多项式插值唯一性

多项式插值唯一性第一页，共十八页，编辑于2023年，星期五

若插值结点

x0,x1,…,xn

是(n+1)个互异点,则满足插值条件P(xk)=yk(k=0,1,···,n)的n次插值多项式

P(x)=a0+a1x+……+anxn存在而且惟一。多项式插值的存在唯一性定理Laglarge插值公式插值基(k=0,1,2,······,n)2/18第二页，共十八页，编辑于2023年，星期五插值误差余项其中,线性插值误差:二次插值误差:思考:构造线性插值函数计算115的平方根近似值，估计近似值的误差并指出有效数位数。

3/18第三页，共十八页，编辑于2023年，星期五已知

x0,x1,···,xn

处的值

f(x0),f(x1),···,f(xn).(j=0,1,…,n-1)

(j=0,1,…,n-2

)

均差的定义牛顿插值公式(k=1,2,···,n)思考:证明一阶差商的对称性：f[x0，x1]=f[x1，x0]，进一步证明二阶差商的对称性。

4/18第四页，共十八页，编辑于2023年，星期五牛顿插值余项(j=0,1)三次Hermite插值5/18第五页，共十八页，编辑于2023年，星期五给定[a,b]的分划:a=x0<x1<…<xn=b.已知f(xj)=yj(j=0,1,···,n),如果满足:(1)S(x)在[xj，xj+1]上为三次多项式;(2)S”(x)在区间[a，b]上连续;(3)S(xj)=yj

(j=0,1,···,n).则称S(x)为三次样条插值函数.三次样条的定义6/18第六页，共十八页，编辑于2023年，星期五(j=1,2,······,n-1)自然边界条件三次样条一阶导数值:S’(xj)=mj

(j=0,1,···,n)三次样条二阶导数值:S”(xj)=Mj

(j=0,1,···,n)

j=1,···,n–1

自然边界条件:M0=0,Mn=07/18第七页，共十八页，编辑于2023年，星期五拟合函数:

(x)=a00(x)

+a11(x)

+······+an

n(x)数据拟合的线性模型离散数据

x

x1

x2··········xmf(x)

y1

y2··········ym超定方程组超定方程组最小二乘解:8/18第八页，共十八页，编辑于2023年，星期五对连续函数

f(x)的正交多项式平方逼近其中Ex1.设x0，x1，……，xn

是互异的插值结点，l0(x)为对应于x0的拉格朗日插值基函数，试证明9/18第九页，共十八页，编辑于2023年，星期五Ex2.设x0,x1,x2,…,xn为互异的结点,求证

Lagrange插值基函数满足下列恒等式(1)(2)(k=1,···,n)证:(1)令

在插值结点处

Pn(xj)=0(j=0,1,2,···,n)n次多项式

Pn(x)有n+1个相异零点Pn(x)=010/18第十页，共十八页，编辑于2023年，星期五所以将

f(x)=xk(k≤n)代入,得(k=0,1,2,······,n)思考题:f(x)是(n+1)次多项式且最高次项系数为1，取互异的插值结点x0，x1，……，xn，构造插值多项式Pn(x)，证明：f(x)=Pn(x)+(x–x0)(x–x1)……(x–xn)(2)取

f(x)=xk

f(n+1)(x)=0Rn(x)=011/18第十一页，共十八页，编辑于2023年，星期五Ex4.设

x0<x1<x2，从函数表

xx0

x1

x2f(x)y0

y1

y2出发,利用

f(x)的二次拉格朗日插值多项式

L2(x)推导出求f(x)的极值点

x*

的近似值计算公式.Ex3.设

P(x)是不超过

n次的多项式,而n+1(x)=(x–x0)(x–x1)······(x–xn)证明存在常数Ak(k=0，1，…，n)使得

12/18第十二页，共十八页，编辑于2023年，星期五Ex5.设有数列:x1,x2,···,xn,······

(1).证明平方和数列

为3阶等差数列

证明:(1)

Sn=n2,2Sn=n2－(n-1)2=2n-13Sn=(2n-1)-(2n-3)=2故平方和数列为3阶等差数列.(2).证明则(2)令

g(n)=n(n+1)(2n+1)/613/18第十三页，共十八页，编辑于2023年，星期五同理(k=1,2,···,n)显然14/18第十四页，共十八页，编辑于2023年，星期五证明:F[x0,x1,······,xn]=Ex6.记n+1(x)=(x–x0)(x–x1)······(x–xn)(j=1,2,···,n)对比Lagrange插值和Newton插值中

xn

的系数,得

F[x0,x1,······,xn]=15/18第十五页，共十八页，编辑于2023年，星期五Ex7.

2次埃尔米特插值的适定性问题,给定插值条件：f(x0)=y0，f’(x1)=m1，f(x2)=y2，插值结点应满足什么条件能使插值问题有唯一解。

思考:构造带导数条件的二次插值多项式公式

f(0)=y0，f(1)=y1，f’(0)=m0；16/18解:设H(x)=a0+a1x+a2x2,H’(x)=a1+2a2x第十六页，共十八页，编辑于2023年，星期五Ex8.如果

x∈[a,b],t∈[-1,1],(1)证明联系两个区间的映射为(2)对于t∈[-1,1]上的二次正交多项式将其转换为x∈[a,b]上的二次正交多项式17/18第十七页，共十八页，编辑于2023年，星期五Ex9.一个量

x被测量了n次,其结果是a1,a2,···,an.用最小