【2022高考数学一轮复习】1直线和圆锥曲线的位置关系

1第五课时直线和圆锥曲线的位置关系第十一章集合与常用逻辑1.直线与圆锥曲线C的位置关系将直线l的方程代入曲线C的方程，消去y或者消去x，得到一个关于x(或y)的方程ax2+bx+c=0.(1)交点个数(ⅰ)当

时，曲线C和直线l只有一个交点；(ⅱ)当

时，曲线C和直线l有两个交点；(ⅲ)当

时，曲线C和直线l没有交点.2a=0或a≠0，Δ=0a≠0，Δ＜0a≠0，Δ＞0(2)设直线l的斜率为k，直线l与圆锥曲线的两个交点分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)，则弦长|AB|=

。3.

2.对称问题：曲线上存在两点关于已知直线对称的条件：

。

；

。

；

。

.4曲线上两点所在的直线与曲线上两点所在已知直线垂直(得出斜率)上两点连线段的中点在对称直线上的直线与曲线有两个公共点(Δ＞0)曲线1.直线y=kx-k+1与椭圆的位置关系为（）A.相交B.相切C.相离D.不确定因为直线y=k（x-1）+1过定点（1，1），而点（1，1）在椭圆内，所以直线与椭圆恒相交.5A2.已知双曲线的方程为若过点P（1，1）的直线l与双曲线只有一个公共点，则直线l的条数为（）A.4

B.3C.2

D.16A如图，点P(1，1)在双曲线两支之间，所以过点P与双曲线相切的切线有两条；过点P与渐近线平行的两条直线与双曲线也只有一个公共点，故共有4条.73.过点(0，1)与抛物线y2=2px(p＞0)只有一个公共点的直线条数是（

）A.0

B.1C.2

D.38D

如图，过点P（0，1）与抛物线相切的直线有两条；与x轴平行的直线有一条，它们都与抛物线y2=2px（p＞0）只有一个公共点，故共有3条符合题意的直线.94.已知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A,B，则|AB|等于(

)A.3

B.4C.3

D.4

10C

设直线AB的方程为y=x+b，

y=-x++3

y=x+b所以x1+x2=-1，进而可求得线段AB的中点M(-

,-

+b).又由M(-

,-

+b)在直线x+y=0上可求得b=1.所以x2+x-2=0.由弦长公式可得11由，得x2+x+b-3=0,5.已知双曲线

=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线与左支相交于A、B两点.如果|AF1|+|BF2|=2|AB|，那么|AB|=

.122a

由双曲线的定义知|AF2|-|AF1|=2a,|BF2|-|BF1|=2a,则|AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|)=4a.又|AF1|+|BF1|=|AB|,|AF1|+|BF2|=2|AB|，所以|AF1|+2a+|BF2|-|AB|=2|AB|+2a-|AB|=|AB|+2a=4a，故|AB|=2a.131.位置关系(1)已知对k∈R，直线y-kx-1=0与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围是()A.(0，1)B.(0，5)C.［1，5)∪(5，+∞)D.［1，5)(2)直线y=x-1被抛物线y2=4x截得线段的中点坐标是_____.14C(3,2)2.弦长与弦中点已知抛物线y2=6x，过点(4,1)引一弦，使它恰在这点被平分，则此弦所在直线方程为___________.153x-y-11=03.对称问题已知直线l1：x+my+5=0和直线l2：x+ny+p=0，则直线l1、l2关于y轴对称的充要条件是()16C

1.直线y-kx-1=0恒过点(0，1)，仅当点(0，1)在椭圆上或椭圆内时，此直线才恒与椭圆有公共点.所以，

≤1且m＞0，得m≥1.又m≠5，所以应选C.2.将y=x-1代入抛物线y2=4x，经整理得x2-6x+1=0.由韦达定理得x1+x2=6，则所以所求点的坐标为(3，2).173.设直线与抛物线的交点为(x1,y1),(x2,y2).

则2y中·k=6,所以k=3.故所求直线的方程为3x-y-11=0.4.直线l1关于y轴对称的直线方程为(-x)+my+5=0，即x-my-5=0.与直线l2的方程比较，知m=-n且p=-5.18由，得题型1：与弦相关的问题

将圆x2+y2=8上的每一点的纵坐标变为原来的

，对应的横坐标不变，得到曲线C；设M(2，1)，平行于OM的直线l在y轴上的截距为m(m≠0)，直线l与曲线C交于A、B两个不同的点.(1)求曲线C的方程；(2)求m的取值范围.19(1)设圆上的任意一点P′(x′，y′)变换x′=xy′=2y(2)因为直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m，又kOM=，所以直线l的方程为y=

x+m.20后对应的点为P(x,y)，则，代入圆的方程得曲线C的方程为

因为直线l与曲线C交于A、B两个不同的点，所以Δ=(2m)2-4(2m2-4)＞0，解得-2＜m＜2且m≠0.所以m的取值范围是(-2，0)∪(0，2).【评注】直线与圆锥曲线的交点问题往往是转化为方程组的解进行研究.21由，消去y得x2+2mx+2m2-4=0.已知点A、B的坐标分别是(-1，0)、(1，0).直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为-2.(1)求动点M的轨迹方程；(2)若过点N(，1)的直线l交动点M的轨迹于C、D两点，且N为线段CD的中点，求直线l的方程.22

(1)设M(x,y).因为kAM·kBM=-2，所以(x

≠±1)，化简得2x2+y2=2(x≠±1)，即为动点M的轨迹方程.(2)设C(x1,y1),D(x2,y2).当直线l⊥x轴时，直线l的方程为x=

，则C()，D()，此时线段CD的中点不是N，不合题意.故设直线l的方程为y-1=k(x-).23将C(x1,y1),D(x2,y2)代入2x2+y2=2(x≠±1)，得

①

②①-②整理得所以直线l的方程为y-1=-(x-)，即2x+2y-3=0.24题型2：对称问题

在抛物线y2=4x上恒有两点关于直线l:y=kx+3对称，求k的取值范围.

设B、C关于直线y=kx+3对称，直线BC的方程为x=-ky+m，代入y2=4x，得y2+4ky-4m=0.设B(x1，y1)、C(x2，y2)，线段BC的中点M(x0，y0).则

x0=2k2+m.25因为点M(x0，y0)在直线l上，所以-2k=k(2k2+m)+3，所以又因为直线BC与抛物线交于不同的两点，所以Δ=16k2+16m＞0.把m代入化简得即

，解得-1＜k＜0.故实数k的取值范围是(-1,0).26【评注】对称问题是高考的热点之一，由对称易得两个关系式.本题可用“设而不求”的方法，由B、C两点在抛物线上得“Δ＞0”.27如图，若椭圆上存在两点A，B关于直线l：y=4x+m对称，求实数m的取值范围.28

方法1：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，线段AB的中点M(x0,y0).易知即因为点A，B都在椭圆上，

①

②29所以.①-②得3(x1+x2)(x1-x2)+2(y1+y2)(y1-y2)=0，即即6x0-y0=0，所以y0=6x0.

③又点(x0,y0)在直线l上，所以y0=4x0+m.

④30由③④得M(,3m).因为点M在椭圆内部，所以即3()2+2·(3m)2＜6，解得所以实数m的取值范围为().31方法2：依题意设直线AB的方程为y=-14x+n.

y=-

x+n

消去y得25x2-8nx+16n2-48=0.因为直线AB与椭圆有两个公共点A、B，所以Δ＞0，即n2＜.（*）32由，设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点M(x0,y0),所以即33又因为点M在直线y=4x+m上，所以由(*)得

,解得所以实数m的取值范围是341.解圆锥曲线上的点关于某一直线对称的问题的方式：圆锥曲线上的两点所在直线与已知直线垂直，求得过圆锥曲线上两点的直线方程，代入圆锥曲线方程中，利用Δ>0得一关系式，利用圆锥曲线上两点连线段的中点在对称直线上得到另一个关系式，从而求解.352.直线与圆锥曲线的关系中，要注意弦长公式的运用，“设而不求”是常用的方法，解题中要注意应用韦达定理及判别式.361.(2009·浙江卷)已知椭圆

(a＞b＞0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若

则椭圆的离心率是（

）A.

B.

C.

D.

37D2.(2009·湖南卷)已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形(记为Q).(1)求椭圆C的方程；(2)设点P是椭圆C的左准线与x轴的交点，过点P的直线l与椭圆C相交于M,N两点.当线段MN的中点落在正方形Q内(包括边界)时，求直线l的斜率的取值范围.38

(1)依题意，设椭圆C的方程为

(a>b>0)，焦距为2c.由题设条件知，a2=8,b=c,所以故椭圆C的方程为

(2)椭圆C的左准线方程为x=-4,所以点P的坐标为(-4,0).显然，直线l的斜率k存在，所以直线l的方程为y=