【2022届高考数学一轮复习】《平面与平面的位置关系》

第4讲平面与平面的位置关系通过直观感知、操作确认，归纳出平面与平面平行、垂直的判定定理和性质定理，并能用它们证明面面的平行与垂直问题．-1-基础自查2．两个平面平行的判定(1)定义；(2)判定定理：a⊂α，b⊂α，a∩b＝M，a∥β，b∥β⇒

；(3)a⊥α，a⊥β⇒

.α∥βα∥β-1-3．两个平面平行的性质

(1)两个平面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒

；

(2)α∥β，l⊥α⇒

.4．两个平行平面间的距离与两个平行平面都垂直的直线，叫做这两个平行平面的

，它夹在这两个平行平面间的线段，叫做这两个平行平面的公垂线段，公垂线段的长度叫做

．a∥bl⊥β两个平行平面间的距离公垂线-1-5．二面角及其平面角

(1)二面角的定义一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做

，这条直线叫做二面角的

，每个半平面叫做二面角的

．

(2)二面角平面角的定义以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫做二面角的

，平面角是直角的二面角叫做

．二面角面棱平面角直二面角-1-6．平面与平面垂直

(1)平面与平面垂直的定义如果两个平面所成的二面角是

，就说这两个平面互相垂直．

(2)平面与平面垂直的判定定理如果一个平面经过另一个平面的

，那么这两个平面互相垂直．

(3)平面与平面垂直的性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们

的直线垂直于另一个平面．联动思考想一想：利用面面垂直的性质定理如何添加辅助线？答案：当两个平面垂直时，常在其中一个平面内作垂直于交线的直线，则这条交线与另一个平面垂直．直二面角一条垂线交线-1-联动体验1．已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”

是“m⊥β”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)

解析：由面面垂直的判定定理可知必要性成立，而当两平面α、β垂直时，

α内的直线m

只有在垂直于两平面的交线时才垂直于另一个平面β，∴必要不充分．答案：必要不充分2．设α、β为互不重合的平面，m、n为互不重合的直线，给出下列四个命题：

①若m⊥α，n⊂α，则m⊥n；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则

α∥β；③若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；④若m⊥α，

α⊥β，m∥n，则n∥β.其中正确命题的序号为________．答案：①③-1-3．(2010·扬州模拟)已知平面α，β，γ及直线l，m满足：l⊥m，α⊥γ，

γ∩α＝m，γ∩β＝l，则由此可推出：①β⊥γ；②l⊥α；③m⊥β中的________．解析：若l⊥m，α⊥γ，γ∩α＝m，γ∩β＝l，则l⊥α，平面β可以绕直线旋转．答案：②4．(2010·洛阳市高三考试)设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，有以下四个命题：①若m∥n，n⊂α，则m∥α；②若m∥α，n∥α，m⊂β，

n⊂β；则α∥β，③若m∥α，n⊂α，则m∥n；④若α∥β，m⊂α，则

m∥β.其中真命题的个数是________个．解析：④是真命题．答案：1-1-5．(2010·泰州实验一模)①两平面相交，如果所成的二面角是直二面角，则这两个平面垂直；②一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面一定垂直；③一直线与两平面中的一个平行与另一个垂直，则这两个平面垂直；④一平面与两平行平面中的一个垂直，则与另一个平面也垂直；⑤两平面垂直，经过第一个平面上一点垂直于它们交线的直线必垂直于第二个平面．上述命题中，正确的命题有________个．解析：①两平面垂直的定义，正确．②两平面垂直的判定定理，正确．③可转化为判定定理证明，正确．④借助于实物或画图都可得出结论，正确．⑤应为在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于第二个平面，错误．答案：4

-1-考向一两个平面平行的判定【例1】

在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求证：平面A1BD∥平面CB1D1.证明：由正方体ABCD－A1B1C1D1知，A1B1綊AB，AB綊CD，∴A1B1綊CD.∴四边形A1B1CD为平行四边形．∴A1D∥B1C.而B1C⊂面CB1D1，∴A1D∥面CB1D1同理，BD∥平面CB1D1，且A1D∩BD＝D.∴平面A1BD∥平面CB1D1.反思感悟：善于总结，养成习惯判定两个平面平行除了定义之外常用的判定方法有两个，一个是用两个平面平行的判定定理，判定两个平面平行，另一个是用结论“垂直于同一条直线的两个平面平行”判定两个平面平行．-1-迁移发散1．如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．已知：

α∥β，γ∥β.

求证：α∥γ.-1-考向二平面与平面平行的性质【例2】

如图，已知平面α∥β∥γ，A，C∈α，B，D∈γ，异面直线AB和CD分别与β交于E和G，连结AD和BC分别交β于F，H.-1-反思感悟：善于总结，养成习惯平面与平面平行的判定与性质，同直线与平面平行的判定与性质一样，体现了转化与化归的思想．三种平行关系如图所示．性质定理的转化实施，关键是作辅助平面，通过作辅助平面得到交线，就可把面面平行化为线面平行并进而化为线线平行，注意作平面时要有确定平面的依据．-1-迁移发散2．如果α∥β，AB和CD是夹在平面α与β之间的两条线段，AB⊥CD，且AB＝

2，直线AB与平面α所成的角为30°，那么线段CD的取值范围是________．-1-考向三平面与平面垂直的判定与性质【例3】

如右图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PD的中点，又二面角P－CD－B为45°，(1)求证：AF∥平面PEC；(2)求证：平面PEC⊥平面PCD；-1-

(2)证明：PA⊥平面ABCD，则AD是PD在底面上的射影，又ABCD为矩形，∴CD⊥AD，则CD⊥PD，因此CD⊥AF，∠PDA为二面角P－CD－B的平面角，即∠PDA＝45°，F为Rt△PAD斜边PD的中点，AF⊥PD，PD∩CD＝D，∴AF⊥平面PCD，由(1)知AF∥EG，∴EG⊥平面PDC，∵EG⊂平面PEC，∴平面PEC⊥平面PCD.-1-反思感悟：善于总结，养成习惯1．证明两个平面垂直可以利用两个平面垂直的定义，多数情况下利用两个平面垂直的判定定理．2．当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线．把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线线垂直．-1-迁移发散3．(1)已知△ABC中，∠ABC＝90°，P为△ABC所在平面外一点，PA＝PB＝PC.

求证：平面PAC⊥平面ABC.-1--1--1-课堂总结感悟提