【课件】事件的关系和运算+课件高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

1.随机试验2.样本空间、样本点复习回顾Ω={ω1，ω2，…，ωn}写随机试验的样本空间时看，要按照一定的顺序，特别注意题目的关键字，如“先后”“依次”“放回”“不放回”等．可重复性、可预知性、随机性样本空间：全体样本点的集合，用Ω表示.

样本点：随机试验E的每个可能的基本结果，用ω表示.3.随机事件有关概念：基本事件:只包含一个样本点的事件.事件A发生：当且仅当A中某个样本点出现.必然事件：在每次试验中总有一个样本点发生.Ω为必然事件.不可能事件：在每次试验中都不会发生.∅为不可能事件.随机事件(简称事件)：样本空间Ω的子集.复习回顾引例在掷骰子试验中，观察骰子朝上面的点数，可以定义许多随机事件，例如:Ci=“点数为i”，i=1，2，3，4，5，6；D1=“点数不大于3”；D2=“点数大于3”；E1=“点数为1或2”；E2=“点数为2或3”；F=“点数为偶数”；G=“点数为奇数”;……你还能写出这个试验中其他一些事件吗？请用集合的形式表示这些事件.借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗?新课引入思考1

用集合的形式表示事件C1=“点数为1”和事件G=“点数为奇数”，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？事件G包含事件C1.C1={1}，G={1，3，5}集合表示如果事件C1发生，那么事件G一定发生.

一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，我们就称事件B包含事件A（或事件A包含于事件B），记作ABΩ特别地，如果事件B包含事件A，事件A也包含B，即则称事件A与事件B相等，记作A=B.1.包含关系事件关系D1={1,2,3}，E1={1,2}和E2={2,3}集合表示事件E1和事件E2至少有一个发生，相当于事件D1发生.称事件D1为事件E1和事件E2的并事件.思考2用集合的形式表示事件D1=“点数不大于3”、事件E1=“点数为1或2”和事件E2=“点数为2或3”，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？

一般地，若事件A和事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们就称这个事件为事件A与事件B的并事件（或和事件），记作（如下图10.1-5所示：绿色区域和黄色区域表示这个并事件）ABΩ2.并事件（和事件）事件关系C2={2}，E1={1,2}和E2={2,3}用集合表示就是事件E1和事件E2同时发生，相当于事件C2发生.这时我们称事件C2为事件E1和事件E2的交事件.思考3用集合的形式表示事件C2=“点数为2”，事件E1=“点数为1或2”和事件E2=“点数为2或3”借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件C2与之间的联系吗？

一般地，若事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们就称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件（或积事件），记作（如下图10.1-6所示的蓝色区域）ABΩ3.交事件（积事件）事件关系C3={3}，C4={4}用集合表示：事件C3与事件C4不可能同时发生.称事件C3与事件C4互斥.思考4

用集合的形式表示事件C3=“点数为3”和事件C4=“点数为4”，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？

一般地，若事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B=Φ，我们就称事件A与事件B互斥（或互不相容）.（如下图10.1-7所示）ABΩ4.互斥事件事件关系思考5

用集合的形式表示事件F=“点数为偶数”和事件G=“点数为奇数”，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？F={2，4，6}，G={1，3，5}用集合表示为{2，4，6}∪{1，3，5}={1，2，3，4，5，6}，即F∪G=Ω，且{2，4，6}∩{1，3，5}=Φ，即F∩G=Φ在任何一次试验中，事件F与事件G两者只能发生其中之一，而且也必然发生其中之一.我们称事件F与事件G互为对立事件.事件D1与D2也有这种关系.D1=“点数不大于3”；D2=“点数大于3”；

一般地，若事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B=Ω，且A∩B=Φ，我们就称事件A与事件B互为对立.事件A的对立事件记作.（如下图10.1-8所示）AΩ5.对立事件事件关系综上所述，事件的关系或运算的含义，以及相应的符号表示如下：事件的关系或运算含义符号表示包含A发生导致B发生A⊆B并事件(和事件)A与B至少一个发生AUB或A+B交事件(积事件)A与B同时发生A∩B或AB互斥(互不相容)A与B不能同时发生A∩B=Φ互为对立A与B有且仅有一个发生A∩B=Φ,AUB=Ω【归纳小结】类似地，我们可以定义多个事件的和事件以及积事件.

例如，对于三个事件A，B，C：A∩B∩C（或ABC）发生当且仅当A,B,C同时发生，等等.例题1把红、蓝、黑、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是()A.对立事件

B.互斥但不对立事件C.不可能事件

D.以上都不对B例题巩固例题2

一个人打靶时连续射击两次,事件“至少有一次中靶”的互为对立事件是()A.至多有一次中靶B.两次都中靶C.只有一次中靶D.两次都不中靶D例题3某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛．判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判别它们是不是对立事件．(1)恰有一名男生与恰有2名男生；(2)至少有1名男生与全是男生；(3)至少有1名男生与全是女生；(4)至少有1名男生与至少有1名女生．(4)不互斥.(3)互斥且对立；(1)互斥不对立；(2)不互斥；①互斥事件可以是两个或两个以上事件的关系，而对立事件只针对两个事件而言.②从定义上看，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，也就是不可能同时发生；而对立事件除了要求这两个事件不同时发生外，还要求这二者之间必须要有一个发生.互斥事件与对立事件的区别：因此，对立事件是互斥事件，是互斥事件的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件.例题4如图,由甲、乙两个元件组成一个并联电路,每个元件可能正常或失效.设事件A=“甲元件正常”，B=“乙元件正常”.(1)写出表示两个元件工作状态的样本空间；(2)用集合的形式表示事件A，B以及它们的对立事件；(3)用集合的形式表示事件A∪B和事件

，并说明它们的含义及关系.乙甲解：(1)用x1,x2分别表示甲、乙两个元件的状态，则可以用(x1,x2)表示这个并联电路的状态.以1表示元件正常，0表示元件失效，则样本空间Ω={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}.A∪B表示电路工作正常，表示电路工作不正常；A∪B和互为对立事件.（2）根据题意，可得例题5

一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球(标号为1和2)，2个绿色球(标号为3和4)，从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件R1=“第一次摸到红球”，R2=“第二次摸到红球”，R=“两次都摸到红球”，G=“两次都摸到绿球”，M=“两个球颜色相同”，N=“两个球颜色不同”.(1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；(2)事件R与R1，R与G，M与N之间各有什么关系？(3)事件R与事件G的并事件与事件M有什么关系？事件R1与事件R2的交事件与事件R有什么关系？解：(1)所有的试验结果如图所示.用数组（x1,x2）表示可能的结果，x1是第一次摸到的球的标号，x2是第二次摸到的球的标号，则试验的样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),（3,2),(3,4),（4,1),(4,2),(4,3)}例题5

一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球(标号为1和2)，2个绿色球(标号为3和4)，从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件R1=“第一次摸到红球”，R2=“第二次摸到红球”，R=“两次都摸到红球”，G=“两次都摸到绿球”，M=“两个球颜色相同”，N=“两个球颜色不同”.(1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；(2)事件R与R1，R与G，M与N之间各有什么关系？(3)事件R与事件G的并事件与事件M有什么关系？事件R1与事件R2的交事件与事件R有什么关系？(2)因为R⊆R1,所以R1包含事件R；因为R∩G=Φ,所以事件R与事件G互斥；因为RUG=Ω,M∩N=Φ，所以事件M与事件N互为对立事件.(3)因为RUG=M，所以事件M是事件R与事件G的并事件.因为R1∩R2=R，所以事件R是事件R1与事件R2的交事件.事件的关系或运算含义符号表示包含A发生导致B发生A⊆B并事件(和事件)A与B至少一个发生AUB或A+B交事件(积事件)A与B同时发生A∩B或AB互斥(互不相容)A与B不能同时发生A∩B=Φ互为对立A与B有且仅有一个发生A∩B=Φ,AUB=Ω1.事件的关系与运算2.互斥事件与对立事件联系与区别(1)互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件是其中必有一个要发生的互斥事件.因此，对立事件是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件.(2)对立事件是对两个事件而言的，而互斥事件是对两个或两个以上事件而言的.课堂小结1．从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是 (

)A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”D．“至少有一个黑球”与“都是红球”巩固练习A中的两个事件能同时发生，故不互斥；同样，B中两个事件也可以同时发生，故不互斥；D中两个事件是对立的，2.一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品．从这批产品中任意抽取5件，现给出以下四个事件：事件A：“恰有一件次品”；事件B：“至少有两件次品”；事件C：“至少有一件次品”；事件D：“至多有一件次品”．并给出以下结论：①A∪B＝C；②D∪B是必然事件；③A∪B＝B；④A∪D＝C.其中正确的序号是 (

)A．①②B．③④C．①④D．②③A∪B表示的事件：至少有一件次品，即事件C，所以①正确，D∪B表示的事件：至少有两件次品或至多有一件次品，包括了所有情况，所以②正确；3.事件“某人从装有5个黑球，5个白球的袋中任取5个小球，其中至少4个是黑球”的对立事件是________．解析：事件“某人从装有5个黑球，5个白球的袋中任取5个小球，其中至少4个是黑球”的对立事件是“某人从装有5个黑球，5个白球的袋中任取5个小球，其中至多3个是黑球”．4.从一批产品中取出三件产品，设A＝{三件产品全不是次品}，B＝{三件产品全是次品}，C＝{三件产品不全是次品}，则下列结论正确的序号有________.①A与B互斥；②B与C互斥；③A与C互斥；④A与B对立；⑤B与C对立.①②⑤5.A.必然事件

B.不可能事件C.A与B恰有一个发生

D.A与B不同时发生