【2022届新高考数学一轮复习全案】《一元二次不等式及其解法》

x∈∅

2．一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系二次函数Δ的情况一元二次方程一元二次不等式y＝ax2＋bx＋c(a>0)Δ＝b2－4acax2＋bx＋c＝0(a>0)ax2＋bx＋c>0(a>0)ax2＋bx＋c<0(a>0){x|x<x1或x>x2}{x|x1<x<x2}{x|x≠x0，x∈R}∅

二次函数Δ的情况一元二次方程一元二次不等式图象与解Δ<0方程无解解集为

解集为

∅R3.用程序框图来描述一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的求解的算法过程为：1．(2010·广州一模)不等式x2－3x＋2＜0的解集为(

)A．(－∞，－2)∪(－1，＋∞)

B．(－2，－1)C．(－∞，1)∪(2，＋∞)D．(1,2)[答案]

D[答案]

A3．(2009·山东卷文)在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)＜0的实数x的取值范围为(

)A．(0,2) B．(－2,1)C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－1,2)[解析]

依题意得x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2∴x⊙(x－2)＝x2＋x－2＜0，解得－2＜x＜1[答案]

B[点评与警示]

1.利用函数图象法解不等式．步骤是：①化ax2＋bx＋c≥0(≤0)(a>0)；②判定对应方程ax2＋bx＋c＝0根的存在；③根据y＝ax2＋bx＋c图象，写出解集．2．对于分式不等式，可考虑化为与之等价的整式不等式来求解．3．对分段函数，分段解决，再综合下结论．若m＞－1，解关于x的不等式x(x＋m－1)≥m[解]

原不等式可以化为(x－1)(x＋m)≥0，则方程(x－1)(x＋m)＝0的根为1和－m，由于m＞－1，所以－m＜1，所以不等式x(x＋m－1)≥m的解集为{x|x≤－m或x≥1}例题中的去掉条件m＞－1，那么不等式x(x＋m－1)≥m的解又如何？并设计框图求解该不等式[解]

原不等式可化为(x－1)(x＋m)≥0，则方程(x－1)(x＋m)＝0根1，－m，讨论两根大小，作函数图象如图：若－m<1即m>－1时，x≤－m或x≥1.若－m＝1即m＝－1时，原不等式的解集为R.若－m>1，即m<－1时，则x≤1或x≥－m.利用框图求解：先整理不等式：x2＋(m－1)x－m≥0，再设计框图，如下图．

已知f(x)＝x2－2ax＋2，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．[解]

由f(x)＝x2－2ax＋2得f(x)≥a为x2－2ax＋2≥a，∴f(x)≥a恒成立，即x2－2ax＋2－a≥0恒成立要使得x2－2ax＋2－a≥0恒成立，只需Δ＝4a2－4(2－a)≤0，解得－2≤a≤1∴所求a的取值范围为－2≤a≤1例题中加上条件：在x∈[－1，＋∞)上，f(x)≥a恒成立，那么a的取值范围又是什么呢？[解]

f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函数图象的对称轴为x＝a，①当a∈(－∞，－1)时，结合图象知，f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，f(x)min＝f(－1)＝2a＋3，要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a，即2a＋3≥a，解得a≥－3，又a＜－1，∴－3≤a＜－1②当a∈[－1，＋∞)时，f(x)min＝f(a)＝2－a2，由2－a2≥a，解得－2≤a≤1，由a≥－1，∴－1≤a≤1综上所述，所求a的取值范围为－3≤a≤1

某摩托车厂上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆，本年度为了适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本，若每辆的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同年预计年销售量增加比例为0.6x，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量(1)写出本年度预计利润y与投入成本增加的比例x的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加比例x应在什么范围内？1．解一元二次不等式的一般步骤(1)对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax2＋bx＋c＞0(a＞0)，ax2＋bx＋c＜0(a＞0)；(2)计算相应的判别式；(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根；(4)根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集．2．对于解含有参数的二次不等式