应用多元分析第四章多元正态总体

应用多元分析第四章多元正态总体第一页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六第四章多元正态总体的统计推断§4.1一元情形的回顾1、置信区间就称随机区间(，)是的置信度为1-的置信区间，称为置信下限，称为置信上限。设总体X的分布函数为F(x;),是未知参数，是来自总体X的样本，若存在两个统计量使得对任何0<<1,有第二页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六第三页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六第四页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六1、单个正态总体均值的置信区间第五页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六第六页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六2、两个正态总体均值之差的置信区间第七页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六第八页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六第九页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六第十页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六二、假设检验

在研究实际问题时,为了对实际问题作出决断,需要作适当的假设,然后根据样本进行判断,作出接受或拒绝假设的选择.H0称为“零假设”或“原假设”.当原假设被拒绝,而准备接受的另一假设称为“备择假设”.记为H1.“零假设”或“原假设”第十一页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六第十二页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六第十三页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六两类错误第一类错误第二类错误拒绝域原假设为真,但由于样本点落入拒绝域中,原假设被拒绝.“弃真”原假设不真,但由于样本点落入接受域中,原假设被接受.“取伪”检验规则第十四页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六第一类错误的概率:第二类错误的概率:(1)第十五页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六以样本方差代替总体方差构造统计量第十六页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六第十七页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六2、两个正态总体均值的比较检验检验统计量:两总体方差已知第十八页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六检验规则为:(2)两总体方差未知,但检验统计量:检验规则为:第十九页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六3、检验的p值设U为检验统计量,u为其观察值,称为检验的p值.对于给定的显著性水平α检验规则为:第二十页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六三、假设检验与置信区间的关系例

单个正态总体均值的检验第二十一页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六四、多个总体均值的比较检验（方差分析）

今欲检验记第二十二页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六第二十三页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六第二十四页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六计划学时：2学时教学课型：理论课教学目的与要求：掌握单个多元正态总体均值向量的推断原理与方法教学重点：单个多元正态总体均值向量的推断原理与方法教学难点：单个多元正态总体均值向量的推断原理与方法教学方法、手段与媒介：根据教材用多媒体课件课堂讲授教学过程与内容：第二十五页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六§4.2单个总体均值的推断一、均值向量的检验第二十六页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六第二十七页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六第二十八页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六

例4.2.1对某地区农村的6名2周岁男婴的身高、胸围、上半臂围进行测量，得样本数据如表4.2.1所示。根据以往资料，该地区城市2周岁男婴的这三个指标的均值。欲在多元正态性假定下检验该地区农村男婴是否与城市男婴有相同的均值。解：根据题意，要检验假设

因总体为正态总体，总体协方差矩阵未知，故可用检验。第二十九页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六

经计算得第三十页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六

编号

身高(cm)

胸围(cm)上半臂围(cm)17860.616.527658.112.539263.214.548159.014.058160.815.568459.514.0表4.2.1某地区农村男婴体格测量数据第三十一页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六Datal421;inputx1x2x3@@;cards;7860.616.57658.112.59263.214.58159.014.08160.815.58459.514.0;Proccorrdata=l421nosimplecov;Run;第三十二页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六

prociml;x={7860.616.5,7658.112.5,9263.214.5,8159.014.0,8160.815.5,8459.514.0};E={[6]1};Xbar=t(x)*t(e)/6;A=t(x)*x-6*xbar*t(xbar);s=a/5;mu={90,58,16};T=6*t(xbar-mu)*inv(s)*(xbar-mu);t1=5*29.5;PrintxbarasTt1;第三十三页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六二、置信区间第三十四页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六

三、联合置信区间第三十五页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六第三十六页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六邦弗伦尼(Bonferroni)联合置信区间

其置信度至少为第三十七页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六第三十八页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六

编号12345678甲项成绩6280668475805479乙项成绩7077758787916184

例4.2.2为评估某职业培训中心的教学效果,随机抽取8名受训者,进行甲、乙两个项目的测试,其数据列于表4.2.2.假定服从二元正态分布.求其均值的置信区间.表4.2.2两个项目的测试成绩第三十九页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六

解:由题设知,第四十页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六第四十一页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六

proc

iml;X={62

80

66

84

75

80

54

79,

70

77

75

87

87

91

61

84};Xbar=x*t({[8]1})/8;(或x[,+]/8)；S=(x*t(x)-8*xbar*t(xbar))/7;Mul=xbar-2.841*sqrt(vecdiag(s)/8);Muu=xbar+2.841*sqrt(vecdiag(s)/8);Mulb=xbar-2.3646*sqrt(vecdiag(s)/8);Muub=xbar+2.3646*sqrt(vecdiag(s)/8);Printmulmuumulbmuub;第四十二页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六709080608070第四十三页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六Exec41proc

iml;x={3.7

48.5

9.3,5.7

65.1

8.0,

3.8

47.2

10.9,3.2

53.2

12.0,

3.1

55.5

9.7,4.6

36.1

7.9,

2.4

24.8

14.0,7.2

33.1

7.6,

6.7

47.4

8.5,5.4

54.1

11.3,

3.9

36.9

12.7,4.5

58.8

12.3,

3.5

27.8

9.8,4.5

40.2

8.4,

1.5

13.5

10.1,8.5

56.4

7.1,

4.5

71.6

8.2,6.5

52.8

10.9,

4.1

44.1

11.2,5.5

40.9

9.4};E={[20]1};(或j(1,20))Xbar=t(x)*t(e)/20;A=t(x)*x-20*xbar*t(xbar);s=a/19;mu={4,50,10};T=20*t(xbar-mu)*inv(s)*(xbar-mu);t1=3*19/17*3.2;Mul=xbar-sqrt(t1)*sqrt(vecdiag(s)/20);Muu=xbar+sqrt(t1)*sqrt(vecdiag(s)/20);Mulb=xbar-2.5395*sqrt(vecdiag(s)/20);Muub=xbar+2.5395*sqrt(vecdiag(s)/20);PrintxbarasTt1mulmuumulbmuub;第四十四页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六计划学时：2学时教学课型：理论课教学目的与要求：掌握单个多元正态总体均值分量间结构关系的推断原理与方法教学重点：单个多元正态总体均值分量间结构关系的推断原理与方法教学难点：单个多元正态总体均值分量间结构关系的推断原理与方法教学方法、手段与媒介：根据教材用多媒体课件课堂讲授教学过程与内容：第四十五页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六

§4.3单个总体均值分量间结构关系的检验检验假设检验统计量第四十六页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六第四十七页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六例4.3.1

检验假设第四十八页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六第四十九页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六

例4.3.2

在例4.2.1中，假定人类有这样一个一般规律：身高、胸围、上半臂围的平均尺寸比例为6:4:1.希望检验表4.2.1中的数据是否符合这一规律.解:根据题意要检验第五十页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六第五十一页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六

prociml;x={7860.616.5,7658.112.5,9263.214.5,8159.014.0,8160.815.5,8459.514.0};C={2-30,10-6};E={[6]1};Xbar=t(x)*t(e)/6;A=c*xbar;b=t(x)*x-6*xbar*t(xbar);s=b/5;D=c*s*t(c);F=inv(d);T2=6*t(a)*f*a;PrintaxbarbdfT2;第五十二页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六某地区农村男婴的体格测量数据如下编号身高（cm）胸围（cm）上半臂长（cm）17860.616.527658.112.539263.214.548159.014.058160.815.568459.514.0检验三个指标的均值是否有关系第五十三页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六第五十四页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六proc

iml;s={31.600

8.040

0.500,

8.040

3.172

1.310,

0.500

1.310

1.900};mu={82.00

60.20

14.50};c={2-3

0,

1

0-6};a=c*t(mu);d=c*S*t(c);g=inv(d);T=6#(t(a)*g*a);Printt;T＝47.143第五十五页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六计划学时：2学时教学课型：理论课教学目的与要求：掌握两个多元正态总体均值比较的检验原理与方法教学重点：两个多元正态总体均值比较检验的原理与方法教学难点：两个多元正态总体均值比较检验的原理与方法教学方法、手段与媒介：根据教材用多媒体课件课堂讲授教学过程与内容：第五十六页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六§4.3两个总体均值的比较推断一、两个独立样本的情形希望检验检验统计量第五十七页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六第五十八页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六k较小时,

邦弗伦尼联合置信区间

第五十九页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六

例4.4.1（例4.2.1续）表4.4.1给出了相应于表4.2.1的9名2周岁女婴的数据。我们欲在多元正态性假定下检验2周岁男婴与女婴的均值向量有无显著性差异。解：由例4.2.1得由表4.4.1计算得第六十页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六所以第六十一页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六由4.4.5知第六十二页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六Prociml;x={7860.616.5,7658.112.5,9263.214.5,8159.014.0,8160.815.5,8459.514.0};E={[6]1};Xbar=t(x)*t(e)/6;s1=t(x)*x-6*xbar*t(xbar);

y={8058.14.0,7559.215.0,7860.315.0,7557.413.0,7959.514.0,7858.114.5,7558.012.5,6455.511.0,8059.212.5};Ybar=t(y)*t({[9]1})/9;S2=(t(y)*Y-9*ybar*t(ybar));Sp=(s1+s2)/13;T2=6*9*t(xbar-ybar)*inv(sp)*(xbar-ybar)/(6+9);T0=3*13*3.59/11;Printybars1s2spt2t0;第六十三页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六

编号

身高(cm)

胸围(cm)上半臂围(cm)18058.414.027559.215.037860.315.047557.413.057959.514.067858.114.577558.012.586455.511.098059.212.5表4.4.1某地区农村女婴的体格测量数据第六十四页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六二、成对试验的统计量欲检验方法：化为一样本问题处理第六十五页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六检验规则为第六十六页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六

例

一组学生共5人,采用两种不同的方式进行教学,然后对5个学生进行测验,得如下得分数：学生序号

教学方式AB数学物理数学物理189908285298888083375696170476706766590766365分析不同的教学方式是否有差异。第六十七页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六dataa;inputx1x2y1y2@@;cards;8990828598888083756961707670676690766365;datad;seta;x12=x1-y1;y12=x2-y2;proc

corr

cov;varx12y12;run;proc

iml;s={63.50

21.000,21.00

18.200};mu={15.00,4.800};g=inv(s);r=t(mu)*g*mu;printr;第六十八页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六计划学时：2学时教学课型：理论课教学目的与要求：掌握两个多元正态总体均值分量间结构关系、多总体均值的比较检验原理与方法教学重点：两个多元正态总体均值分量间结构关系、多总体均值的比较的检验原理与方法教学难点：两个多元正态总体均值分量间结构关系、多总体均值的比较的检验原理与方法教学方法、手段与媒介：根据教材用多媒体课件课堂讲授教学过程与内容：第六十九页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六§4.4两个总体均值分量间结构关系的检验检验假设检验统计量第七十页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六第七十一页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六第七十二页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六检验统计量为经计算得第七十三页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六第七十四页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六第七十五页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六表4.5.1甲、乙两种品牌产品的指标值

指标样品12345

甲111181518152332731211732028272319418261818952223221610

均值20.824.422.619.214.0

乙1181720181823124312620314161720174252431261853628242629

均值24.821.824.623.220.4第七十六页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六prociml;x={1118151815,3327312117,2028272319,182618189,2223221610};Y={1817201818,3124312620,1416172017,2524312618,3628242629};z={1,1,1,1,1};r={10000,01000,00100,00010,00001};c={1-1000,01-100,001-10,0001-1};x1=T(x)*z/5;y1=T(y)*z/5;s1=T(x)*(r-z*T(z)/5)*x;s2=T(y)*(r-z*T(z)/5)*y;s=(s1+s2)/8;e1=c*(x1-y1);y0=c*s*T(c);y4=inv(y0);y2=y4*e1;y3=t(e1)*y2;T2=5/2*y3;printse1y0y2y3y4x1y1t2;

第七十七页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六dataa;inputclassx1x2x3x5@@;cards;1111815181513327312117120282723 191182618189122232216 1021817201820214161720 1722524312618236282426 29;run;procanova;classclass;modelx1-x5=class;manovah=classm=(1-1000,10-100,100-10,100-10);run;第七十八页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六

MANOVATestCriteriaandExactFStatisticsfortheHypothesisofNoOverallclassEffectontheVariablesDefinedbytheMMatrixTransformationH=AnovaSSCPMatrixforclassE=ErrorSSCPMatrixS=1M=0.5N=2StatisticValueFValueNumDFDenDFPr>FWilks'Lambda0.188898778.59360.0137Pillai'sTrace0.811101238.59360.0137Hotelling-LawleyTrace4.293840718.59360.0137Roy'sGreatestRoot4.293840718.59360.0137第七十九页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六

例在爱情和婚姻的调查中,对一个由若干名丈夫和妻子组成的样本进行了问卷调查,请他们回答以下几个问题：

(1)你对伴侣的爱情的“热度”感觉如何？

(2)伴侣对你的爱情的“热度”感觉如何？

(3)你对伴侣的爱情的“可结伴”水平感觉如何？

(4)伴侣对你的爱情的“可结伴”水平感觉如何？回答采用没有、很小、有些、很大和非常大

5个等级,得到结果如表.第八十页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六丈夫对妻子妻子对丈夫X1X2X3X4X1X2X3X4235544555544455545554455434445553355445533453344344443544455345545554454443334444455455555445555第八十一页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六

现在我们关心均值分量间的差异是否满足某种结构关系。比如每个指标均值间的差异是否相等。

1、丈夫对妻子以及妻子对丈夫的回答在α＝0.05显著水平上没有差异。

2、在四个指标上他们是否会有相同的分数。即检验四个分数的平均值是否相等。第八十二页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六

检验

在原假设为真的条件下，检验的统计量为：统计量与检验第八十三页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六dataa;inputclassx1x2x3x4@@;cards;1235524455155442455514555244551434424555133552445513345233441344424354144552345514555 24454144332344414455 245551554425555;run;proc

anova;classclass;modelx1-x4=class;manovah=classm=(1-1

0

0,1

0-1

0,1

0

0-1);run;第八十四页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六

MANOVATestCriteriaandExactFStatisticsfortheHypothesisofNoOverallgEffectontheVariablesDefinedbytheMMatrixTransformationH=AnovaSSCPMatrixforgE=ErrorSSCPMatrixS=1M=0.5N=9StatisticValueFValueNumDFDenDFPr>FWilks'Lambda0.831939801.353200.2876Pillai'sTrace0.168060201.353200.2876Hotelling-LawleyTrace0.202010051.353200.2876Roy'sGreatestRoot0.202010051.353200.2876第八十五页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六prociml;sigma1={0.57586206900.3758620690-.1034482759-.1655172414,0.37586206900.5850574713-.0919540230-.1586206897,-.1034482759-.09195402300.43678160920.4137931034,-.1655172414-41379310340.4551724138};mu1={3.90000,3.96667,4.33333,4.40000};sigma2={0.4885057471-.01724137930.04022988510.0229885057,-.01724137930.43793103450.07241379310.1172413793,0.04022988510.07241379310.24022988510.2022988506,0.02298850570.11724137930.20229885060.2574712644};mu2={3.83333,4.10000,4.63333,4.53333};c={1-100,10-10,100-1};mu=(mu1+mu2)/2;a=c*mu;sigma=29#(sigma1+sigma2)/58;t2=60#t(a)*inv(c*sigma*t(c))*a;F=20/(3*22)*t2;printt2f;第八十六页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六第八十七页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六§4.6多个总体均值的比较检验

(多元方差分析)欲检验方法:方差分析检验统计量威尔克斯(Wilks)统计量第八十八页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六第八十九页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六第九十页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六

例4.6.1为了研究销售方式对商品额的影响,选择四种商品(甲、乙、丙、丁)按三种不同的销售方式(I,II,III)进行销,这四种商品的销售额分别为x1,x2,x3,x4,其数据见表4.6.1.问这三种销售方式的平均销售额是否显著不同?(设这三种销售方式的销售额x1,x2,x3,x4

均服从正态分布.)第九十一页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六经计算第九十二页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六第九十三页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六由附录4-3中(4-3.4)可得第九十四页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六查F分布表得从而,在0.01的显著性水平下,拒绝原假设(p=0.004).差异的进一步分析(用一元方差分析).第九十五页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六第九十六页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六第九十七页，共一百五十一页，编辑于2023年，星期六表4.6.1销售额数据

编号

销售方式I

销售方式II

销售方式III

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