函数的奇偶性与周期性

§2.4函数的奇偶性与周期性教材回顾夯实双基基础梳理1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x都有___________,那么函数f(x)是偶函数关于_____对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x都有__________________,那么函数f(x)是奇函数关于_____对称f(－x)＝f(x)y轴f(－x)＝－f(x)原点2.函数的周期性(1)周期的定义一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有______________，则称函数f(x)为周期函数，非零常数T称为函数f(x)的周期．(2)最小正周期对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f(x)的_____________．f(x＋T)＝f(x)最小正周期思考探究1．奇、偶函数的定义域有什么特点？提示：奇、偶函数的定义域在数轴上都关于原点对称．2．存在既是奇函数又是偶函数的函数吗？提示：存在，f(x)＝0(x∈R)．课前热身1．(教材改编)设f(x)＝x3＋2x，g(x)＝2x4＋3x2，则y＝f(x)·g(x)是(

)A．奇函数

B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数答案：A答案：A答案：A4．(2012·高考上海卷)已知y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1.若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝__________.解析：∵y＝f(x)＋x2是奇函数，∴f(－x)＋(－x)2＝－[f(x)＋x2]，∴f(x)＋f(－x)＋2x2＝0.∴f(1)＋f(－1)＋2＝0.∵f(1)＝1，∴f(－1)＝－3.∵g(x)＝f(x)＋2，∴g(－1)＝f(－1)＋2＝－3＋2＝－1.答案：－15．f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，则f(3)＝__________.答案：0考点探究讲练互动考点突破例1【思路分析】

可从定义域入手，在定义域关于原点对称情况下，考查f(－x)与f(x)的关系．(4)易知f(x)的定义域为R.∵f(－x)＝|－x|[(－x)2＋1]＝|x|(x2＋1)＝f(x)，∴f(－x)＝f(x)，即f(x)是偶函数．【误区警示】对于(1)只代入－x而得出偶函数结论，对于(2)易丢掉定义域，对于(3)只判断一部分．考点2函数的周期性函数的周期性是指函数的重复性变化，是对于定义域内的所有自变量x来说的，不是指某几个特定的自变量，若T是它的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是该函数的一个周期．

设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x恒满足f(x＋2)＝－f(x)，(1)求f(0)的值，f(2)的值．(2)证明f(x)是周期函数，并求最小正周期．【思路分析】

(1)x＝0→f(0)→f(2)；(2)f(x＋4)→f(x＋2)→T.例2【解】

(1)∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝－f(0)，∴f(0)＝0.又∵f(x＋2)＝－f(x)，当x＝0时，f(2)＝－f(0)＝0.(2)证明：由f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是最小正周期为4的周期函数．跟踪训练2．(2011·高考陕西卷)设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则y＝f(x)的图象可能是(

)解析：选B.由于f(－x)＝f(x)，所以函数y＝f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，所以A、C错误；由于f(x＋2)＝f(x)，所以T＝2是函数y＝f(x)的一个周期，D错误．所以选B.方法技巧1．奇、偶函数的性质(1)设函数f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们公共定义域上有：当f(x)，g(x)均为奇函数时，f(x)＋g(x)是奇函数，f(x)·g(x)是偶函数；当f(x)，g(x)均为偶函数时，f(x)＋g(x)是偶函数，f(x)·g(x)是偶函数；奇函数的反函数也是奇函数．(2)若f(x)是偶函数⇔f(x)＝f(|x|)；若奇函数f(x)的定义域内含有数0，则必有f(0)＝0.方法感悟(3)若函数f(x)为奇函数，在[a，b]上为增函数，则f(x)在[－b，－a]上为增函数．若函数f(x)为偶函数，在[a，b]上为增函数，则f(x)在[－b，－a]上为减函数．(4)函数奇偶性的判定方法①利用定义f(x)是奇函数⇔f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x