【解题指导】等比数列的判断与证明

例1已知a，b，c，d成等比数列，a＋b，b＋c，c＋d均不为零，求证：a＋b，b＋c，c＋d成等比数列．等比数列的判断与证明思路点拨：可利用等比数列的定义设出公比后证明，也可利用等比中项转化证明，还可利用等比数列的通项公式证明．解析：方法一

由已知，设

（q为常数且q≠0）∵a＋b，b＋c，c＋d均不为零，∴故a＋b，b＋c，c＋d成等比数列．已知a，b，c，d成等比数列，a＋b，b＋c，c＋d均不为零，求证：a＋b，b＋c，c＋d成等比数列．等比数列的判断与证明思路点拨：可利用等比数列的定义设出公比后证明，也可利用等比中项转化证明，还可利用等比数列的通项公式证明．∵（b＋c）2＝b2＋c2＋2bc方法二

由已知得，b2＝ac，c2＝bd，即bc＝ad．＝ac＋bd＋bc＋bc＝ac＋bd＋bc＋ad＝（ac＋bc）＋（bd＋ad）＝（a＋b）（c＋d），而a＋b，b＋c，c＋d均不为零，故a＋b，b＋c，c＋d成等比数列．例1已知a，b，c，d成等比数列，a＋b，b＋c，c＋d均不为零，求证：a＋b，b＋c，c＋d成等比数列．等比数列的判断与证明思路点拨：可利用等比数列的定义设出公比后证明，也可利用等比中项转化证明，还可利用等比数列的通项公式证明．∵a＋b，b＋c，c＋d均不为零，方法三

由已知，设b＝aq，c＝aq2，d＝aq3（q为常数且q≠0），故a＋b，b＋c，c＋d成等比数列．∴名师点评：方法一中用到了等比定理．一般地，解决等比数列的有关问题时，应注意等比定理的应用．例1等比数列的判断与证明例2（1）已知数列{cn}中，cn＝2n＋3n，且数列{cn＋1－pcn}为等比数列，求常数p；（2）设{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝an＋bn，证明：数列{cn}不是等比数列．解析：（1）因为{cn＋1－pcn}是等比数列，思路点拨：（1）根据等比数列的定义建立关于p的方程求解；所以（cn＋1－pcn）2＝（cn＋2－pcn＋1）（cn－pcn－1）对一切n≥12，n∈N*均成立．将cn＝2n＋3n代入上式，得[2n＋1＋3n＋1－p（2n＋3n）]2＝[2n＋2＋3n＋2－p（2n＋1＋3n＋1）][2n＋3n－p（2n－1＋3n－1）]，等比数列的判断与证明（1）已知数列{cn}中，cn＝2n＋3n，且数列{cn＋1－pcn}为等比数列，求常数p；（2）设{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝an＋bn，证明：数列{cn}不是等比数列．整理得（2－p）（3－p）＝0，思路点拨：（1）根据等比数列的定义建立关于p的方程求解；解得p＝2或p＝3．例2等比数列的判断与证明（1）已知数列{cn}中，cn＝2n＋3n，且数列{cn＋1－pcn}为等比数列，求常数p；（2）设{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝an＋bn，证明：数列{cn}不是等比数列．解析：（2）设{an}，{bn}的公比分别为p，q，且p≠q．（2）可通过证明c1，c2，c3不是等比数列来证明数列{cn}不是等比数列．＝（a1＋b1）（a1p2＋b1q2）要证{cn}不是等比数列，只需证

≠c1c3．因为

＝（a2＋b2）2＝（a1p＋b1q）2例2等比数列的判断与证明（1）已知数列{cn}中，cn＝2n＋3n，且数列{cn＋1－pcn}为等比数列，求常数p；（2）设{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝an＋bn，证明：数列{cn}不是等比数列．（2）可通过证明c1，c2，c3不是等比数列来证明数列{cn}不是等比数列．故{cn}不是等比数列．＝－a1b1（p－q）2．因为p≠q，所以p－q≠0，所以

－c1c3＝2a1b1pq－a1b1（p2＋q2）又a1≠0，b1≠0，所以

≠c1c3．例2等比数列的判断与证明（1）已知数列{cn}中，cn＝2n＋3n，且数列{cn＋1－pcn}为等比数列，求常数p；（2）设{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝an＋bn，证明：数列{cn}不是等比数列．名师点评：（1）若由数列{cn＋1－pcn}为等比数列得出其前三项成等比数列，进而求p的值，所得结果一定要检验，这是因为此时p的值仅能使数列的前三项成等比数列，而不能确保数列{cn＋1－pcn}为等比数列；（2）如果利用等比数列的定义来证明，即证明

不是常数，那么难以求解．本题所用方法表明解题中策略的选择尤为重要．例2等比数列的判断与证明解题通法判断数列{an}是否为等比数列的三种方法通项公式法：若数列的通项公式为an＝tqn（tq≠0），则该数列是等比数列．定义法：判断是