第05讲等式性质与不等式性质（7大考点）（解析版）

第05讲等式性质与不等式性质（7大考点）考点考点考向1．等式的性质2.不等式的基本性质(1)对称性：a＞b⇔b＜a.(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c.(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c.(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc.(5)加法法则：a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d.(6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd.(7)乘方法则：a＞b＞0⇒an＞bn＞0(n∈N，n≥2)．技巧技巧方法在高考中，不等式性质的判断题常有出现，一般我们判断此类问题主要采用两种方法：1.按照性质进行判断，此种方法要求我们对不等式性质有一个全面熟练的掌握。2.采用赋值法/特殊值法进行判断，此种方法对于证明假命题非常适用；比较两式大小的常见方法：作差法、作商法作差法：作差是两式比较大小的常用方法，基本步骤如下：第一步：作差；第二步：变形，常采用配方，因式分解等恒等变形手段；第三步：定号，重点是能确定是大于0，还是等于0，还是小于0．最后得结论．概括为“三步，—结论”，这里的“变形”一步最为关键．注1：有的问题直接作差不容易判断其符号，这时可根据两式的特点考虑先变形，到比较易于判断符号时，再作差，予以比较；注2：含参不等式的大小判断要注意符号问题，具体根据不等式性质判断．注意分类合理恰当．作商法：注：在两式无法确定正负号或是否可能为0的情况下无法适用.作商法的基本步骤是：①求商，②变形，③与1比大小从而确定两个数的大小.考点精讲考点精讲考点一：用不等式表示不等关系一、单选题1．（2022·江苏·高一）铁路乘车行李规定如下：乘动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过Mcm.设携带品外部尺寸长、宽、高分别为a、b、c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（

）A．a+b+c≤M B．a+b+c>M C．a+b+c≥M D．a+b+c<M【答案】A【分析】根据长、宽、高的和不超过Mcm可直接得到关系式.【详解】长、宽、高之和不超过Mcm，.故选：A.2．（2021·贵州毕节·高一阶段练习）某学生月考数学成绩x不低于100分，英语成绩y和语文成绩z的总成绩高于200分且低于240分，用不等式组表示为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用题设条件即得.【详解】数学成绩不低于100分表示为，英语成绩y和语文成绩z的总成绩高于200分且低于240分表示为，即.故选：D.3．（2021·江苏淮安·高一期中）某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案为一次性投资万；方案为第一年投资万，以后每年投资万.下列不等式表示“经过年之后，方案的投入不大于方案的投入”的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由不等关系求解即可.【详解】经过年之后，方案的投入为，故经过年之后，方案的投入不大于方案的投入，即故选：D二、填空题4．（2021·全国·高一课时练习）某校在冬季长跑活动中，要给获得一、二等奖的学生购买奖品，要求花费总额不得超过元，已知一等奖和二等奖奖品的单价分别为元、元，一等奖人数与二等奖人数的比值不得高于，且获得一等奖的人数不能小于．设获得一等奖的学生有人，获得二等奖的学生有人，则满足的不等关系为______．【答案】.【分析】根据已知可直接得到不等式组，化简即可得到结果.【详解】由题意得：，化简得：.故答案为：5．（2021·上海·上外附中高一期中）用锤子以均匀的力敲击铁钉钉入木板，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的，已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的，请从这个实例中提炼出一个不等式组：______．【答案】【分析】由第二次敲击铁钉没有全部进入木板，第三次敲击铁钉全部进入木板可得．【详解】解：依题意，知第二次敲击铁钉没有全部进入木板，第三次敲击铁钉全部进入木板，所以故答案为：三、解答题6．（2021·全国·高一课时练习）用不等式或不等式组表示下面的不等关系:(1)某高速公路规定通过车辆的车货总高度h(单位:m)从地面算起不能超过4m;(2)a与b的和是非负实数;(3)如图,在一个面积小于的矩形地基的中心位置上建造一个仓库,仓库的四周建成绿地,仓库的长L(单位m)大于宽W(单位:m)的4倍.【答案】(1);(2);(3)【解析】由题意转化为不等关系即可【详解】（1）；（2）；（3）由题,则矩形地基的长为,宽为,则【点睛】本题考查不等关系在实际中的应用,属于基础题考点二：有已知条件判断所给不等式是否正确一、单选题1．（2022·江苏·高一）若，则下列说法正确的是（

）A．若，，则 B．若，则C．若，则 D．若，则<【答案】C【分析】对于AB，举例判断，对于CD，利用不等式的性质判断【详解】对于A，若，则，所以A错误，对于B，若，则，所以B错误，对于C，因为，所以由不等式的性质可得，所以C正确，对于D，因为，所以，所以，即，所以D错误，故选：C2．（2022·内蒙古·赤峰市元宝山区第一中学高一期中）若，则下列不等式不能成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据条件，结合结合不等式性质判断A，B，C正确，再举例说明D错误..【详解】因为，所以，，，，又，所以，所以成立，，所以，，所以，取可得，，，所以不成立，故选：D.3．（2022·江苏·高一）如果，那么下面不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据不等式的性质依次判断即可.【详解】若，则，故A错误；若，，则，故B错误；若，则，故C正确；若，则，故D错误.故选：C.4．（2021·陕西·榆林市第十中学高一期末）若a，b，c为实数，且，则下列不等关系一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据不等式的性质，结合特例法逐一判断即可.【详解】A：当时，显然不成立；B：当时，显然没有意义；C：当时，显然不成立；D：根据不等式的性质，由能推出，故选：D考点三：由不等式的性质比较数（式）的大小一、单选题1．（2021·湖北孝感·高一期中）设，则下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】C【分析】利用反例可知AD错误；利用作差法和不等式的性质可判断BC正误.【详解】对于A，当，时，，A错误；对于B，若，则，，B错误；对于C，若，则，，C正确；对于D，当，时，，，则，D错误.故选：C.二、多选题2．（2022·湖北·测试·编辑教研五高一阶段练习）下列命题为真命题的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】ABC【分析】对于A：利用同向不等式相加，即可证明；对于B、C：利用不等式的可乘性可以证明；对于D：取特殊值即可否定结论.【详解】对于A：因为，所以.因为，利用同向不等式相加，则有.故A正确；对于B：因为，所以，所以，对两边同乘以，则有.故B正确；对于C：因为，所以.因为，所以.对两边同乘以，有，所以.故C正确；对于D：取，满足，但是，所以不成立.故D错误.故选：ABC3．（2021·江苏·扬州大学附属中学高一期中）已知，，下列不等式中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】根据不等式性质及特殊值判断即可.【详解】对于A，由不等式性质，可得，正确；对于B，时，显然不成立，故错误；对于C，时，，故错误；对于D，由可得，所以，即，故正确.故选：AD4．（2020·安徽·合肥市第十中学高一期中）下列命题正确的是（

）A． B．，，使得ax＞2C．ab=0是的充要条件 D．a≥b＞－1，则【答案】AD【分析】举出一例判断存在命题是否正确，判断A，举反例判断BC，由不等式的性质判断D．【详解】对A，时，，A正确；对B，时，对任意，，不成立，B错；对C，时满足，但此时，C错；对D，，则，，则，D正确．故选：AD．考点四：作差法比较代数式的大小一、单选题1．（2022·浙江衢州·高一阶段练习）随着社会的发展，小汽车逐渐成了人们日常的交通工具.小王在某段时间共加号汽油两次，两次加油单价不同.现在他有两种加油方式：第一种方式是每次加油元，第二种方式是每次加油升.我们规定这两次加油哪种加油方式的平均单价低，哪种就更经济，则更经济的加油方式为（

）A．第一种 B．第二种 C．两种一样 D．不确定【答案】A【分析】设第一次的油价为，第二次的油价为，且，计算出两种加油方式的平均油价，比较大小后可得出结论.【详解】设第一次的油价为，第二次的油价为，且,第一种加油方式的平均油价为，第二种加油方式的平均油价为，因为，则，因此，更经济的加油方式为第一种.故选：A.2．（2022·江苏·高一）如果，那么（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】举例判断A，B，D错误，再证明C正确.【详解】由已知可取，则，A错，，B错，，，D错，因为，所以所以，故，C对，故选：C.3．（2022·江苏·高一）已知，，，则的大小关系为（

）A． B． C． D．无法确定【答案】B【分析】作差可得x-y的表达式，根据题意，分析可得x-y的正负，即可得答案.【详解】，因为，所以，又，所以，即.故选：B二、多选题4．（2021·山东·陵城一中高一期中）已知，则下列选项正确的是（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】直接推导否定选项AC，直接推导证明选项BD正确.【详解】选项A：由，可得.判断错误；选项B：由，可得，则，则.判断正确；选项C：由，可得，则，则.判断错误；选项D：由，可得，则.判断正确.故选：BD三、填空题5．（2022·全国·高一专题练习）下列四个代数式①，②，③，④，若，则代数式的值最大的是______．（填序号）．【答案】③【分析】利用作差法比较大小即可．【详解】∵，令②①得：，∴②＞①，令③②得：，∴③＞②，令③④得：，∴③＞④，∴代数式的值最大的是③.故答案为：③6．（2022·江苏·高一）已知，，则_______．（填“>”或“<”）【答案】<【分析】作差判断正负即可比较.【详解】因为，所以.故答案为：<.考点五：作商法比较代数式的大小一、单选题1．（2021·全国·高一专题练习）已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（

）A．x＞y B．x＝yC．x＜y D．x，y的关系随c而定【答案】C【分析】应用作商法比较的大小关系即可.【详解】由题设，易知x，y＞0，又，∴x＜y.故选：C.2．（2021·湖北·黄石市有色第一中学高一期中）同学们在生活中都有过陪同爸爸妈妈去加油站加油的经历，小明发现一个有趣的现象：爸爸和妈妈加油习惯有所不同.爸爸每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而妈妈则说“师傅帮我把油箱加满”这个时候小明若有所思，如果爸爸､妈妈加油两次，第一次加油汽油单价为x元/升，第二次加油汽油单价是y元/升，妈妈每次加满油箱，需加油a升，我们规定谁的平均单价低谁就合算，请问爸爸､妈妈谁更合算呢？（

）A．爸爸 B．妈妈 C．一样 D．不确定【答案】A【分析】由题意，先计算爸爸和妈妈两次加油的平均单价，再作差法比较大小，即得解【详解】由题意，妈妈两次加油共需付款元，爸爸两次能加升油设爸爸两次加油的平均单价为元/升，妈妈两次加油的平均单价为元/升则，且所以爸爸的加油方式更合算故选：A二、多选题3．（2022·江苏镇江·高一期末）对于实数，，，正确的命题是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则， D．若，，则【答案】ABD【分析】利用作差法，作商法和特值法依次判断选项即可.【详解】对选项A，因为，所以，，所以，故A正确；对选项B，，，所以，因为，所以，即，故B正确；对选项C，令，，满足，不满足，.对选项D，因为，，所以，故D正确.故选：ABD4．（2021·广西玉林·高一期中）已知，，则下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】利用不等式的性质可判断A，由基本不等式可判断B，利用指数函数的单调性判断C，由作差法判断D.【详解】对于A项：因为，所以，又，所以，A错；对于B项：因为，所以，B对；对于C项：，因为，，所以，又因为，所以，C对；对于D项：，所以，D错.故选：BC．三、解答题5．（2021·全国·高一课前预习）已知：、，且，比较的大小.【答案】【分析】两指数式比较大小，由指数式采用作商法，经讨论和1比较大小.【详解】∵、，∴，作商：

（*）(1)若a>b>0，则，a-b>0，，此时成立；(2)若b>a>0，则，a-b<0，，此时成立.综上，总成立.6．（2021·上海师大附中高一阶段练习）已知，比较与的大小.【分析】利用作差法可得出与的大小关系.【详解】.当时，，此时；当时，，此时.综上所述，当时，；当时，.7．（2021·黑龙江·哈师大附中高一阶段练习）已知，试比较与的大小.【答案】【分析】利用两个数都大于0,直接利用作商比较其大小即可.【详解】，，.两数作商，.考点六：由不等式的性质证明不等式一、单选题1．（2022·广东珠海·高一期末）对于任意实数，给定下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】C【分析】利用特殊值判断A、B、D，根据不等式的性质证明C；【详解】解：对于A：当时，若则，故A错误；对于B：若，，，，满足，则，，不成立，故B错误；对于C：若，则，所以，故C正确；对于D：若，满足，但是，故D错误；故选：C2．（2022·江苏·高一）下列命题中，正确的是（

）A．若，，则 B．若，则C．若，，则 D．若，则【答案】C【分析】根据不等式的基本性质及特殊值一一判断即可．【详解】解：对于A：当，，，，满足，，但是，故A错误；对于B：当时，故B错误；对于C：由，所以，因为，所以，故C正确；对于D：当，满足，但是，故D错误；故选：C二、多选题3．（2021·广西·高一阶段练习）若a，b为非零实数，则以下不等式中恒成立的是（

）．A． B．C． D．【答案】AB【分析】利用求差法证明选项AB正确；举反例否定选项CD.【详解】选项A：由，可得.判断正确；选项B：由，可得.判断正确；选项C：当时，，由，可得.判断错误；选项D：当时，.判断错误.故选：AB4．（2022·山东泰安·高一期末）已知a，b，c满足，且，则下列选项中一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】由已知条件得出，且的符号不确定，利用不等式的性质以及特殊值法可判断各选项中不等式的正误.【详解】且，，且的符号不确定.对于A，，，由不等式的基本性质可得，故A一定能成立；对于B，，，，，即，故B一定能成立；对于C，取，则，若，有，故C不一定成立；对于D，，，，故D一定能成立.故选：ABD三、解答题5．（2022·湖南·高一课时练习）利用不等式的性质证明下列不等式：(1)若，，则；(2)若，，则．【分析】（1）可知，而，即可得证；（2）可知，而，即可得证；(1)证明：，，又，；(2)证明：，，又，．6．（2022·江苏·高一）（1）比较与的大小；（2）已知，求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）求差法进行大小比较即可；（2）求差法去证明即可解决.【详解】（1）由，可得．（2），∵，∴，，，∴，∴．7．（2022·湖南·高一课时练习）证明不等式：(1)若，，则；(2)若，，则．【分析】（1）利用不等式的性质可证得结论；（2）由，知，利用，即可证得结论；(1)，两边同乘以，则又，两边同乘以，则即(2)，两边同乘以，得；两边同乘以，得，所以又，则，又，则，即考点七：利用不等式求值或取值范围一、单选题1．（2022·江苏·高一）已知，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据不等式的性质即可求解.【详解】解：因为，，所以，，所以，所以的取值范围是，故选：D.二、多选题2．（2021·湖北·随州市曾都区第一中学高一阶段练习）已知实数，满足，，则可能取的值为（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】令，根据，求得的值，结合不等式的性质，即可求解.【详解】由题意，实数，满足，，令，即，可得，解得，所以，则，，所以.故选：BC.三、填空题3．（2020·湖北·襄阳市第二十四中学高一阶段练习）已知1，2则4的取值范围为__________.【答案】【分析】根据同向不等式的结算规则求解即可得出答案.【详解】根据题意，即的取值范围为.故答案为为：.4．（2020·浙江衢州·高一期中）已知，，则的取值范围是___________.【答案】【分析】利用不等式的基本性质求解.【详解】因为，，所以，，则，所以，故答案为：四、解答题5．（2021·湖北·车城高中高一阶段练习）（1）已知，，求和的取值范围；（2）已知，，求的取值范围.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）根据不等式的性质求解（2）由待定系数法配凑后求解【详解】（1），又，，又，（2）设，得即而，6．（2022·江苏·高一）设，，求，，的范围.【答案】，，【分析】根据不等式的基本性质，先求出与的范围，再由可乘性得出的范围即可.【详解】∵，，∴，，，，∴，，∴.故，，．7．（2021·安徽·泾县中学高一阶段练习）（1）已知，求的取值范围；（2）已知一桶食盐水中含有克食盐，克水，再在桶中添加克食盐和克水（假设食盐全部溶解，食盐水没有溢出）.请判断当满足什么样的关系式时，食盐水的浓度变大？变小？不变？【答案】（1）；（2）当时，食盐水的浓度变大；当时，食盐水的浓度不变；当时，食盐水的浓度变小.【分析】（1）根据待定系数法求出，利用不等式性质求解；（2）求出加水前后浓度，做差比较大小即可.【详解】（1）令，则解得有.又由，有，故的取值范围为.（2）没有添加食盐和水时，食盐水的浓度为，添加食盐和水时，食盐水的浓度为.由，有当时，食盐水的浓度变大；当时，食盐水的浓度不变；当时，食盐水的浓度变小.巩固巩固提升一、单选题1．（2021·四川成都·高一期末（文））若a，b为实数，下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】D【分析】据特值可说明ABC不正确；根据不等式的性质可得D正确.【详解】对于A，当时，满足，不满足，故A不正确；对于B，当时，满足，不满足，故B不正确；对于C，当时，满足，不满足，故C不正确；对于D，若，则，故D正确.故选：D.2．（2021·徐州市第三十六中学（江苏师范大学附属中学）高一阶段练习）设，则“”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由得到，再考虑充分性和必要性得解.【详解】解：，当“”时，，所以，所以“”是“”的充分条件；当时，有可能，不一定有，所以“”是“”的非必要条件.所以“”是“”的充分非必要条件.故选：A3．（2022·江苏·高一）已知，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由不等式的性质求解【详解】，故，，得故选：C4．（2021·广东·江门市广雅中学高一阶段练习）若，则下列不等式中一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据不等式的性质，对选项逐一判断【详解】对于A，，因为，故，即，故A错；对于B，不确定符号，取则，故B错误；对于C，，因为，故，即，故C正确；对于D，，因为，故，即，故D错误．故选：C5．（2022·江苏·高一）若，，则与的大小关系为（

）A． B． C． D．不能确定【答案】B【分析】利用作差法判断大小即可【详解】因为，所以，故选：B6．（2021·江苏常州·高一阶段练习）是的（

）条件.A．充要条件 B．充分不必要C．必要不充分 D．既不充分也不必要【答案】C【分析】举特例可说明，推不出，但成立时，一定有成立，由此可判断答案.【详解】取，满足，但推不出，反之，成立时，一定有成立，故是的必要不充分条件，故选：C二、多选题7．（2022·江苏·高一）若，则下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】利用作差法对四个选项一一比较，即可得到正确答案.【详解】对于A：因为，所以.所以，所以.故A错误；对于B、C：因为，所以.所以，所以.故B正确，C错误；对于D：因为，所以，所以.故

D正确.故选：BD8．（2021·广东·化州市第三中学高一阶段练习）对于任意实数a，b，c，d，下列四个命题中其中假命题的是（

）A．若a>b，c≠0，则ac>bcB．若a>b，则ac2>bc2C．若ac2>bc2，则a>bD．若a>b>0，c>d，则ac>bd【答案】ABD【分析】利用不等式的基本性质判断.【详解】若a=2,b=1，c=-1，则ac<bc，A错；若c=0，则有ac2=bc2，B错；若ac2>bc2，则a>b，由不等式的基本性质知：C正确；a=2,b=1，c=-1，d=-2，ac=bd，D错，故选：ABD.9．（2021·湖南·永州市第二中学高一阶段练习）下列命题为真命题的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】AD【分析】根据不等式性质逐一判断命题真假即可．【详解】对于选项A：因为，显然，由不等式可知，，故A正确；对于选项B：因为，取，故B错误；对于选项C：因为，由不等式性质可知，，故C错误；对于选项D：因为，当有，当有，则，故D正确．.故选：AD10．（2022·江苏南通·高一期末）设，则（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】根据不等式的性质或反例可得正确的选项.【详解】因为，故，故A错误，而，故，故B正确.又，故即，故D正确.取，此时，但，故C错误.故选：BD.11．（2021·江苏省江阴市第一中学高一期中）下列给出的条件中，其中能得出的是（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】运用不等式的性质以及正数大于负数判断.【详解】因为＜等价于，当a＞b，ab＞0时，＜成立，故B错误D正确.又正数大于负数，A正确，C错误，故选：AD12．（2022·广东·深圳科学高中高一期中）下列说法正确的是（

）A．若，则 B．若，，则C．，则 D．若，则【答案】ABC【分析】根据不等式的性质判断AD，结合作差法比较大小判断BC.【详解】解：对于A选项，因为，故，故，正确；对于B选项，由于，，故，，故，即，正确；对于C选项，由于，故，故，