2021年高一上学期竞赛数学试题含答案

2021年高一上学期竞赛数学试题含答案注意事项：1．本试题由填空题和解答题两部分组成，满分160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的班级、姓名、学号书写在答题纸上规定的地方．3．所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卷相应位置上）1．如果全集，，，那么()等于▲．2．函数的定义域是▲．3.方程的根，，则▲4．函数y=，xR的最小正周期为▲5．已知幂函数在上为减函数，则实数▲．6．若，则的取值范围是▲ 7．函数（常数）是偶函数，则的值是 ▲ 8.已知集合，集合，若，则的取值集合为▲9．若函数是定义在上的偶函数，在上是减函数，且，则满足的的取值范围是▲． 10．已知sin(θ＋kπ)＝－2cos(θ＋kπ)，k∈Z.则eq\f(4sinθ－2cosθ,5cosθ＋3sinθ)＝________.11．已知函数（）的图像恒过定点A，若点A也在函数的图像上，则=▲12.把函数y=sin(2x+)的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的，所得图象的解析式是_____▲______.13．函数,（其中）的图象的一条对称轴是，一个最高点的纵坐标是，要使该函数的解析式为，还应给出一个条件是▲（只要写出你认为正确的一个条件即可）．14.阅读下列一段材料，然后解答问题:对于任意实数，符号表示“不超过的最大整数”，在数轴上，当是整数，就是,当不是整数时，是点左侧的第一个整数点，这个函数叫做“取整函数”，也叫高斯（Gauss）函数.如,,则的值为▲二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明或演算步骤，请把答案写在答题纸的区域内）15．（本题满分14分）设，．（1）求的值及集合、；（2）设全集，求的所有子集．16．（本题满分14分）（1）已知，且是第二象限的角,求和;（2）已知cos(－)=，求sin()的值.17．（本题满分14分）已知函数，（1）当时，求的最大值和最小值（2）若在上是单调函数，且，求的取值范围18．（本题满分16分）已知指数函数满足：g(2)=4，定义域为，函数是奇函数．（1）确定的解析式；（2）求m，n的值；（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．19.（本题满分16分）某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不低于51元（1）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？（2）设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P=f(x)的表达式（3）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本）20.（本题满分16分）记函数f(x)的定义域为D，若存在，使成立，则称以为坐标的点为函数图象上的不动点。（1）若函数的图象上有两个关于原点对称的不动点，求应满足的条件；（2）下述结论“若定义在Ｒ上的奇函数f(x)的图象上存在有限个不动点，则不动点有奇数个”是否正确？若正确，请给予证明，并举出一例；若不正确，请举出一反例说明。金湖二中高一年级数学竞赛参考答案一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，把答案填在下面的横线上．)1．2．3．14．5．6．7．8．9．10．1011．12．13．(或者其它答案)14．3二、解答题：（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．）15．(本大题共14分)解：（1），，求得…………7分（2），的所有子集是：…………14分16．(本大题共14分)解：（1）由，得，又解得或是第二象限的角,则…………7分（2）sin()=====…………14分17．(本大题共14分)解：（1）当时，………2分在上单调递减，在上单调递增……6分∴当时，函数有最小值当时，函数有最大值…………8分（2）要使在上是单调增函数，则－sin≤－……11分即sin≥又解得：………14分18．(本大题共16分)解：（1）y=g(x)=2x；…………4分

（2）由（1）知：，

因为f(x)是奇函数，所以f(0)=0，即，

∴，

又由f（1）=-f（-1）知，，

∴m=2，n=1。…………10分

（3）由（2）知，，

易知f(x)在(-∞，+∞)上为减函数，

又因f(x)是奇函数，

从而不等式：等价于，

因f(x)为减函数，由上式推得：，

即对一切t∈R有：，

从而判别式，得

∴实数k的取值范围是（-∞，）。…………16分19．(本大题共16分)解：（1）设每个零件的实际出厂单价恰好降为51时，一次订购量为个。则＝100＋＝550…………4分（2）当时，P＝60；当100＜x＜550时，P＝60－0.002（x－100）＝62－；当时，P＝51.…………9分（3）设销售商一次订购量为x时，工厂获得的利润L元。则L＝（P－40）x＝…………13分当x=500时，L=600；当x=1000时，L=1100.…………15分答：…………16分20．(本大题共16分)解：（1）由，…………2分整理得（*）……4分由题意知方程（*）有两个互为相反数的根，所以即………6分，，……………………8分故应满足且……………………10分（2）结论正确。……………………12分证明：为奇函数，，取，得，即（0,0）为函数的一个不动点，设函数除0以外还有不动点，则又，故也为函数的不动点。…………