2022年全国大学生数学建模国家一等奖4000字小

2022年全国大学生数学建模国家一等奖4000字小篇一：2022年全国大学生数学建模比赛A题一等奖论文

太阳影子定位问题

摘要

目前，如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是计算机视觉的热点研究问题，是视频数据分析的重要方面，有重要的研究意义。本文通过建立数学模型，给出了通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的方法。

对于问题一，建立空间三维直角坐标系和球面坐标系对直杆投影和地球进展数学抽象，引入地方时、北京时间、太阳赤纬、杆长、太阳高度角等五个参数，建立了太阳光下物体影子的长度变化综合模型。求解过程中，利用问题所给的数据，得到太阳赤纬等变量，将太阳赤纬等参量代入模型，求得了北京地区的9:00至15:00的影子长度变化曲线，当12：09时，影子长度最短；并分析出影长随这些参数的变化规律，利用控制变量法思想，总结了五个参数与影子长度的关系。最后进展模型检验，将该模型运用于东京、--两地，得到了这两座城市的影长变化规律曲线，发现变化规律符合实际两地实际情况。

对于问题二，为了消除不同直角坐标系带来的影响，将实际坐标转换为二次曲线的极坐标，建立了极坐标下基于多层优化搜索算法的空间匹配优化模型。求解时，先将未知点的直角坐标系的点转换为极坐标，然后设计了多层优化搜索算法，通过屡次不同精度的搜索，最后得出实际观测点的经纬度为东经E115对于问题三，将极坐标转换后的根本模型转换为优化模型，建立了基于遗传算法的时空匹配优化模型。将目的函数作为个体的适应度函数，将经度纬度及日期作为待求解变量，用遗传算法进展求解，得到可能的经度纬度及其日期：北纬20度，东经114度，5月21日；北纬20度，东经114度，7月24日；东经94.5度，北纬33.8度，6月19日。最后，将遗传算法与多层优化搜索算法进展比照分析，得出遗传算法的求解效率和求解精度均优于多层次搜索算法。

对于问题四，首先将视频材料以1min为间隔进展采样得到41帧〔静态图片〕，将这些静止图片先利用matlab进展处理，后进展阀值归一化处理，得到这些帧的灰度值矩阵。在图片上建立参考模型，获得影子端点的参考位置。利用投影系统和模型二，建立了基于图形处理的视频拍摄地点搜索模型。利用模型二中多层搜索算法，求得满足精度的最优地点。最优的地点是：东经119,北纬48.7，在内蒙古的呼伦贝尔市。同时假设日期是未知量，将模型四与模型三相结合，得到了可能的地点和时间，并分析了可能出现误差的原因，最后答复了当视频日期未知，也可以确定其位置和日期。

最后，给出了模型的优缺点和改进方案。

关键词：极坐标化，多层优化搜索算法，遗传算法，图像处理，MATLAB

1.问题重述

1.1问题背景

随着现代科技的开展，日常生活中摄像机的应用越来越普遍。无论是个人家庭还是组织单位，都通过摄像机来录制各种视频以分享信息，例如实时视频监控、记录自然景观、观测气象信息等。而通过视频来确定拍摄地点的地理位置信息是目前计算机视觉领域的热点研究问题之一。一个视频的地理位置可以提供当地气候、平均温度、平均降雨量、植物索引、地表概况、海拔高度和人口密度等大量背景信息【1】。因此从视频中确定地理位置是一项有很大潜力应用空间的技术。

1.2问题描绘

视频数据分析是视频处理过程中的重要环节，而如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面。太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。

试建立数学模型讨论以下问题：

1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用所建立的模型画出2022年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。

2.根据某固定直杆在程度地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。将模型应用于附件1的影子顶点坐标数据，给出假设干个可能的地点。

3.根据某固定直杆在程度地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。将模型分别应用于附件2和附件3的影子顶点坐标数据，给出假设干个可能的地点与日期。

4．附件4为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出直杆的高度为2米。请建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用此模型给出假设干个可能的拍摄地点。假如拍摄日期未知，能否根据视频确定出拍摄地点与日期？

2.问题分析

2.1问题一分析

问题一要求分析投影长度随各参数的变化规律，建立影子长度变化的数学模型。首先对直杆建立空间三维坐标系，将地球简化成规那么球体建立球面坐标系。在这两个坐标系中，通过几何证明，运用向量知识可分析出影响影子长度的各种参数，得出地球上某日白天某时刻影子顶端在地平面上的详细位置，由此可以给出影子长度的变化规律。

2.2问题二分析

问题二要求根据某固定直杆在程度地面上的太阳影子顶点坐标数据及日期数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。与第一问有相似之处，但分析附件所给数据，发现附

件中只给出x、y坐标值，而并没有给出xy轴的准确方向，所以考虑将直角坐标转换成极坐标，来消除由于不同坐标系选取所造成的影响。

2.3问题三分析

问题三与问题二有相似处，区别是第三问附件没有提供日期，需要根据直杆影子端点坐标确定直杆所在地点的经纬度和日期。详细的日期可以由太阳直射点纬度来确定，而根据问题二中的模型，xy坐标与太阳直射点纬度有关。假如继续用第二问的模型来求解，需要不断改变太阳直射点纬度来拟合极坐标方程，这样做算法复杂度会很大。所以考虑对问题二模型进展修改，不采用拟合，而直接建立与待求点经纬度以及日期有关的目的函数，通过约束经纬度范围来缩小待求点的可行域，从而简化算法复杂度。

2.4问题四分析

问题四中，直接以视频的方式给出了固定杆长的间隔变化规律。将图片形式的影长变化规律以坐标的形式进展转换，转换为现实的坐标形式。这样就可以利用问题二的模型，整合现有的算法，求出拍摄地点。

3.模型假设与符号系统

3.1模型的假设

〔1〕假设地球为一个规那么的球体。

〔2〕由于日地间隔远大于地球半径，所以假设太阳光线为平行光。

〔3〕假设地球上某地的程度地面是地球球面上过该地的切面。

〔4〕假设不考虑太阳光线穿过大气层时所发生的折射。

〔5〕假设一天中太阳直射点的纬度不变。

〔6〕假设不考虑太阳的视面角、高山阻挡、海拔高度等因素的影响。

〔7〕假设不考虑阴天没有阳光的情况。

3.2符号系统

问题一符号系统

符号意义单位

直杆所在地纬度值度A、B两地经度差度直杆长度米h

直杆影长米Lt地方时时

t0北京时间时

E直杆所在地的经度

问题二、三符号系统

意义

直杆所在地纬度值

太阳直射点的纬度

附件1中第一组坐标的y值

极径

直杆长度

极角

问题四符号系统

意义

固定杆长度

实际长度与灰度值坐标下的转换比例

投影系统度符号4.问题一的建模与求解

4.1问题分析

在问题一中，为了描绘直杆影子长度变化的动态过程，首先以直杆为z轴，建立空间三维坐标对直杆影子的变化进展数学抽象。再将地球作为规那么球体建立球面坐标系，利用空间解析几何与平面解析几何的知识，对两个坐标系中的相关向量与角度进展分析，分析出影响影子长度的参数，得到影子端点在坐标系中的位置表达式。由此可以求出影子长度随各个参数的变化规律。

建模流程图如下所示：

图4.1问题一建模流程图

4.2模型准备

为了建模的方便，先给出一些地理名词的解释和一些数据的预处理方法。

4.2.1名词解释【6】

地方时：以一个地方太阳升到最高的地方时间为正午12时，将连续两个正午12时之间等分为24个小时，所成的时间系统。它是观测者所在的子午线的时间。

北京时间：是中国采用北京时区的区时作为标所在的东八准时间。北京时间并不是太阳赤纬：是地球赤道平面与太阳和地球中心的连线之间的夹角。

太阳直射点：地球外表太阳光射入角度(即太阳高度角)为90度的地点，它是地心与日心连线和地球球面的交点。

太阳高度角：对于地球上的某个地点，太阳高度角是指太阳光的入射方向和地平面之间的夹角；专业上讲是指某地太阳光线与通过该地与地心相连的地表切线的夹角。

4.2.2数据预处理

〔1〕经纬度转换

在问题一中，天安门广场的坐标是用经纬度〔度分秒〕的形式给出的。为了下面建模求解的方便，将其统一转换成以“度〞为单位。

换算方法为：分位数除以60，秒位数除以3600。

所以，天安门广场的纬度可以转换为：

39经度可以转换为：

116〔2〕北京时间与地方时的转换[9]

篇二：2022年数学建模国家一等奖优秀论文

承诺书

我们仔细阅读了?全国大学生数学建模竞赛章程?和?全国大学生数学建模竞赛参赛规那么?〔以下简称为“竞赛章程和参赛规那么〞，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载〕。

我们完全明白，在竞赛开场后参赛队员不能以任何方式〔包括、电子邮件、网上咨询等〕与队外的任何人〔包括指导老师〕研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违背竞赛章程和参赛规那么的，假如引用别人的成果或其他公开的资料〔包括网上查到的资料〕，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用途和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规那么，以保证竞赛的公正、公平性。如有违背竞赛章程和参赛规那么的行为，我们将受到严肃处理。

我们受权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进展公开展示〔包括进展网上公示，在书籍、和其他媒体进展正式或非正式发表等〕。

我们参赛选择的题号是〔从A/B/C/D中选择一项填写〕：B我们的报名参赛队号为〔8位数字组成的编号〕：所属学校〔请填写完好的全名〕：参赛队员(打印并签名)：1.指导老师或指导老师组负责人(打印并签名)：

〔论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容

请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。〕

日期：2022年9月15日赛区评阅编号〔由赛区组委会评阅前进展编号〕：

编号专用页

赛区评阅编号〔由赛区组委会评阅前进展编号〕：

全国统一编号〔由赛区组委会送交全国前编号〕：

全国评阅编号〔由全国组委会评阅前进展编号〕：

创意平板折叠桌

摘要

目前住宅空间的紧张导致越来越多的折叠家具的出现。某公司设计制作了一款折叠桌以满足市场需要。以此折叠桌为背景提出了三个问题，本文运用几何知识、非线性约束优化模型等方法成功解决了这三个问题，得到了折叠桌动态过程的描绘方程以及在给定条件下怎样选择最优设计加工参数，并针对任意形状的桌面边缘线等给出了我们的设计。

针对问题一，根据木板尺寸、木条宽度，首先确定木条根数为19根，接着，根据桌子是前后左右对称的构造，我们只以桌子的四分之一为研究对象，运用空间几何的相关知识关系，推导并建立了几何模型。接着用MATLAB软件编程，绘制出折叠桌动态变化过程图。然后求出折叠桌各木条相对桌面的角度、各木条长度、各木条的开槽长度等数据，相关结果见表1。然后建立相应的三维坐标系，求出桌角各端点坐标，绘出桌角边缘线曲线图，并用MATLAB工具箱作拟合，求出桌角边缘线的函数关系式，并对拟合效果做分析〔见表3〕。

针对问题二，在折叠桌高度、桌面直径情况下，综合考虑桌子稳固性、加工方便、用材最少三个方面因素，我们运用材料力学等相关知识，对折叠桌作受力分析，确定稳固性、加工方便、用材最少三个方面因素间的互相制约关系，建立非线性优化模型。用lingo软件编程，求出对于高70cm，桌面直径80cm的折叠桌，平板尺寸172.24cm×80cm×3cm、钢筋位置在桌腿上间隔铰链46.13cm处、各木条的开槽长度〔见表3〕、最长木条〔桌脚〕与程度面夹角71.934°。

针对问题三，对任意给出的桌面边缘线〔f(x))，不妨假定曲线是对称的〔否那么，桌子的稳定性难以保证〕，将对称轴上n等份，按照等份点沿着木板较长方向平行的方向下料，那么这些点即是铰接处到木板中垂线〔相对于木板长方向〕的间隔。然后修改问题二建立的优化模型，用lingo软件编程，得到最优设计加工参数〔平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等〕。最后，我们根据所建立的模型，设计了一个桌面边缘线为椭圆的折叠桌，并且给出了8个动态变化过程图〔见图10〕和其详细设计加工参数〔见表5〕。

最后，对所建立的模型和求解方法的优缺点给出了客观的评价，并指出了改进的方法。

关键字：折叠桌曲线拟合非线性优化模型受力分析

一、问题重述

1.1引言

创意平板折叠桌注重于表达木制品的优雅和设计师所想要强调的自动化与功能性。为了增大有效使用面积。设计师以长方形木板的宽为直径截取了一个圆形作为桌面，又将木板剩余的面积切割成了假设干个长短不一的木条，每根木条的长度为平板宽到圆上一点的间隔，分别用两根钢筋贯穿两侧的木条，使用者只需提起木板的两侧，便可以在重力的作用下到达自动升起的效果，互相对称的木条宛如下垂的桌布，精细的制作工艺配以质朴的木材，让这件工艺品看起来就像是工业革命时期的机器。

1.2问题的提出

围绕创意平板折叠桌的动态变化过程、设计加工参数，本文依次提出如下问题：

〔1〕给定长方形平板尺寸〔120cm×50cm×3cm〕，每根木条宽度〔2.5cm〕，连接桌腿木条的钢筋的位置，折叠后桌子的高度〔53cm〕。要求建立模型描绘此折叠桌的动态变化过程，并在此根底上给出此折叠桌的设计加工参数和桌脚边缘线的数学描绘。

〔2〕折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数，例如，平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。对于桌高70cm，桌面直径80cm的情形，确定最优设计加工参数。

〔3〕给出软件设计的数学模型，可以根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和实在可行的最优设计加工参数，使得消费的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状，并根据所建立的模型给出几个设计的创意平板折叠桌。要求给出相应的设计加工参数，画出至少8张动态变化过程的示意图。

一、模型假设

(1)忽略实际加工误差对设计的影响；

(2)木条与圆桌面之间的交接处缝隙较小，可忽略；(3)钢筋强度足够大，不弯曲；(4)假设地面平整。

三、符号说明

符号

意义

D木条宽度〔cm〕

缝宽木板长度〔cm〕木板宽度〔cm〕第n根木条木条根数

木板从外起第1个木条的长度(cm)木板从外起第n个木条的长度(cm)

桌子高度〔cm〕桌子半径〔cm〕桌子直径〔cm〕桌子厚度(cm)

第n根木条到木板边沿的间隔(cm)第n根木条顶点位置到圆面轴线径向间隔(cm)

第n根木条与程度面的夹角(度)第n根木条开槽长度〔cm〕

四、问题分析

4.1问题一分析

题目要求建立模型描绘折叠桌的动态变化图，由于在折叠时用力大小的不同，我们不能描绘在某一时刻折叠桌的详细形态，但我们可以用每根木条的角度变化来描绘折叠桌的动态变化。首先，我们知道折叠桌前后左右对称，我们可以运用几何知识求出四分之一木条的角度变化。最后，根据初始时刻和最终形态两种状态求出桌腿木条开槽的长度。

篇三：全国大学生数学建模竞赛国家一等奖论文1

股市中的成交量

摘要

目前，中国有几千万股民基民，随着中国经济的持续高速开展，证券投资收益已越来越成为普通百姓财富增长的重要组成部分。针对题目中的三项问题，运用系统建模及MATLAB、SPSS软件进展分析求解。

问题(1)中，首先以所给数据中上证指数的开盘价作为研究对象，根据从1990年12月19日开场到2022年12月31日的开盘价与成交量来描绘指数与成交量的长期关联程度，运用SPSS进展关联分析得到Pearson(皮尔逊)关联络数为0.712。证明指数与成交量之间是显著线性相关的。随机抽取2022年和2022年的开盘价与成交量来描绘指数与成交量的短期关联程度，运用SPSS对数据进展分析处理得到Pearson(皮尔逊)关联络数分别为0.311(2022)和0.291(2022)。

问题(2)中，首先根据生存分析的方法对上证指数与成交量之间的关系进展分析，确定使用位置尺度模型来建立指数与成交量之间的上涨阶段和下跌阶段的数学模型。为了可以对股指在长时间内进展统计比较，我们采用相对收益率替代股指涨跌点数，使用MATLAB软件编程分析相对收益率与不同的成交量之间的关系得到，成交量大的生存函数曲线较平坦，表示股指涨得较高，而成交量小的生存函数曲线较徒，表示股指相对上涨得较小。

问题(3)中，根据得到的指数与成交量的模型得到成交量与股指存在着线性关系。当股价上涨,伴随着成交量的稳步放大;当股价下跌,伴随着成交量的逐渐缩小。股价的上涨和下跌是由成交量推动着,成为其涨跌的内在力量。关键词：上证指数；成交量；生存分析；相对收益率；位置尺度模型

一、问题重述

目前，中国有几千万股民基民，随着中国经济的持续高速开展，证券投资收益已越来越成为普通百姓财富增长的重要组成部分。有经济学家曾形容中国股市是个大赌场，受大资金照顾的个股上窜下跳，普通投资者只好踫运气。然而，现实世界是不存在真正意义的混沌现象，任何貌似混沌的现象其背后都有一定的统计规律，否那么各种科学技术毫无存在意义。大盘指数是反映许多股票交易的综合指标，相对而言被某些大资金完全控制的可能性非常小。“建仓—拉高—出货〞是我国过去、如今和将来〔至少不会太短时间内〕大资金动作个股的不二形式，跟随大势做个股是主力资金最理想的运作形式，这当然也是普通投资者的最正确操作策略。由于实体经济具有一定的周期性，那么建立在此根底上的证券市场呈现波浪运动在所难免，更何况还要受到政策面和其他市场的影响。没有只涨不跌的股市，也没有只跌不涨的股市。一般地，当股市经过较长时间和较大幅度下跌后，绝大部分投资者悲观绝望，交易低迷，股价超低，但也有人试探进场，随着抛盘衰竭，底部形成；市场投资信心的进一步恢复，资金蜂涌，成交量激剧放大，股票大涨；当广阔投资者对将来充满期望的时候，最最理性的投资高手〔如07年巴菲特清仓中国石油H股〕开场撤退，增量资金衰竭，顶部形成；越来越多投资者对将来开场迷忙，降低了买卖冲动，股指持续大幅下跌；当绝大部分投资完全悲观绝望时，新一轮底部悄然而至。“上证指数〞全称“上海证券交易所综合股价指数〞，是一个以报告期发行股数为权数的加权综合股价指数，是国内外普遍采用的反映上海股市总体走势的统计指标。上证指数以"点"为单位，基日定为1990年12月19日，基日指数定为100点。观察股票交易软件中各种指数的K线图，成交量变化和指数涨跌无一不明显呈现出一定的同步现象。结合上证指数数据，我们可以建立有关指数与成交量的数学模型，进展定量分析。要求：

〔1〕给出指数与成交量长期和短期〔波段〕关联程度的描绘；

〔2〕分别设计出每一上涨波段、下跌波段的指数关于成交量的〔近似〕数学模型，并用所给数据〔2000-2022年上证指数数据〕进展实证分析；

〔3〕给广阔股民写一篇约500字短文，讲述成交量对指数的影响。

二、问题分析

1.问题1

根据给出的1990年12月19日到2022年12月31日上证指数的日开盘价作为研究对象。分析指数与成交量长期与短期的关联程度。抽取整个样本来分析指数与成交量的长期的关联程度。在分析指数与成交量短期的关联程度时，随机抽取样本数据，如2022年和2022年的样本数据。使用SPSS软件对抽取到的样本数据中的日开盘价与日成交量进展相关分析，得到指数与成交量的长期与短期的关联程度。2.问题2

股市的指数的连续上涨或下跌可以看成是一种特殊的生存过程。本文将生存分析的方法引入对股市的分析。当股指连续上涨到头转为下跌时，可以视作上涨的“死亡〞；同样当股指连续下跌到头转为上涨时，可视作下跌的“死亡〞，股指就是在这两种状态下不停地进展着“生〞、“死〞互相转化的。股指连续涨跌

的点数可以看作是连续的生存模型。根据股市政策的不同，我们研究了2000年到2022年的上证指数数据。采用相对收益率代替股指的涨跌点数建立股指与成交量的生存模型来研究股指与成交量的关系。3.问题3

根据建立的数学模型得到的成交量与指数的关系，得出成交量与指数之间存在着线性关系。成交量的大小反映着股指的涨跌状况。股民们在选择股票的时候可以将成交量这个因素考虑在内。但是也不能完全依靠成交量来选择购置哪只股票。

三、模型假设

1.假设所找到的数据真实可靠。

2.假设可以用上证指数的开盘数据来代替股指研究指数与成交量的长期、短期

的关联程度。

3.假设用上证指数的收