圆心角、弦、弧的关系

2023/5/27圆心角、弦、弧的关系1课堂讲解圆心角及它所对弧的度数关系圆心角定理圆心角定理的推论2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升1知识点圆心角及它所对弧的度数的关系知1－导顶点在圆心的角叫做圆心角(centralangle).如图，(1)和(4)所示的∠AOB为⊙O的圆心角，(2)和(3)所示的∠APB不是⊙O的圆心角.圆的每一个圆心角都对应一条弦和一条弧.相等的两个圆心角所对应的两条弦之间以及两条弧之间具有怎样的关系呢？定义：顶点在圆心的角叫做圆心角．一个角是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征．要点精析：圆心角的条件：(1)顶点在圆心；(2)两边和圆相交．拓展：(1)1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧．这样，n°的圆心角所对的弧就是n°的弧．(2)圆心角的度数与它所对的弧的度数是一致(或相等)的，即圆心角的度数等于它所对弧的度数．注意这里仅指度数相等.知1－讲（来自《点拨》）[中考·菏泽]如图，在Rt△ABC中，∠A＝25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则的度数为________．知1－讲例1导引：连接CD，∵∠A＝25°，∴∠B＝65°，∵CB＝CD，∴∠B＝∠CDB＝65°，∴∠BCD＝50°，∴的度数为50°50°（来自《点拨》）结论知1－讲（来自《点拨》）根据弧的度数与该弧所对的圆心角的度数相等，在求弧的度数时，一般将其转化为求该弧所对的圆心角的度数，体现了数学中的转化思想．[中考·丽水]如图，圆心角∠AOB＝20°，将旋转n°得到，则的度数是________°.知1－练（来自《点拨》）下面四个图形中的角，是圆心角的是()如图，AB为⊙O的弦，∠A＝40°，则所对的圆心角等于()A．40°B．80°C．100°D．120°知1－练（来自《典中点》）2知识点圆心角定理知2－导如图，在⊙O中，∠AOB=∠COD.(1)猜想弦AB，CD以及之间各具有怎样的关系.(2)请用图形的旋转说明你的猜想.事实上，设∠AOC=α，将△AOB顺时针旋转α，则AO与CO重合，BO与DO重合.从而AB与CD重合，重合.所以AB=CD，结论：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧也相等.知2－讲例2如图所示，AB和CD是两条直径，弦CE∥AB，求证：弧AD=弧AE.分析：要证明弧AD=弧AE，需证明∠AOD=∠AOE，由已知CE∥AB，所以∠AOD=∠OCE，∠AOE=∠OEC，又因为OC=OE，可以知道∠OCE=∠OEC.证明：连接OE.∵OC=OE，∴∠OCE=∠OEC.∵CE∥AB，∴∠AOD=∠OCE，∠AOE=∠OEC，∴∠AOD=∠AOE，∴弧AD=弧AE.本题的解题关键是灵活运用圆心角、弧、弦间的关系，推出角相等，有角相等得弧相等.总结知2－讲1如图，在⊙O中，.求证：AC=BD.知2－练（来自《教材》）知2－练2下列命题是真命题的是()A．相等的圆心角所对的弧相等B．相等的圆心角所对的弦相等C．在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等D．顶点在圆内的角是圆心角如图，AB是⊙O的直径，若∠COA＝∠DOB＝60°，则与线段AO长度相等的线段有()A．3条B．4条C．5条D．6条（来自《典中点》）3知识点圆心角定理的推论知3－导在同圆或等圆中，若两条弧(或弦)相等，则它们所对的圆心角是否相等，所对的弦(或弧)是否相等？试说明理由.在同圆或等圆中，两个圆心角及其所对应的两条弦和所对应的两条弧这三组量中，只要有一组量相等，其他两组量就分别相等.结论知3－导知3－讲例3已知：如图，AB为⊙O的直径，点M，N分别在AO，BO上，CM⊥AB，DN⊥AB，分别交⊙O于点C，D，且求证：CM=DN.证明：如图，连接OC，OD.

在Rt△CMO和Rt△DNO中，

∴CM⊥AB，DN⊥AB，∴∠CMO=∠DNO=90°.又∵OC=OD，∠MOC=∠NOD，∴Rt△CMO≌Rt△DNO.∴CM=DN.（来自《教材》）在同一个圆中，弧、弦和圆心角中只要有一组量相等，就能推出另两组量相等．线段有和差，弧也有和差．总结知3－讲（来自《点拨》）知3－练1如图所示，在⊙O中，，则在①AB＝CD；②AC＝BD；③∠AOC＝∠BOD；④中，正确的个数是()A．1B．2C．3D．4（来自《点拨》）知3－练在⊙O中，M，N分别为弦AB，CD的中点，如果OM＝ON，那么在结论：①AB＝CD；②③∠AOB＝∠COD中，正确的是()A．①②B．①③C．②③D．①②③【中考·兰州】如图，在⊙O中，点C是的中点，∠A＝50°，则∠BOC＝()A．40°B．45°C．50°D．60°（来自《典中点》）