工程测量员培训附自测试题八

491§5-1测量误差概念一、测量误差产生的原因二、测量误差的分类与处理原则三、偶然误差的特性492一、测量误差产生的原因产生测量误差的三个因素：

仪器原因—仪器精度的局限性,轴系残余误差等；人的原因—判断力和分辨力的限制,经验缺乏等；外界影响—气象因素如温度变化,风力,大气折光等

。结论：观测误差不可避免(粗差除外)有关名词：观测条件—上述三大因素总称为观测条件观测精度—在观测条件基本相同的情况下进行的观测，称为“等精度观测”；否则，称为“不等精度观测”。

493二、测量误差的分类与处理原则（一）系统误差

在相同的观测条件下，对某一量进行一系列观测，如果误差的出现在符号(正负号)和数值上都相同，或按一定的规律变化，这种误差称为“系统误差”。系统误差对观测值的影响有一定(数学或物理)的规律性。如能够发现其规律，则可进行改正或用一定方法使其削弱或抵消。494

按测量误差产生原因和对观测成果的影响，分为系统误差、偶然误差和粗差。495

钢尺尺长误差Dk

钢尺检定,尺长改正

钢尺温度误差Dt

钢尺检定,温度改正

水准仪视准轴误差

i

中间法水准,前后视等距

经纬仪视准轴误差C

盘左盘右观测,取平均值

对系统误差采取措施举例：误差来源采取措施在相同的观测条件下，对某一量进行一系列观测，误差出现的符号和数值大小都不相同，从表面看没有任何规律性，这种误差称为“偶然误差”，是由许多无法精确估计的因素综合造成(人的分辨能力,仪器的极限精度,天气的无常变化,以及环境的干扰等)。

偶然误差不可避免，但在一定条件下的大量的偶然误差，在实践中发现具有统计学规律。（三）粗差

由于观测者的粗心大意,或某种特别大的干扰而产生较大的误差称为“粗差”(俗称错误)，应避免和舍弃粗差。

偶然误差举例：仪器对中误差,气泡居中判断、目标瞄准、度盘读数等误差,气象变化等外界环境等影响观测。496（二）偶然误差（四）误差处理原则497粗差

—细心观测，用多余观测和几何条来件来发现，将含有粗差的观测值剔除。系统误差

—找出发生规律，用观测方法和加改正值等方法抵消。偶然误差

—用多余观测减少其影响，利用几何条件检核，用“限差”来限制。三、偶然误差的特性

偶然误差的定义设某一量的真值为X，对该量进行n

次观测，得n个观测值，产生n个真误498l1,l2,…,lnΔ1,Δ2,…,Δn真值与观测值之差定义为“真误差”,真误差属于偶然误差,但真值必须已知才能求得真误差。测量的观测和计算中,在一般情况下真值是不知道的，只能根据几何条件等间接知道真值,例如三角形三个内角之和为180°(真值),而三个内角的观测值之和也可以作为一个独立的观测值，据此求得三内角之和的真误差(称为三角形角度闭合差)。

多次观测中寻找偶然误差的规律：对358个三角形在相同的观测条件下观测了全部内角,三角形内角之和的真值为180°，观测值为三个内角之和

(i+i+i)，因此其真误差(三角形闭合差)为：i

=180°–

(i

+

i+i)观测数据统计结果列于表5-1,据此分析三角形内角和的真误差i的分布规律。499

表5-1

偶然误差的统计4910误差区间dΔ"负误差正误差误差绝对值kk/nkk/nkk/n0～3450.126460.128910.2543～6400.112410.115810.2266～9330.092330.092660.1849～12230.064210.059440.12312～15170.047160.045330.09215～18130.036130.036260.07318～2160.01750.014110.03121～2440.01120.00660.01724以上000000Σ1810．5051770．4953581．000偶然误差的特性有限性：在有限次观测中，偶然误差不超过一定数值；渐降性：误差绝对值小的出现的频率大，误差绝对值大的出现的频率小；对称性：绝对值相等的正负误差频率大致相等；抵偿性：当观测次数无限增大时，由于正负相消，偶然误差的平均值趋近于零。用公式表示为：4911三角形闭合差的频率直方图

正态分布曲线以及标准差和方差4912

在统计理论上如果观测次数无限增多(n→∞)，而误差区间dΔ又无限缩小，则频率直方图成为一条光滑的曲线，在统计学中称为偶然误差的“正态分布曲线”,其数学方程式为：式中参数σ称为“标准差”,其平方σ

2

称为“方差”,方差为偶然误差(真误差)平方的理论平均值：标准差的计算式：§5-2评定测量精度的标准一、中误差4913用标准差衡量测量观测成果的精度，在理论上是严格和合理的。但在实际测量工作中，不可能对某一量进行无穷多次观测。因此，定义：根据有限次观测的偶然误差，用标准差计算式求得的称为“中误差”，其计算式为：选择两组三角形内角之和的观测值，求得三角形角度闭合差，分别按上式在表5-2中计算中误差，得到：第1组:

m1=

±2.7″

第2组:

m2=

±3.6″可见第1组的观测精度高于第2组。按观测值的改正值计算中误差4914表5-2m1较小,误差分布比较集中，观测值精度较高；m2较大，误差分布比较离散，观测值精度较低。两组观测值误差的正态分布曲线的比较：m1=

2.7m2=

3.64915不同中误差的正态分布曲线

4916二、相对中误差三、极限误差

某些观测值的精度如果仅用中误差衡量，还不能正确反映其质量，例如，距离测量误差应与长度成正比。观测值的中误差除以观测量，称为“相对中误差”(简称相对误差)，例如200m距离的测距中误差为2cm,测距的相对误差为1∶10000;

500m距离测距中误差也为2cm，则测距相对误差为1∶25000；后者精度高于前者。

根据正态分布方程式，可以表示误差出现在微小区间dΔ的概率：将上拢式积杰分，跃得到穗偶然书误差末在任贸意大烛小区鸟间中输出现姑的概问率。掘设以k倍中薪误差扶作为姿区间获,则拼在此棍区间安中误膀差出税现的将概率返：4917分别们以k=1析,k=2获,k=3代入搭上式削，可兔得到鲁偶然辟误差营的绝德对值酷不大炕于中凝误差颈、2倍中井误差冈、3倍中炉误差振的概裙率：由此昌可见杠，大倚于2倍中肢误差催出现吴的概方率小抵于5％，大于3倍中睬误差币出现洋的概跃率小液于0.依3％。述因此虽，测粒量工母作中以2倍中幅误差倦作为俘允许月的误杜差极使限，派称为晨“允许耳误差”或“限差”。4918§5缝-3观测眠值的约算术乐平均吼值及椒改正湾值一、坚算术余平均碗值在相达同的征观测荡条件倍下，释对某迎一量畅进行n次观正测，匆观测犯值为li(i=胶1～狡n),脚取庆其算术覆平均悄值作为逐该量棋的最词可靠爬的数悉值（汇故也膨称“最或逢然值”）垫：算术习平均泡值为寸何是肥该量竟最可锋靠的砌数值载？可滑以用番偶然妈误差穷的特国性来霸证明璃：证明起算术燃平均笨值是零最或说然值4919按真把值计图算各逢个观伐测值后的真晓误差背：将上症列等沃式相忌加，并除冰以n,得到忠：故算丛术平欣均值贩比较接近画于真波值，驼而成为最些可靠转的数野值：二、道观测誉值的遣改正壶值最或枪然值魂与观鞠测值志之差存称为钩“观赏测值烦的改婶正值阳”(暑简称改正蛛值)v:4920对［vv销]求极社小值澡：算术披平均透值符义合最肃小二贿乘法记原理取改厘正值范总和孕：说明紫：一爱组观渗测值有取算剩术平阴均值拆后，封各个贿观测惰值的改正值之梨和恒恨等于舞零，此贴可以诞作为违计算方的检皂核。§5典-4观测忽值的蓄精度乔评定在同页样观翼测条脏件下阵对某殃一量改进行战n次俊观测迎，求澡得算球术平补均值及闪观测货值的聋各个艘改正脏值v，据此担计算速观测便值的侄中误嘉差：4921对比披按真火误差Δ计算济中误抗差的强公式溉：两竟者差滥别仅族在于沃以（n－1）代弱替n，以撞代替踩真值X：两式傻取总屡和并顾缓及偶尿然误催差的吨相消响性，烂可以咸证明拘：因此可以按观谷测值火的改值正值房诚计算印中误却差算术槐平均开值计粗算的逃实用妻公式由于念各个昂观测昼值相税差很久小，守为计霞算方墨便令荣其数直值的绕相同炕部分切为l0,差匪异部括份为Δl，即li=l0+Δ孩li,算术扫平均岗值的抚实用冤公式捏：4922按各创个观辨测值乳的改匙正值听计算振观测舌值中浊误差闯的公抵式：按观锄测值恭的改厌正值喂计算有中误拜差的眉算例（一设段水磁平距伟离的急多次障观测瞒）4923次序观测值l(m)Δl(cm)改正值v(cm)vv

(cm2)算术平均值及观测值中误差1120.031+3.1-1.41.96算术平均值:=120.017(m)观测值中误差:=±3.0(cm)2120.025+2.5-0.80.643119.983-1.7+3.411.564120.047+4.7-3.09.005120.040+4.0-2.35.296119.976-2.4+4.116.81Σ(lo=120.000)+10.20.045.26计算皱算术棒平均胃值及推其中替误差宾的小葱结：一、句已幅知真垦值X,进雨行n次观昼测，纳则计缺算观深测值赠的真惨误差舍与中置误差抢。二、纱真值到不知会,则疲进行n次观各测，终计算池算术舰平均街值、抓改正录值及驼其中娃误差铜。4924中误冬差：真误救差：中误肉差：改正动值：算术周平均霜值：§5榆-5误差帐传播赚定律4925一、伙观测锋值的数函数测量剑所采艘集的桐数据(量)并非骨都是歪直接呀观测迫值，晃而是施观测汉值的贿函数看。观预测值辽的误悦差使背其函损数也愧具有野一定慌的误套差。旧例如织：和差毁函数—例如笨算术臣平均睁值例如答斜距食改平例如隆分段送量距制相加例如洞图上龙量长混度,化为篇实地抬长度倍函蛋数—线性躁函数—一般革函数—二、岸一般蛮函数屡的中枣误差4926举例蛛说明陡：矩厚形地衣块，锦量长舌度a、宽拍度b，求其齐面积P。面积格是观宽测值屋长度a和宽度b的函上数，洒函数颤式为随：对函举数式度中的矩自变五量a、b求偏冈微分:将微螺分元宋素以主偶然智误差Δi代替面积侦误差(图中余阴影植面积)具有直观朵的几朗何意付义4927对于惜上述衣地块丹的长狡度和糊宽度老进行n次观处测：上列n个等呈式平陈方后车取其坡总和情，并狐除以n,得到稻：根据巷偶然先误差引的抵朽偿性妖，得再到：按照柿中误睛差的存定义肺，上残式可跨改写核为求面占积中尺误差公式蹦：4928误差见传播牌定律—一般电函数向的中朵误差休计算式中xi为自扮变量(独立岛观测奋值)，设mi为观访测值瓣的中雕误差童，Z为独壤立变怀量的四函数歼。则Z的中挠误差部为：式中勒为兽各个厌变量而的偏导讲数。4929三、搂线性筑函数脊和倍稼函数匹的中掠误差线性扛函数买：自变歉量的蹲偏导独数：按照详误差菌传播惭定律说，得贿到线断性函静数的哪中误影差：算术区平均祥值寨也属姑于观钻测值授的线餐性函隆数，净根据渐误差传播逢定律风：4930由于袜是等亭精度柿观测,因此m1=m2=…=mn=m由此罪可见悼，算趋术平状均值训的中求误差叙比观案测值怠的中渐误差小插倍耳。如果闪线性摘函数晓只有劈燕一个掉自变掀量：,则成倡为倍函冷数，其丸中误可差为诸：上式表中的评系数k，即为缠误差装扩大老的倍瓦数。4931函数废式为那：D=藏50练0d实地树距离赵和量伙距中烫误差察为：该距谊离及脏其中层误差陈可以忽写成恒：例：螺量得携比例扭尺为1∶50左0的地押形图尚上两坊点间史长度d=1巾34他.7mm,图上封量距列中误际差为0.钢2mm,换算雨为实出地距章离D和量浩距中挣误差mD。4932其中怖误差情均为如：和差京函数稍的中莲误差微计算臣方式英也可见用于础多种腰独立洒误差贺来源的观富测值洒中误柜差的甲计算菌。例淘如用买测角吼仪器甩观测迫水平优方向时，厦同时额受到房诚对中犁、瞄示准、挥读数膜、仪存器误茅差、争大气蛙折光等误胡差影舌响，沙观测委水平述方向叠的偶厚然误醋差是笛这些当误差搁的代温数和弦：故观剑测水宪平方迟向的桑中误奇差为德：误差洁传播极定律折小结第一王步：彼写出座包含真各个则自变庄量(巷独立厦观测味值)婆的函挨数式第二督步：搏写出豪全微寸分式捐(计慨算对部各个糕自变烘量的叮偏导挑数)第三躬步：就按误涝差传啦播定苗律写冈出中业误差府关系典式注意功：误差惩传播少定律宏只适原用于竖将各钩个独查立观塘测值窃作为自久变量坝。如接果观涉测值韵之间统是相纺关的介，则字得到的结棵果将厚是不敞严格录的。4933函数症式：函数困中误谨差：§5愉-6误差伴传播突定律洞的应聋用4934一、眯距离侦测量殃的精纱度光电比测距口的误留差来相源有只：仪绿器误而差、名气温街气压淹测定寨误差闷、仪笋器对做中误锻差、权倾斜合改正击垂直谎角测绩定误稠差等脂。这爽里仅庸讨论司前二玩者，缝即仪铃器频烤率调傍制误暴差df、测趁定相换位的筑误差dΔφ以及艳气象迷测定兰误差狭影响元折射酷率dn。斜距宅测定的函崭数式对各卖个自恋变量求偏瞒导数领得到真误粒差关泼系式用误险差传劳播定可律得沿到光虹电测挽距中泉误差交的估输算式困：4935上式造根号犬内第咸一项双为测乖定相油位误泡差的敏影响猜，它污与距与离长鉴短无惭关，管称为贱“常误繁差a”；第礼二、世第三隐相为喝气象趟测定辫误差安与频惹率误忍差的毅影响敢，它饮们均遥与距顺离长宇度成金正比倍，称钳为“比例霉误差b”。板因此,光电滩测距翠的误欠差估笔算式选：上式抬常作箩为测闹距仪娃本身神的精型度指唯标，a的单巨位为mm，b为百忠万分突率，袜即每扭公里抵的毫奖米数(mm/km)。二、辩角度缝测量帝的精览度DJ始6级绕经纬竹仪和拳6秒被级全灾站仪都一测奏回方员向观栗测值仓中误差m=±右6″原，水防平角项为两庭个方守向观赠测值导之差袖，故纷一测回水跃平角驻观测孝的中四误差沃为：4936一测歼回水龟平角笨取盘洁左盘箩右角稼度的净平均弊值，斑故半旨测回有水平勒角值傍的中蜡误差林为：盘左串、盘白右水粘平角彼值之葵差的婆中误顺差为轨：以2倍中魄误差叶作为恰极限瞧误差归为±3选4″哨(一般弹规定40尺″)多边匪形水胖平角为观测刊角度狐闭合闭差的抢规定多边店形内赶角(贞水平同角β)之泰和在趋理论蕉上应剃为(n-吹2)1炒80°,牲由于区水平角侍观测搭中的麦偶然镰误差移，产华生角欢度闭知合差养：4937每个拒角度革的测代角中喊误差剂为mβ,则n个角蜡度之镜和的嚷中误唇差:以2倍中喷误差菜作为点极限龙误差,则n边形涉的角伏度的窑允许筹闭合袄差例：活设水斧平角解观测队的中凑误差mβ=±糠18疏″,则三尽角形秤的允许角者度闭膝合差暖：三、舱水准峡测量束的精喝度水准扬测量辟高差挥测定私的计展算式h=a-b,设掀用S3励水准霞仪在术水准坐尺读蓬数的带中误冈差m=计±强1脉mm，则一次啦测定返高差他的中原误差王：4938两次争测定墨高差督之差Δh=h1-h2,则高溉差之界差的中误拌差：以2倍中墙误差佣作为蜜极限州误差,则允圾许的蓄高差适之差为±4mm水准妨路线臭高差掏测定隙的精智度4939在一蛙条附间合水雅准路胞线进捎行水梁准测束量,共设n个测糟站,其高牲差的总鼻和：设水菜准尺管读数父误差偷为m,每次痒高差妙测定燥中误植差为mh,则线轧路的领高差叼总和宜的中页误差减：设水就准线井路长假度为L,各测舞站前雀、后姿视平表均长选度为d,单位长度溜的高坦差测观量中坦误差返为m0,则：，，L以公亦里为议单位m0为每半公里奥高差测工量中停误差4940上式赚说明膏：水贫准测产量的吸精度牛与水床准路焰线的填长度滔的平献方根成正鞭比。水准黄测量辆的等座级以倚每公篮里高量差测廉量的暗中误院差mo作为卵精度勇指标碌：水准测量等级一等二等三等四等

mo±1mm±2mm±6mm±10mm据此,可以揭按水役准测瓣量等津级和料设计在水准拨路线值长度,估算水准焦测量司全程谦的高凡差中秃误差再。例兆如,路线晨长5k灰m的四兽等水准离测量轰的精侍度：四、姑坐标瓜计算仗的精剩度4941两点顿之间,如果稻已测闹定其喊水平祸距离D和方捎位角α,则可休按下向式计慕算其求坐标舟增量陷：对观见测值(自变民量)D和α求偏渴导数,得到叶函数鉴式的授全微爪分：按误汤差传逐播定年律,将上再式转塑换为扣坐标堂增量尊的中郊误差堡表达志式4942坐标倘增量梢的中迟误差:上式帖右边钥根号市内第拜一项鲜为纵争向误村差,是由撑距离袭误差殿造成,第二涌项为横横向画误差,是由贝角度默误差兔造成暮。由鸭纵横挎坐标增量价误差山或纵耀横向互误差地，形恨成两灵点间死的相骗对点薄位误胞差：一、胜不等钱精度莫观测愚与观遵测值京的权4943§5照-7加权猾平均寨值及委其中肤误差同一起量的度一系洒列等渐精度辞观测殖值可痰以取膛其算愈术平逮均值别，而同自一量惹的一顾系列秀不等承精度慌观测疲值则怕应取踪蝶其加权吨平均旬值。“权杆”(P)意为游衡量浙轻重,观测浩值的毫中误违差(m)小,则权盟大;反之猜则权莲小。定义但权与犬中误拼差的贺平方假成反变比：C为任遵意常除数。和等于1的权伏称为堆“单香位权稼”,权等现于1的中误形差称关为“单位塘权中逗误差”(mo)。因黎此,权和脸中误充差的阴另一肿种表省达式教为：4944为了逆使“熔权”星的概谣念简俯单明叫了，施取一骑次观朝测、纲一个谎测回窄或单柴位长耍度（崇例如1诱km）等讲的测素量误富差作动为单纯位权窄中误膊差。学例如滥，以庭一测兴回的趟水平希角观打测中屡误差mβ为测纺角的档单位扫权中盛误差,则n测回雕取其悉算术他平均向值的丢角度耐中误请差及迈其权谱为:又例徒如水剂准测极量以改一公戏里的汁高程完测量聋中误完差mo作为陷单位锹权中锄误差钩，则L