直观图课件完整版

§2

直观图

【课标要求】新课程标准:会用斜二测画法画出简单空间图形的直观图.教学目标:1.掌握斜二测画法的步骤.2.会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图.3.通过观察直观图,了解空间几何体的表示形式,进一步认识几何体的结构特征.4.培养直观想象的核心素养.【思维脉图】

【自主预习】1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的三个步骤

45°水平面x′轴y′轴保持原长度不变2.立体图形直观图画法的四个步骤z′轴平行性及长度不变平面x′o′y′y′o′z′x′o′z′【思维辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)用斜二测画法画直观图时,在原图y轴上长为4的线段,在直观图中的长度为4. (

)(2)正方形的直观图仍是正方形. (

)(3)空间几何体的直观图一定唯一. (

)【提示】(1)×.用斜二测画法画直观图时,在原图y轴上长为4的线段,在直观图中的长度减半应为2.(2)×.正方形的直观图是平行四边形.(3)×.不一定唯一.作直观图时,由于选轴不同,所画直观图就不一定相同.

【自主总结】1.斜二测画法强调的两种数量关系(1)角的变化:在平面xOy中,原图形中与x轴垂直的线段,在斜二测画法中画成与x′轴成45°的线段.(2)长度的变化:原图形中与y轴平行的线段长度减半,与x轴或z轴平行的线段长度不变.2.直观图中的“变”与“不变”(1)平面图形用其直观图表示时,一般说来,平行关系不变.(2)点的共线性不变,线的共点性不变,但角的大小有变化(特别是垂直关系有变化).(3)有些线段的度量关系也发生变化.因此图形的形状发生变化,这种变化,目的是为了使图形富有立体感.提醒:用斜二测画法画水平放置的平面图形要注意坐标系的选取.

【自主检测】

1.用斜二测画法得到:(1)正方形在直观图中是矩形.(2)等腰梯形在直观图中仍然是等腰梯形.(3)菱形的直观图仍然是菱形.上述结论正确的个数是 (

)A.0 B.1 C.2 D.3【解析】选A.利用斜二测画法,上面说法没有一个正确.2.若一个三角形采用斜二测画法,得到的直观图的面积是原三角形面积的 (

)

【解析】选A.底不变,只研究高的情况即可.3.在棱长为4cm的正方体ABCD-A1B1C1D1中,作直观图时,棱AA1在x轴上,棱AD在y轴上,则在其直观图中,对应棱A′D′的长为_____cm,棱A′A1′的长为________cm.

【解析】在x轴上的线段长度不变,故A′A1′=4cm,在y轴上的线段变成原来的一半,故A′D′=2cm.答案:2

4类型一平面图形的直观图的画法【典例】1.如图所示是水平放置的正方形ABCO,在平面直角坐标系xOy中,点B的坐标为(4,4),则由斜二测画法画出的正方形的直观图中,顶点B′到x′轴的距离为(

)

2.画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图.

世纪金榜导学号13136003【思路导引】按照___________画水平放置的平面图形的画法规则和步骤进行计算和画图.斜二测画法【解析】1.选A.由斜二测画法规则画出直观图如图所示,作B′E⊥x′轴于点E,在Rt△B′EC′中,

B′C′=2,∠B′C′E=45°,B′E=B′C′sin45°=2.(1)如图(1)所示,取AB所在直线为x轴,AB中点O为原点,建立直角坐标系,再建立如图(2)所示的坐标系x′O′y′,使∠x′O′y′=45°.

(2)在图(2)中,以O′为中点在x′轴上取A′B′=AB.(3)在y′轴上取O′E′=OE,以E′为中点画C′D′∥x′轴,并使C′D′=CD.(4)连接B′C′,D′A′,去掉辅助线,所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图.如图(3)所示.【方法技巧】画平面图形的直观图的技巧(1)在原图中与x轴或y轴平行的线段在直观图中依然与x′轴或y′轴平行,且与x′轴平行的线段长度不变,与y′轴平行的线段长度减半.(2)原图中不与坐标轴平行的线段可以先画出线段的端点再连线.画端点时,过端点作坐标轴的平行线段,再借助所作的平行线段确定端点在直观图中的位置.(3)原图中的曲线可以通过取一些关键点,利用上述方法作出直观图中的相应点后,用平滑曲线连接而画出.提醒:画直观图时,要注意选择适当位置建系,使尽可能多的点落在坐标轴上.【变式训练】利用斜二测画法画出边长为3cm的正方形的直观图,正确的是图中的 (

)【解析】选C.正方形的直观图是平行四边形,且平行于x轴的边长为3,平行于y轴的边长为1.5.【补偿训练】画出水平放置的四边形OBCD(如图所示)的直观图.【解析】①过点C作CE⊥x轴,垂足为E,如图(1)所示,画出对应的x′轴、y′轴,使∠x′O′y′=45°,如图(2)所示.②如图(2)所示,在x′轴上取点B′,E′,使得O′B′=OB,O′E′=OE;在y′轴上取一点D′,使得O′D′=OD;过E′作E′C′∥y′轴,使E′C′=EC.③连接B′C′,C′D′,并擦去辅助线,如图(3)所示,四边形O′B′C′D′就是所求的直观图.类型二空间几何体的直观图【典例】1.如图所示的直观图是将正方体模型放置在你的水平视线的左下角而绘制的,其中正确的是(

)

2.画正六棱柱(底面是正六边形,侧棱垂直于底面)的直观图.(底面边长尺寸不作要求,侧棱长为2cm) 世纪金榜导学号13136004【思路导引】本题所要判断和画的是空间图形,所以要先画_____,即先按照水平放置的_________________的画法画出底面,再画_____,最后成图.底面平面图形的直观图侧棱【解析】1.选A.根据把模型放在水平视线的左下角绘制的特点,并且由几何体的直观图画法及立体图形中虚线的使用知A正确.2.画法:(1)画轴.画x′轴、y′轴、z′轴,使∠x′O′y′=45°,∠x′O′z′=90°.

(2)画底面.根据x′轴,y′轴,画正六边形的直观图ABCDEF.(3)画侧棱.过A,B,C,D,E,F各点分别作z′轴的平行线,在这些平行线上分别截取AA′,BB′,CC′,DD′,EE′,FF′都等于侧棱长2cm.(4)成图.顺次连接A′,B′,C′,D′,E′,F′,并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线),就得到正六棱柱的直观图.【方法技巧】1.画空间几何体的直观图的四个步骤(1)画轴:通常以高所在直线为z轴建系.(2)画底面:根据平面图形的直观图画法确定底面.(3)确定顶点:利用与z轴平行或在z轴上的线段确定有关顶点.(4)连线成图.2.利用斜二测画法画空间几何体的直观图应遵循的原则(1)画空间几何体的直观图在要求不太严格的情况下,长度和角度可适当选取,为了增强立体感,被挡住的部分通常用虚线表示.(2)画法规则可简记为:两轴夹角为45°,竖轴垂直仍不变,平行不变,长度变,横竖不变,纵折半.(3)画空间几何体的直观图,要注意选取适当的原点,建系画轴.提醒:注意直观图与原图之间各线段的数量关系变化.【变式训练】画出底面是正方形,侧棱均相等的四棱锥的直观图.【解析】画法:(1)画轴.画Ox轴,Oy轴,Oz轴,∠xOy=45°(或135°),∠xOz=90°,如图.

(2)画底面.以O为中心在xOy平面内,画出正方形的直观图ABCD.(3)画顶点.在Oz轴上截取OP使OP的长度等于原四棱锥的高.(4)成图.顺次连接PA,PB,PC,PD,并擦去辅助线,将被遮住的部分改为虚线,得四棱锥的直观图.【补偿训练】用斜二测画法画底面半径为1cm,高为3cm的圆锥的直观图.【解析】画法如下:(1)画x′轴和y′轴,两轴交于点O′,使∠x′O′y′=45°.(2)分别在x′轴、y′轴上以O′为中心,作A′B′=2cm,C′D′=1cm,用曲线将A′,C′,B′,D′连起来得到圆锥底面(圆)的直观图.(3)画z′轴,在z′轴方向上取O′S=3cm,S为圆锥的顶点,连接SA′,SB′.(4)擦去辅助线,得圆锥的直观图.

类型三直观图的还原及有关计算【典例】如图所示,一个水平放置的平面图形的斜二测画法的直观图是一个底角为45°、腰和上底长均为1的等腰梯形,求原平面四边形的面积. 世纪金榜导学号13136005【思路导引】分别以B′C′,A′B′所在的直线为____________,画出该直观图的对应图形,然后求面积.x′轴,y′轴【解析】如图(1)是四边形的直观图,取B′C′所在直线为x′轴.因为∠A′B′C′=45°,所以取B′A′所在直线为y′轴.过D′作D′E′∥A′B′,D′E′交B′C′于E′,则B′E′=A′D′=1.又因为梯形为等腰梯形,所以△E′D′C′为等腰直角三角形,所以E′C′=.再建立一个直角坐标系xOy,则O,B重合,如图(2)所示,在x轴上截取线段BC=B′C′=1+,在y轴上截取线段BA=2B′A′=2.过A作AD∥BC,截取AD=A′D′=1.连接CD,则四边形ABCD就是四边形A′B′C′D′的平面图形.四边形ABCD为直角梯形,上底AD=1,下底BC=1+,高AB=2,所以S梯形ABCD=AB·(AD+BC)=×2×(1+1+)=2+.【延伸探究】1.本例已知条件不变,求原平面四边形的周长.【解析】由本例解题过程可知,原平面四边形是直角梯形ABCD,上底AD=1,下底BC=1+,高AB=2,腰CD=

所以直角梯形ABCD的周长为1+(1+)+2+=4++.2.本例中题设条件改为“一个平行四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形”,则结果是什么?【解析】由题意知,平行四边形的直观图为:对应在直角坐标系下的图形为:所以平行四边形的面积为S′=2××a×2a=2a2.【方法技巧】直观图还原为平面图的方法及有关计算(1)由直观图还原平面图形关键有两点:①平行x′轴的线段长度不变,平行y′轴线段变为原来的2倍;②对于相邻两边不与x′、y′轴平行的顶点可通过作x′轴,y′轴平行线变换确定其在xOy中的位置.(2)一个平面图形的面积与其斜二测画法所画直观图的面积之间的关系是

【补偿训练】如图所示是直观图,则其平面图形的面积为 (

)

A.3

B.

C.6