结构动力学讲义二

第二章（续）

单自由度系统的振动5/27/20231

强迫振动：结构在动荷载作用下的振动称为强迫振动或受迫振动（forcedvibration）。由方程：可以得到单自由度体系强迫振动的微分方程：§1.1单自由度系统简谐荷载作用下

的受迫振动5/27/20232其中,和的定义与自由振动时相同。5/27/202331、无阻尼受迫振动方程解设单自由度体系承受简谐荷载：是简谐荷载的圆频率，是简谐荷载的最大值，称为幅值。可得（无阻尼）：5/27/20234方程的解由两部分组成，即齐次解和特解。设特解的形式为：求得：特解为：5/27/20235微分方程的齐次解：全解：

振动由两部分组成：第一部分按荷载频率振动，为纯粹的强迫振动；第二部分按自振频率振动，为外力引起的自由振动。

由初始条件确定

5/27/202362、动力系数（1）实际上，由于有阻尼力存在，自由振动项将随时间的推移而逐渐消失，该项称为瞬态响应（transientresponse）。（2）自由振动消失之前的这一段时间内的响应称为过渡阶段，这段过渡时间的长短取决于阻尼的大小。5/27/20237（3）阻尼小，过渡时间就长；阻尼大，过渡时间就短。（4）过渡时间结束后，只按荷载频率振动的阶段称为平稳阶段，对应的响应称为稳态响应(stationaryresponse)。（5）在振动计算中，通常都不考虑自由振动部分尚未完全衰减掉时的过渡阶段，而只计算在这以后系统按荷载频率进行的纯强迫振动。5/27/20238即特解部分：令：为最大静位移，表示将荷载最大值P当作静荷载作用时结构所产生的位移；为动力放大系数或动力系数，表示最大动位移与最大静位移的比值。则有：5/27/20239

动力系数与频率比值的关系：动力系数是频率比值的函数，变化规律如图所示，其中横坐标为，纵坐标为的绝对值。5/27/202310特性分析：（1）当时，动力系数。简谐荷载的数值虽然随时间变化，但与结构固有频率相比变化得非常慢，因而可当静荷载处理。（2）当时，动力系数，且随的增大而增大。5/27/202311（3）当时，。当荷载频率接近于结构固有频率时，振幅会无限增大。这种现象称为共振。实际结构由于有阻尼的影响，共振时不会出现振幅为无限大的情况，但共振时的振幅比静位移大很多倍的情况有可能发生。（4）当时，的绝对值随的增大而减小。5/27/202312例1：

下图为一无重简支梁，在跨中有重的电机，电机偏心所产生的离心力为若机器每分钟的转数，梁的。在不计阻尼的情况下，试求梁的最大位移和弯矩。5/27/202313解：

（1）梁的自由振频率由机器重力作用下梁的最大静力位移则梁的自振频率为：

（2）机器的扰力频率为：5/27/202314（3）系统的动力系数（4）梁跨中截面的最大位移和弯矩5/27/202315例2：

图示跨中带有一质体的无重简支梁，动力荷载作用在距离左端l/4处，若及，试求在荷载F(t)作用下，质体的最大动力位移。5/27/202316解：

（1）用图乘法先求出柔度系数及。该梁的自由振频率：5/27/202317（2）按叠加原理建立运动方程：变换得：即把非直接作用于质体的荷载按照静力位移等效的条件转换成直接作用于质体的荷载。。

位移协调等效5/27/202318则运动方程的解为：由此式代入及相应的便可求得质体的最大动力位移。a）当时b）当时5/27/2023193、有阻尼受迫振动方程解在外力作用下，并且考虑阻尼。

则方程变为：上式通解为：齐次解特解5/27/202320其中底，设钻，将僻微分方未程变为沸代数方喜程。过程年推倒其解为往，，并令痰，则，仅考齐虑低眯阻尼预的情糖况：5/6牙/20悲2321待定系钻数法求卸出特解况：设方吨程的炉特解纽奉为：代入方速程得，5/6铜/20跳2322使上式迹为零，培则：求得唯：有阻震尼单盗自由梁度体酷系运插动方凳程的匙全解夏为：5/6符/20毕2323第一牲部分频率：（1）对葡外载先的瞬倒态响筑应，烘常数A1和A2由初始肝条件确嫂定。但巧是，由音于阻尼颠的存在白，频率作为旱的第伍一部分搁含有因茧子腹，鸟因此会跌逐渐衰谦减直至阔消失。第二影部分频率：瞬态嘴响应稳态响钻应自由葛振动强迫疗振动5/田6/订20碎2324（2）频率卷为鹿的威第二部梢分由于培受到荷角载的周脖期影响缩慧而不衰总减，这肚部分振琴动称为罚稳态响女应。（3）体虽系从林开始预振动瞒到稳装态振蹲动的括那一击阶段躺处于岭过渡朋状态灾，振霉幅和需周期技都在办变化纷，因脱此称妖为非稳定逼振动或蜓过渡态皇振动。过绸渡态波的振鸦幅的湿最大症值会旨大于我稳态托振幅赵，但堵它会留逐渐嘉被衰许减，从衰减拿的快世慢程养度随隔的或大小业而定个。（4）仅分怠析纯受如迫振动浩项（第鸭二部分狱稳态响恳应）。5/魂6/史20身2325任一何时刻蕉的稳砌态振资动响现应：或：得：表示辩振幅——荷载供最大给值P作用下充的静力砍位移。5/向6/浪20桂2326动力系院数对于混有阻仔尼强轨迫振葬动，净动力穴系数群不仅屑与频楼率比酒值座有关失，而吩且与滔阻尼甲比脆有塔关。络对于含不同医的践值渐，轧和余与哪之讨间的腹关系阔曲线晓如图辛。5/奔6/灭20写2327图厘有似阻尼毛振动静体系扫的响法应特仆征参浓数幅频曲唤线相频驴曲线5/6撞/20绕2328结论添：（1）在镇范围内勺，随着斑阻尼比减的姐增大，肯动力系蹄数第的变困化渐趋芦平缓，暂特别是房诚在附近型，森的峰妈值显乔著下貌降。（2）在园的共跳振情稠况下核，动避力系按数为止：5/终6/挥20犁2329忽略译阻尼柳的影搅响，闭即掏时，煤无阻狱尼体棍系共划振时越动力故系数划趋于岔无穷耗大。隐但是南如果识考虑毛阻尼报的影贪响，纺则共堆振时浇动力分系数翻总是箩一个摆有限瓣值。因此：在研究晌共振时合的动力当响应，哗阻尼的望影响不很容忽视吩。5/成6/袭20权2330（3）在阻尼拌体系中饼，共振慨时的动岸力系数甜虽然接获近于最食大的动哲力系数单，但苍并不等词于这个闸最大值钻。求最大寺响应时坏的轮值：可求划对刻的向导数并鬼令其等趣于零。谁对于阻剩尼比至的实际搏结构，榨响应峰绢值频率披为：相应的眼响应值新：5/6皂/20叠2331对于扎的阻逗尼体辈系在通常您情况下苗，州值很小贩，可以即近似认贝为：5/6孔/20上2332（4）阻尼滤体系愿的位重移比唤荷载百滞后丛一个茎相位喇角值由捡下式穴决定抚。5/6严/20尺23331）当0时，荷载频碎率很小妹，体系流振动很沸慢，因易此惯性孩力和阻番尼力都湿很小，动荷载驰主要与吃弹性力剖平衡。由于揪弹性力侄与位移关成正比唇，但方备向相反药，因此荷载与储位移基也本上是卵同步的。5/6透/20榨23342）当1时，当荷递载频拜率接灵近结装构固典有频雕率时蕉，位创移帖与外附载举相轿差的类相位爆角接瞒近90°。因此哭当荷载拘为最大炼时，位拥移和加帖速接近州于零，怀因而弹策性力和知惯性力尽都接近袜于零，蝴这时动荷载掠主要由顷阻尼力卖相平衡。5/6速/20聋23353）当哪时爪，荷载频夸率很大面，体系咸振动很豪快，因羡此惯性帆力很大施，弹性泳力和阻委尼力相倒对来说区比较小置，动荷营载主谨要与款惯性局力平暮衡。由僻于惯禾性力另与位寇移是子同相根位的兵，因汪此荷怒载与健位移消的相退位角营相差妥约18态0°，即型两者候方向技相反验。5/6滔/20踢2336体系上手各个力骂的平衡:（进一略步说培明）由已弱知的劈燕荷载抖，居以及遗求得仆位移,可以求辽得1)惯性力块：2)弹簧效力：5/6铲/20谣23373）阻泻尼力腥：1）当荷遍载频率时，脚因频遍率比这时膛惯性疯力Fi(t)阻尼Fd(t)都很狐小，炕荷载F(t)主要由喝弹簧Fs(t)平衡讨论：5/殃6/慨20神23383）当卸荷载车频率党时，棚频率赚比毯，，够，其中油阻尼弯力项熊：2）当荷幕载频率仙时，因答频率比隐很大何，这时们荷载主必要由惯港性力Fi(t)平衡即荷仙载主哭要由牙阻尼傻力平庸衡。5/盈6/命20蚊2339一般称来这种状旨态为共振，通显常将的范纤围定铜为共母振区治，在供共振食区内权阻尼居力的辅影响奔不能抱忽略恰。而槐在共嚼振区沉外，膝有时篮为了丈简化戚，可遵以不劣计阻取尼力构的影估响。5/6蓝/20羞2340下图企为体岸系上酱四个喘力在桃任意词时刻辱的旋泊转向偶量平父衡图报。各掠个力藏在水笼平轴好的投左影分误量之局和即嗽为动孟力平坐衡方来程。关从图袄中可挺以明兄显地阴看出汁各个逝力之营间的刮相互允关系廉。5/6暂/20党2341半功秘率法确定阻础尼比类：简谐荷阅载受迫屋振动的折