高中数学人教B版三学案：第三单元 3．1.4　概率的加法公式 含答案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精3.1.4概率的加法公式学习目标1。理解互斥事件与对立事件的区别与联系。2.会用互斥事件的概率加法公式求概率.3.会用对立事件的概率公式求概率．知识点一事件的运算思考一粒骰子掷一次,记事件C＝｛出现的点数为偶数｝，事件D＝｛出现的点数小于3｝，当事件C，D都发生时，掷出的点数是多少？事件C，D至少有一个发生时呢？梳理事件的并一般地，由事件A和B至少有一个发生(即A发生，或B发生，或A、B都发生）所构成的事件C,称为事件A与B的____(或和）．记作C＝________。事件A∪B是由事件A或B所包含的基本事件所组成的集合．如图中阴影部分所表示的就是A∪B.知识点二互斥与对立的概念思考一粒骰子掷一次,事件E＝{出现的点数为3｝，事件F＝{出现的点数大于3}，事件G＝{出现的点数小于4},则E与F是什么事件?G与F是什么事件?梳理1．互斥事件不可能________的两个事件叫做互斥事件(或称互不相容事件)．2．对立事件不能同时发生且____________的两个事件叫做互为对立事件．事件A的对立事件记作eq\x\to（A）。由于A与eq\x\to（A)是互斥事件，所以P(Ω)＝P（A∪eq\x\to(A））＝P(A)＋P（eq\x\to（A)),又由Ω是必然事件，得到P（Ω）＝1。所以P(A)＋P(eq\x\to(A））＝1，即P（eq\x\to（A））＝__________.知识点三概率的基本性质思考概率的取值范围是什么？为什么？梳理概率的几个基本性质(1）概率的取值范围为________．(2）__________的概率为1，____________的概率为0。(3）互斥事件的概率加法公式①假定A、B是互斥事件，则P（A∪B)＝____________________.②一般地，如果事件A1，A2，…，An两两互斥（彼此互斥），那么事件“A1∪A2∪…∪An"发生（是指事件A1，A2，…，An中至少有一个发生）的概率，等于这n个事件分别发生的概率和,即P（A1∪A2∪…∪An）＝__________________________.类型一事件关系的判断例1在掷骰子的试验中,可以得到以下事件：A＝{出现1点｝；B＝｛出现2点}；C＝｛出现3点｝;D＝{出现4点}；E＝{出现5点}；F＝{出现6点｝；G＝{出现的点数不大于1}；H＝{出现的点数小于5};I＝{出现奇数点｝；J＝｛出现偶数点}．请根据这些事件，判断下列事件的关系：（1）B________H;（2）D________J；(3)E________I；(4）A________G。反思与感悟（1)不可能事件记作∅,任何事件都包含不可能事件．(2）事件的包含关系与集合的包含关系相似，不可能事件与空集相似,学习时要注意类比记忆．(3）事件A也包含于事件A,即A⊆A。(4)两个事件相等的实质就是两个事件为相同事件，相等的事件A、B总是同时发生或同时不发生．跟踪训练1判断下列给出的每对事件是否为互斥事件,是否为对立事件，并说明理由．从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花的牌面数字都是从1到10)中任意抽取1张．(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；（2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌的牌面数字为5的倍数”与“抽出的牌的牌面数字大于9”．类型二互斥事件的概率加法公式例2在数学考试中，小明的成绩在90分以上的概率是0.18，在80～89分的概率是0.51，在70～79分的概率是0。15，在60～69分的概率是0.09，计算小明在数学考试中取得80分以上成绩的概率和小明考试及格的概率．反思与感悟在求某些较为复杂事件的概率时,先将它分解为一些较为简单的、并且概率已知（或较容易求出）的彼此互斥的事件,然后利用概率的加法公式求出概率．因此互斥事件的概率加法公式具有“化整为零、化难为易”的功效,但需要注意的是使用该公式时必须检验是否满足它的前提条件“彼此互斥”．跟踪训练2假设向三个相邻的军火库投掷一枚炸弹，炸中第一个军火库的概率为0。025,其余两个各为0.1,只要炸中一个,另两个也要发生爆炸,求投掷一枚炸弹，军火库发生爆炸的概率．类型三用互斥、对立事件求概率例3甲、乙两人下棋，和棋的概率是eq\f(1,2)，乙获胜的概率为eq\f（1,3)，求：（1)甲获胜的概率;（2）甲不输的概率．反思与感悟(1）只有当A、B互斥时，公式P（A∪B)＝P（A）＋P（B）才成立;只有当A、B互为对立事件时,公式P(A）＝1－P（B）才成立．（2）复杂的互斥事件概率的求法有两种：一是直接求解，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和,运用互斥事件的概率加法公式计算；二是间接求解，先找出所求事件的对立事件,再用公式P（A）＝1－P(eq\x\to(A））求解．跟踪训练3从一箱产品中随机地抽取一件,设事件A＝“抽到一等品”，事件B＝“抽到二等品"，事件C＝“抽到三等品"．已知P(A）＝0。65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1,则事件“抽到的不是一等品"的概率为()A．0。20 B．0。39C．0.35 D．0.901．从1，2，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数;②至少有一个奇数和两个数都是奇数;③至少有一个奇数和两个数都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述各对事件中，是对立事件的是（）A．① B．②④C．③ D．①③2．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球,从中摸出1个球，摸出红球的概率是0。42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是()A．0.42 B．0。28C．0.3 D．0。73．中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为eq\f（3，7),乙夺得冠军的概率为eq\f（1，4）,那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________．4．如图所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成，射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为0.35、0。30、0.25，则不命中靶的概率是______．5．某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别是0。3、0.2、0。1、0。4.求：(1）他乘火车或飞机去的概率；（2）他不乘轮船去的概率．1．互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的，它们两者之间既有区别又有联系．在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生,但不可能两个都发生；而两个对立事件必有一个发生，但是不可能两个事件同时发生，也不可能两个事件都不发生．所以两个事件互斥，它们未必对立；反之两个事件对立，它们一定互斥．2．互斥事件概率的加法公式是一个很基本的计算公式，解题时要在具体的情景中判断各事件间是否互斥，只有互斥事件才能用概率的加法公式P(A∪B）＝P（A)＋P（B）．3．求复杂事件的概率通常有两种方法：（1)将所求事件转化成彼此互斥事件的并事件；(2)先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率．

答案精析问题导学知识点一思考事件C，D都发生,即掷出的点数为偶数且小于3，故此时掷出的点数为2。事件C,D至少有一个发生，掷出的点数可以是1，2,4，6。梳理并A∪B知识点二思考∵E，F互斥，但不对立，∴E与F是互斥事件．∵G,F互斥，且对立,∴E与F既是互斥事件又是对立事件．梳理1．同时发生2．必有一个发生1－P(A)知识点三思考概率的取值范围是0～1之间,即0≤P(A）≤1；由于事件的频数总是小于或等于试验的次数,所以频率在0～1之间，因而概率的取值范围也在0～1之间．梳理(1）［0,1](2)必然事件不可能事件(3）①P(A)＋P(B）②P(A1）＋P(A2）＋…＋P(An)题型探究类型一例1（1）⊆（2)⊆（3）⊆(4)＝解析当事件B发生时，事件H必然发生,故B⊆H;同理D⊆J，E⊆I。易知事件A与事件G相等，即A＝G.跟踪训练1解(1)是互斥事件,不是对立事件．理由如下：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．由于还可能抽出方块或者梅花，因此不能保证其中必有一个发生,所以二者不是对立事件．(2)既是互斥事件，又是对立事件．理由如下：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红色牌"与“抽出黑色牌”不可能同时发生，且其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．（3）不是互斥事件，也不是对立事件．理由如下：从40张扑克牌中任意抽取1张,“抽出的牌的牌面数字为5的倍数”与“抽出的牌的牌面数字大于9"这两个事件可能同时发生，如抽出的牌的牌面数字为10,因此二者不是互斥事件，当然也不可能是对立事件．类型二例2解分别记小明的考试成绩在90分以上，在80~89分，在70～79分，在60～69分为事件B，C，D，E,这四个事件是彼此互斥的．根据概率的加法公式，小明的考试成绩在80分以上的概率是P（B∪C）＝P（B）＋P（C）＝0.18＋0。51＝0。69.小明考试及格的概率为P(B∪C∪D∪E）＝P(B）＋P(C）＋P(D）＋P(E）＝0。18＋0。51＋0。15＋0.09＝0。93。跟踪训练2解因为只投掷了一枚炸弹，故炸中第一、第二、第三个军火库的事件是彼此互斥的．令A、B、C分别表示炸中第一、第二、第三个军火库，则P(A)＝0。025，P(B）＝P(C）＝0。1.令D表示军火库爆炸这个事件，则有D＝A∪B∪C，又因为A,B，C是两两互斥事件,故所求概率为P(D）＝P（A)＋P(B）＋P（C)＝0.025＋0。1＋0.1＝0。225.类型三例3解（1)“甲获胜”可看成是“和棋或乙获胜”的对立事件，所以“甲获胜”的概率为1－eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＝eq\f（1,6）.（2)方法一“甲不输”可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P（甲不输）＝eq\f(1，6）＋eq\f(1，2）＝eq\f(2,3)。方法二“甲不输”可看成是“乙获胜”的对立事件，所以P(甲不输)＝1－eq\f(1,3)＝eq\f（2,3），故甲不输的概率为eq\f（2，3）.跟踪训练3C［∵抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品,而P（A）＝0.65,∴抽到的不是一等品的概率是1－0.65＝0。35。]当堂训练1．C［从1,2，…,9中任取两数，包括一奇一偶、两奇、两偶，共三种互斥事件,所以只有③中的两个事件才是对立事件．]2．C[∵摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件，∴摸出黑球的概率是1－0。42－0。28＝0.3,故选C.]3。eq\f（19，28)解析由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军"，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算，即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为eq\f（3，7）＋eq\f（1,4）＝eq\f(19，28)。4．0.10解析“射手命中圆面Ⅰ”为事件A，“命中圆环Ⅱ”为事件B，“命中圆环Ⅲ”为事件C,“不中靶"为事件D，则A、B、C彼此互斥，故射手中靶的概率为P(A∪B∪C）＝P（A）＋P（B）＋P(C）＝0。35＋0。30＋0.25＝0