【人教数学A版-】《杨辉三角与二项式系数的性质》

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-1-1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质-1-一般地，对于nN*有二项定理:复习回顾二项展开式中的二项式系数指的是那些？共有多少个？

下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我们先通过杨辉三角观察n为特殊值时，二项式系数有什么特点？1．“杨辉三角”的来历及规律

-1-杨辉三角展开式中的二项式系数，如下表所示：

121

1331

1464115101051

1615201561

………………观察二项式系数表，寻求其规律：

不难发现,表中每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和.事实上，设表中任一不为1的数为Cn+1r，那么它肩上的两个数分别为Cnr-1及Cnr，知道Cn+1r=Cnr-1+Cnr

这就是组合数的性质2.-1-(1)对称性:

与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．(a+b)n展开式的二项式系数依次是:

(3)增减性与最大值.(2)递推性:

除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和.(4)各二项式系数的和.当n为偶数时，中间一项取得最大项；当n为奇数时，中间两项同时取得最大值。-1-

可运用函数的观点，结合“杨辉三角”和函数图象，研究二项式系数的性质．

(a+b)n展开式的二项式系数是

可看成是以r为自变量的函数f(r),其定义域是{0,1,2,…,n},当n=6时，其图象是右图中的7个孤立点...----------1084621620f(r).....369r2．二项式系数的性质

-1-二项式系数的性质（1）对称性

与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．

这一性质可直接由公式得到．图象的对称轴：-1-二项式系数的性质（2）增减性与最大值

当n为偶数时，中间一项的二项式系数

取得最大值；当n为奇数时，中间两项的二项式系数、相等，且同时取得最大值。（3）各二项式系数的和

-1-二项式系数的性质在二项式定理中，令，则：

这就是说，的展开式的各二项式系数的和等于：同时由于，上式还可以写成：二项定理:

启示：在二项式定理中，对a,b赋予一些特定的值，是解决二项式有关问题的一种重要方法——赋值法。-1-继续思考:

试证明在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.即证：证明：在展开式中令a=1，b=－1得

启示：在二项式定理中，对a,b赋予一些特定的值，是解决二项式有关问题的一种重要方法——赋值法。

二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意“系数”与“二项式系数”

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