β,所以-π<α-β<0.8（-π,0）

1.比较大小（1）下列不等关系成立的是_____.A.3≥2B.32>（-4）2C.（x-3）2<（x-2）（x-4）D.x2+y2≤2（x+y-1）9A（2）若x∈R，则x2-x+1_____.A.大于0B.小于0C.等于0D.不能确定（3）若x∈R，则|x-1|+|x+1|_____.A.大于2B.大于或等于2C.小于或等于2D.不能确定10BA2.不等式的性质（1）下列结论中正确的是____.A.若a>b,c>d，则a-c>b-dB.若a>3,c>3,则a-c>0C.若a>b,c>d,则a+c<b+dD.若a>b,则a-2>b-211D（2）下列结论中正确的是______.A.若a>b,则ac>bcB.若a>b,c>d,则ac>bdC.若a>b>0,c>d>0,则ac>bdD.若a>b>0,则an>bn（n∈N）12C（3）下列结论中正确的是____.A.若a>b>0,c<0,则B.若ac2>bc2,则a>b不一定成立C.若a>b,则（n∈N）D.若a>b,则an>bn（n∈N,n≥2）13A3.判断下列命题的真假.（1）若a>b,则-a<-b____;（2）若a>b,则3a>3b_____;（3）若a,b同号，且a>b，则_____;（4）若a>b>0,则an>bn（n∈N,n≥2）___.14真真真真15（1）设x＜y＜0.试比较（x2+y2）（x-y）与（x2-y2）（x+y）的大小；（2）已知a、b、c∈R+，且a2+b2=c2.当n∈N，n＞2时，比较cn与an+bn的大小.题型1：比较大小

（1）(x2+y2)(

x-y

)-(

x2-y2

)

(

x+y

)=(

x-y

)［x2+y2-(

x+y

)

2］=-2xy

(

x-y

).因为x＜y＜0，所以xy＞0，x-y＜0，从而-2xy

(

x-y

)＞0.所以(

x2+y2

)(

x-y

)＞(

x2-y2

)

(

x+y

).16（2）因为a、b、c∈R+，故an,bn，cn∈R+.因为a2+b2=c2，所以从而0＜

＜1，0＜

＜1.因为n∈N，且n＞2，所以所以所以an+bn＜cn.17【评注】比较两个代数式的大小，常有两种方法可用.一是作差法，其步骤是：作差—变形—判断差的符号（与0比较大小）；二是作商法，其步骤是：作商—变形—判断商与1的大小（适用于两式同号的情况）.18

在等比数列{an}和等差数列{bn}中，a1=b1>0,a3=b3>0,a1≠a3，试比较a5与b5的大小.

设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，则a3=a1q2,b3=b1+2d.因为a1=b1,a3=b3，19所以a1q2=b1+2d,从而2d=a1（q2-1）.又a1>0,a1≠a3=a1q2，所以q2≠1，所以b5-a5=（a1+4d）-a1q4=a1+2a1（q2-1）-a1q4=-a1（q2-1）2<0，所以a5>b5.20已知m∈R,a>b>1,f（x）=mxx-1，试比较f（a）与f（b）的大小.

因为所以21因为a>b>1,所以a-1>0,b-1>0,b-a<0.(1)当m>0时，f(a)-f(b)<0,所以f(a)<f(b);(2)当m=0时，f(a)-f(b)=0,所以f(a)=f(b);(3)当m<0时，f(a)-f(b)>0,所以f(a)>f(b).综上所述，当m>0时，f(a)<f(b);当m=0时，f(a)=f(b);当m<0时，f(a)>f(b).22【评注】本题体现的是近年高考的热点之一——用函数观点解决不等式问题.方法大致有二：一是考虑求差比较；二是利用导数研究相应函数的单调性.但不管是哪种方法，遇到参数还需进行分类讨论.23若0<x<1,a>0且a≠1，试比较|loga(1-x)|与|loga(1+x)|的大小.

因为0<x<1,所以0<1-x<1,0<1-x2<1,1<1+x<2.①当a>1时，|loga(1-x)|

|=-loga(1-x),|loga(1+x)|=loga(1+x),所以|loga(1+x)|-|loga(1-x)

|=loga(1-x2)<0,所以|loga(1-x)

|>|loga(1+x)|.24②当0<a<1时，|loga(1-x)|=loga(1-x),|loga(1+x)|=-loga(1+x),所以|loga(1+x)|-|loga(1-x)|=-loga(1-x2)<0,所以|loga(1-x)|

>|loga(1+x)|.综上所述，|loga(1-x)|

>|loga(1+x)|.25设二次函数y=f(x)的图象过原点，且1≤f(-2)≤2,3≤f(1)≤4，求f(2)的取值范围.

依题意，设f(x)

=ax2+bx(a≠0)，则f(-2)=4a-2b,f(1)=a+b,f(2)=4a+2b.设f(2)=Af(-2)+Bf(1)=(4A+B)a+(B-2A)b,26题型2：求取值范围所以因为1≤f（-2）≤2，所以又3≤f（1）≤4，所以所以故f（2）的取值范围是27【评注】本题是用同向不等式相加性求取值范围问题.一不小心就会产生如下错误:

再代入f（2）=4a+2b，求得

错误的原因是没有考虑到4a-2b与a+b中的a,b不是独立的,而是相互制约的，以上解法无形中将所求变量的范围改变了.正确的思路应该是:将f（2）用4a-2b和a+b来表示,再两边分别乘以相应的系数即可.28

已知a,b∈R,且-1≤a+b≤1,1≤a+2b≤3,求a+3b的取值范围.

设a+3b=m（a+b）+n（a+2b）=（m+n）a+（m+2n）b.则m+n=1,m+2n=3,解得m=-1,n=2.所以a+3b=-（a+b）+2（a+2b）.因为-1≤a+b≤1，所以-1≤-（a+b）≤1.又1≤a+2b≤3，所以2≤2（a+2b）≤6.所以1≤a+3b≤7.故a+3b的取值范围是［1，7］.29本节内容是不等式的入门知识，也是以后解不等式（组）、证明不等式的依据.主要从两个方面考查，一是利用两个实数大小的事实，比较两个（或多个）数或代数式的大小，有可能结合到指数函数、对数函数、幂函数等的性质；二是利用不等式的性质判断有关不等式的命题的真假，或者求变量的取值范围.这部分内容的考查以选择题、填空题为主，30题目不难，但如果做题不在状态或是对性质记忆模糊，甚至随意篡改性质的前提条件，都可能将简单的问题弄得很糟糕.1.利用不等式的性质判断命题的真假时，一定要保持清醒的头脑，注意各个性质结论成立的前提，不能随意改变性质的条件.312.利用不等式的性质求取值范围的过程中，要保持变形的等价性，不要随意扩大或缩小变量的范围，事先要判明变量是独立的还是互相制约