2017年高考数学真题一题多解(共9篇版含解析)-2018年高考数学二轮复习(全国通用)

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2017年高考数学真题一题多解——浙江卷•2018年高考数学二轮复习（全国通用）Word

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浙江卷

15.改口向量ab满足d=1加=2,则a+耳+a-U的最小值是,最大值是.

【答案】4,2点

【解析】

方法一：（代数法）设向量公5的夹角为e，由余弦定理有：B-b卜和+22-2x1x2x85。=J5-48S。,

|a++21-2xlx2xoos(x-0)«■^5+4cos^,则:

J5・4856♦45-48S1,

令y=J5+4cosB+J5-4cos8，则y2=IQ+2725-16cos20w[|6,201

据此可得：(|a+l^+|a-b[=s/20=2^(a+b[+|a-b[=屈=4,

即J+6+3的最小值是4,最大值是2、口

方法二：（向量法）

如图6A=£6B=b-a^=OC-；-b=BA

设|一一|一一

a+耳=2m,a-b=2n.

在中，2222

MBCOA+6B=2(m+n)

2,25

m+n=—

由

所以

m

又在△

>OB=2

OBD中,

所以

v++(a-b)

5

22

|a+b|+|a-b<2v5

22

(|a^+|a-bp=2a+2b+|a+b||a-b|

>2+8+2(a-b)(a+b)

-2-2

=10+2a-b

=16

.•.4率w卡q幺G

【考点】平面向量模长运算

【解题思路】本题通过设向量1,6的夹角为8,结合模长公式，可得

|a+b|+|a一,=V5+4cos0+V5-4cos6,再利用三角函数的有界性求出最大、最小值，属

中档题，对学生的转化能力和最值处理能力有一定的要求.

_4

17.已知a£R,函数f(x)*x+--a|\在区间［1,4］上的最大值是5,则a的取值范围是

【答案】(_8,—］

【解析】

方法一：分类讨论法

X€[1,4],X+^e[4,5],分类讨论:

①当a>5时，f[x)=a-x---¥a=la-x-—,

多,舍去；

函数的最大值2a-4=5二a

4

②当a<4U'J\f(x)=x-a+a=x+<5,此时命题成立;

xx

-a+a,5-a+a},则：

③当4<a<5时，f(x限x=max(4

4-a+a?5-a+a4-ta<|5-a|十a9g

或,解得：a=一或a<-

4-a|+a=55-a|+a=522

综上可得，实数a的取值范围是

方法二：解不等式

卜”卜维5.

由题意可得:

444

即pc+——。45—。—54x+——oW5—2。-54x+—W5

XXX

又因为x+±w[4,5)

X

当XE1,4】时，

4

右边x+45恰好成立。

x

左边2a-5<(x+-)min=4

X

方法三(换元法)

令t=x+&,xe.4]，t©。,5】

x

令g(t)=-a+a，由题意可得g(t)max=5

易知max{g⑴，g(5)}=5

q(4)=5fl4-a=5-a9

91得小得a一

、g(5)45[j5-a|<5-a2

q(4)454-a|45-a9

或产,得，(得a/

@5)=5[]5-a=5-a2

【考点】基本不等式、函数最值

【解题思路】本题利用基本不等式，由xwkl得X+-e14,5],通过对解析式中绝对值

X

符号的处理，进行有效的分类讨论：①a25；②a44；③4<a<5,问题的难点在于对分

界点的确认及讨论上，属于难题.解题时,应仔细对各种情况逐一进行讨论.

19.(本题满分15分)如图，己知四棱锥P-ABCDAPAD是以AD为斜边的等腰直角三角

形，BC//AD,

CD1AD,PC=AD=2DC=2CB,E为PD的中点.

P

(I)证明：CE//平面PAB;

(II)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.

Jn

【答案】(I)见解析；(n)—.

8

试题解析：

(1)如图，设PA中点为F,连接EF,FB.

因为E,F分别为PD,PA中点，所以

且EF=gAD,

又因为BC//AD,BC=-AD,所以

2

EF//BC且EF=

BC

即四边形BCEF为平行四边形，所以

CE//BF

因此

CE//平面PAB.

(2)

方法一：直接法

分别取BC.AD的中点M连接尸N交EF于点。，连接MQ.

因为E,F,N分别是PDFAAD的中点，所以Q为EF中点，

在平行四边形BCEF中，MQ//CE

由AP4D为等腰直角三角形得，PNXAD

由刀C14D,N是/D的中点得,5田14D.

所以乂平面PBN,

由BC//AD得，BC_L平面PBN.

那么，平面PBCj_平面PBN.

过点Q作PB的垂线，垂足为H,连接MH.

MH是MQ在平面PBC上的射影，所以NQMH是直线CE与平面PBC所成的角.

设CD=1.

在△PCD中，由PC=2,CD=1,PD=6得CE=72,

在△PBN中，由PN=BN=1,PB=S得QH=

4

在RtZXMQH中，QH=!-.MQ=&,

4

所以

sinZQMH=—,

8

所以直线CE与平面PBC所成角的正弦值是迎.

8

方法二：坐标法

取AD的中点0,连接PO.OB

△PAO是等腰直角三角形，PO±AO

在直角梯形AOCB中，BC1OB

BCX平面POB,BC1PB

得CD—BC=2,AD=PD=4

PO=BO=2,PB=2v3,ZPOB=120°

建立如图所示坐标系

B(2,0,0),0(2,2,0),D(0,2,0),P",同氏-#*)

BC=(Q20),BP=(T0,6).

平面BPC的法向量为n=(1,0,弼

所以cos怖叫猫嗑臂-e

所以直线CE与平面PBC所成角的正弦值是3

8

方法三：直接求高法

CE=2、5,作EHJ•平面PBC于H,

EH

则sin0=------.

CF

E到平面PBC的距离是D到PBC的距离的

2

v0D〃平面PBC

.•.0到平面PBC的距离就是D到平面PBC的距离.

・・・EH=

2

1

・•A26

..sinb=——=—

2728

所以直线CE与平面PBC所成角的正弦值是—

8

【考点】证明线面平行，求线面角

【解题思路】本题主要考查线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定

理，属于中档题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的

关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位

线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平

行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.本题（1）是就是利用

方法①证明的.另外，本题也可利用空间向量求解线面角.

北京卷

1、【2017年高考数学北京理1】若集合“/八v„“一-I，则

A=<x-2<x<1）B={txx<-1或x>3）

A「B=（）•

A,（x1-2<x<-1}B，（x2<x<3}

C.{x-1<x<1}D.f,

{x1<x<3}

【答案】A

【知识点】集合的交运算

【试题分析】本题考查考生的运算能力.属于基础题.

【解析】

解析一（直接法）由集合交集的定义可得/（13=卜卜2<“<一1}'故选人・

解析二（排除法）从题干入手，注意到特殊元素0和2,易得

Oe4O比8则04/C3,排除B和C,再根据2任42任瓦贝收任排除D,

故选A.

解析三（特殊值法）从选择支入手，令x=0,得0eA,oeB,则0WAcB排除8和C-

3333

再令x得：B,则B,排除D,故选A.

2222

2、【2017年高考数学北京文11]已知X...0，y...O■且X+y=1，则X2+y2的取值范围

.

【答案】1

[?1]

【知识点】直线与圆的综合，不等式的范围问题

【试题分析】本题考查数形结合思想，转化与化归思想的应用，考查考生的运算求解能力.属

于中档题.

【解析】

解析一：由已知得：y=1-X,代入X?+y2,得x?+y2=x2+(1-x)2=2X2-2X+1

12112

=2(x—)+-,x€[0,1],当x=0或x=1时，取得最大值1,当乂=一时，取得最小值

2222

所以X?+V的取值范围是[1,1].

2

解析二:

设直线X+y=1与两坐标轴的交点分别为A(0,1),B(1,0),点P(x,y)为线段AB上一点,

则P到原点的距离为P0|=qY+y*2粤刁=匹又P。4A0=1,

v'TV2

所以亚所以x?+y2的取值范围是二1].

22

r

解析三：_+2+2

由基本不等式得：当X>0,y>0时,、，％4三<W匕，

可得：当x>0,y>0时,2y)--x2+y2,根据条件x+y=1,得：x?+y?2^；

当x,y有一个为0时，结果显然成立.

另一方面，当x20,y20时，x2+y2<x2+y2+2xy=(x+y)2=1.

所以x?+y2的取值范围是

2

解法四：由已知条件得：设x=sin30,则V=cos29•

x2+，=sir)40+cos40=(sir)26+cos26)2-2sin20cos29=1--sin22®e[-,1].

22

221

所以X+y的取值范围是[一,1].

2

解tJfS.•

由已知条件得：令X2+丁=r2(r>0)1则可设x=rcos^,y=rsin0,^e[0,—].

2

根据x+y=1得：rsin。+尸856=1：可得：7^碗6?+—)=1,

4

即:/=---------因,当]

、反而6+为2444

4

7t<2<221

即：sin(e+)q、，1],所以：r€[、,1],re[,1],

4222

+y2的取值范围是

所以x

2

3、【2017年高考数学北京理[1]在极坐标系中，点A在圆「-2Pcose-4Psin0+4=0

【答案】1

【知识点】点与圆的位置关系，圆的极坐标方程

【试题分析】本题主要考查圆的极坐标方程，点与圆的位置关系，意在考查化归与转化、运

算求解能力.属于中档题.

【解析】

解析一：将圆的极坐标方程化为直角坐标方程为：x2+y2_2x_4y+4=()

即：(X1)

1,圆心为(1,2),半径r

(y2)一十一=>

点P的直角坐标为(1,0),点P到圆心的®离=~-p1)2(02)221,

所以：P占在圆外，所以APmindr211.

解曲力腱»为标方程化为直角坐标方程为：，+八2x-分+4=。,

即仆-1尸+。-2尸=1,圆心为。2)泮径r=1一

将圆的直角坐标方程再化为参数方程，可得：｛；;端妫参数).

设4(1+cos8,2+血8)则\AP\=-^1+cos^-I)2+(2+SID0y=J8s?8+♦，8+4•?+4

即NP|=j5+4sinew[L3]

所以的最小值为1.

—=-<<<

解析三：将圆的极坐标方程化为直角坐标方程为:22

xy2x4y40,

即：(x1)2(y2)21,圆心为(1,2),半径r1.可得：(y2)21,8P：1y3.

设A（x,y）（14y43）,则：AP=7（x-1）2=^-（Y-2）2+y2=V4y^3e[1,3].

所以AP|的最小值为1.

4、【2017年高考数学北京理15】在△ABC中，_A=60：；3

-c=-a

7

⑴求sinC的值；

⑵若a=7,求4ABC的面积.

⑼⑴随

14

(2)6V3

【知识点】正弦定理，余弦定理

【试题分析】本题主要考查正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式.考查考生的运算求解

能力与解决问题的能力

.属于基础题.

【解析】

⑴△=°=

在ABC中，因为A60,c

7

=csinA=3'-J=3~3

由正弦定理得：sinC

a7214

(2)解析一：

_==+一

因为a-7,所以c-2-b2c22bccosA

3.由余弦定理a

+—XX-=

得：b?1

21

3=一2

2b3

7,

2J厂

△=—=—XXX-^―=J

解得：b8或b5（舍）.

所以ABC的面积S1besinA183363.

«222

解析二：当a=7时，c=3,

3

sinC=3,c<a

14

...cosC-sin2C=­­

14

△ABC中

sinB=sin[n-(A+C)]=sin(A+C)

=sinAxcosC+cosAxsinC

史

214214

_还

一~7~

所以AABC的面积S=-acsinB=-x7><3x-=6v3.

227

解析三：如图所示：

过点B作BG_LAC,垂足为G点.

在45G中，如4=也=走,

AB2

融沪3V33

解倚：BRGR=,AG=.

22

在RtABCG中，CG=<BC2-BG2=—,

2

即：b==+CG=8.

AC

AG

△=-=-XXX1=

113

所以ABC的面积SbesinA8363.

222

A

江苏卷

2017年江苏卷第5题：若tan【or::,则tana=

o

【答案】7

5

【知识点】两角和与差的正切公式

【试题分析】本题主要考查了两角和与差的正切公式，属于基础题。

解法一：直接法

n

tana-tan7

由tan(a--)=工，得------------生-=一，故可知tana=-

461+tan—tana65

4

解析二：整体代换

1

-7

7r7tan(a—)+tan—6+1

4==

tana=tan[(a-)+'3="6

15

441-tan(a-?ta*

解法三：换元法

,n,1n.,.;t、tant+17

令a—=t,贝ijtant=-,a=—+t.所以tana=tan（t+—）=-----------=-

46441-tant5

2017年江苏卷第9题（5分）等比数列｛丽的各项均为实数，其前n项为&,已知&=1,

4

S6&,则as=

4-----------

解：法一：设等比数列｛4｝的公比为行1，

6

••<_7.63.ai(l-q3)7(l-q)63

44l-q41-q4

解得fli—,q=2.

4

则08—X27=32.

4

故答案为：32.

法一:Sg_S3=---------=14=84+@5-%

44

a4+a5+a6314c

-----------------=q=亍=8

a+a2+a31

4

7.a,(1-Q3)7

117

o3=—.•------------得和=4■，则a®=4-X2=32.

4,1-q444

、土一s&+a2+aa+&+a5+a$-3c

法二：一6=---------------------------=1+q=9

S3+a2+为

・・・q=2

a,ll-q)7117

—i------------7得31=4，则38=4-x2=32.

1-q4,44

2017年江苏卷第15S（14分）如图，在三棱锥A-BCD中，AB±AD,BCXBD,平面ABD.

平面BCD,点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD,BD±,且EFlAD.

求证：（1）EF〃平面ABC;

(2)AD±AC.

法一：(D在平面羽。内5LtD,EF±AD，则期”即「・・押＜2平面抽。,EFa平面ABC,，呼”

平面ABC.

(2)：BC1BD,平面4BZ)n平面BCD^BD,平面抽。1平面BCD,3Cu平面5CD,，3CJ_平面

犯。「♦/£0(=平面.45。，・・.5。，/(0・・314。，3cZBu平面/1BG3。。加=3,・.加1平

面HSC,又/CU平面4BC,.\AD1AC.

法二：

在线段CD上取点G,连结FG、EG使得FG〃BC,则EG〃AC,

因为BC1BD,所以FGXBD,

又因为平面ABDL平面BCD,

所以FG_L平面ABD,所以FG_LAD,

又因为AD±EF,且EFnFG=F,

所以AD,平面EFG,所以AD±EG,

故ADLAC.

法三：在线段CD上取点G,连结FG、EG使得FG〃BC,则EG〃AC,

VBC±BD,/.FG±BD,

又二平面ABD_L平面BCD,

・・・FGJ_平面ABD,所以FG1AD,

又因为AD±EF,且EFnFG=F,

AD,平面EFG,

又•・•FG〃BC,则EG〃AC,

・・・平面EFG//平面ABC

・•.AD_L平面ABC,

又•・.ACa平面ABC.

・•・ADIAC.

全国III卷

1、【2017年高考数学全国三卷理.已知函数f(X)=x2-2*+2e1+6」*)有唯一

零点,则a=

A.---B.-C.-D.1

232

【答案】C

【解析】

解法一：换元法

令f=x-l,则/⑺=户一1+。(/+e“)是偶函数,

有唯一零点可得：/(0)=0,.故选C.

解法二：单调性法

函数f(X)的零点满足X2-2x=-a(eXJ-+ej+),

•n,\x-1-,-xHtf..X4.-X+XJ.1e()-1

设g(x)=e+e，则g(X)=e-e=e=—7j—,

ee

当g'(x)=0时，x=1；当x<1时，g'(x)<0,函数g(x详调递减；

当x>1时，g'(x)>0,函数g(x弹调递增，

当x=1时，函数g(x取得最小值，为g(1)=2.

设h(x)=x2-2x,当x=1时，函数h(x瓢得最小值，为-L

若-a>0,函数h(x卢函数-ag(x干殳有交点；

若-a<0,当-ag(1)=h(1附，函数h(x刑-ag仅有一个交点，

即-ax2=-1,解得a=-.故选c.

2

解法三：对称性

f(x)=x2-2x+a(e"+「)可得

f(2-x)=(2-x)2_2(2-x)+a(e"，+e3)‘)

=x2-2x+ag'，+e**)

f(2-x)=f(x),即x=1为方程的对称轴.

f(x)有唯一零点，f(x)的零点为x=1,

即f(1)=0,解得a=一.故选c.

2

【考点】函数的零点；导函数研究函数的单调性，分类讨论的数学思想

【思路分析】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即

可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数

图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用.

2、【2017年高考数学全国三卷理12】12.在矩形ABCD中，AB=1,AD=2,动点P在以点C

为圆心且与BD相切的圆上.若AP=ZAB+MAD,则入+N的最大值为

A.3B.2&C.<50.2

【答案】A

【解析】

方法一：特殊值法

2<5

x=2,y=1+---

5

入+N=%+y=1+>2>2,故选A

25

方法二：解析法

如图所示，建立平面直角坐标系

设A(0,1)B(0,0)C(2,0JD)PK，y,)

224

易得圆的半径r=-=,即圆C的方程是（x-2）+y2=-

AP=(x,y-1)AB=(0,-1)AD=(2,0)，若满足AP=XAB+MAD,

仅=2MXX

则N=一,%=1—y,所以/.+M=—y+1,

[y-1=-A,22

XX224

设2=—y+1,即—y-z=0,点P(x,y施圆(x-2)+y=—±,

225

x|2-zl2

所以圆心（2,0）到直线一一y+1-z=0的距离d4r,即解得1«zW3,

2后石

所以Z的最大值是3,即入+从的最大值是3.故选A.

解法三：等和线法

点P在直线m上时,op=Aex+〃电:其中为=（LO）,^=（0.D

点P在直线m上运动时，A+//=3

点P在直线n上运动时，/+"是常数,

直线m,n叫等和线

如图：由等和线相关知识可知，当P点在如图所示位置时，％+B最大，且此时若

AG=xAB+yAD,则由九+B=x+y,由三角形全等可以得AD=DF=FG=2,知

x=3,y=0,所以选A

【考点】平面向量的坐标运算；平面向量基本定理

【思路解析】（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进

行向量的加、减或数乘运算.

（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结

论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决

x+1x

3.（2017年高考数学全国三卷理15]15.设函数f（x）=4''一，则满足

2,x>0

f（X）+f（X」）>1的X的取值范围是

2---------

【答案】卜:，

【解析】

解法一：直接法

令g(x)=/(x)+/

、3

当xWO时，^(x)=/(x)+/x-1=2x+—;

2

当时，g(x)=〃x)+/=2,+x+—

2

当J时,g(x)=〃%)+/1卜=(应+2,1,

2x+-,x<0

2

写成分段函数的形式：g(x)=f(x)+fx--l'=^2x+x+-,0<x<-,

2J22

(72+2)2X-L,x>-

2

0,11仕，f〕三段区间内均单调递增,

函数g(x位区间(-*,01,0,-

2」12

且g1=1,2°+0+^>1,(^2+2户2°。>1，可知x的取值范围是(一；，〜

解法二：图象变换法:

函数y=f(x),y=f(x--)在R上都是增函数

L个单位得y=fIx--［的图象。

y=f(x)向右平移

2、.2J

观察图象，xNO时，f(x)-f(x>1

2

x<0时，f(x)-f(x--)=x+1-x--+1>1

所以-1<x<0

4

方法三：图象转换法

(+<

，(X)=$.x>

f(x：)y1f(x)

即-2与=-的图象如图所示：

【考点】分段函数：分类讨论的思想

【解题思路】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后

代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值.

(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后

求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值

范围.

4、已知函数f(X)=|X+1|-|X-2|.

(1)求不等式f(X)>1的解集；

(2)若不等式f(X)2X?-x+m的解集非空，求m的取值范围.

【答案】(1)乂*±1};(2)工,51

4一

【解析】

试题分析：(1)将函数零点分段然后求解不等式即可；(2)由题意结合绝对值不等式的性质有

卜+1|-则用的取值范围是1-8,2

4I4

方法一：零点分区间讨论法

—3,x<—1

f(x)=，2x-1,-1<x<2

3,x>

2

当x〈一21无解；

1时,f(x)

£4244

当-1x2时，f(x)1得，1x2；

>2>

当x2时，f(X)1得，X2

综上所述：f(x)1的解集为{x|x1}

解法二：几何意义法：

实数X到-1的距离与到2的距离只差等于1的位置即x=1的位置，大于等于1即X1.所

以f(x)1的解集为{x|x1}.

-12

解法三：

构造函数法：

一<-

3,x14

=——S4

f(x)2x1,1x2

3,x

2

g(x)1图象

画出f(x)=|x+1||x-2|的图象和

两图像交点的横坐标为x1

所以不等式的解集为{X|X21}.

(2)由一X+m得卜+1|一卜一/-Y+X,而

|x+l|—|x-2|—x2+x<|x|+l+|x|-2-x2+|x|=—1+泻，

45

且当时，,+1卜卜一2卜/4-X=—.

24

5

故M的取值范围为-QD,—

4

【考点】绝对值不等式的解法

【思路分析】绝对值不等式的解法有三种:

法一：利用绝对值不等式的儿何意义求解，体现了数形结合的思想;

法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想;

法三：通过构造函数，利用函数的图象求解.，体现了函数与方程的思想

全国II卷

【理数10题】已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，ZABC=120AB=2,BC=CG=1,

则异面直线ABi与BG所成角的余弦值为()

A,直B.巫C.巫D.直

2553

【答案】C

【考点】线面角

解法一：补形法：将原几何体补成四棱柱HSCD-44GP厕所求角为

aM

BD=V22+l-2x2xlxcos60°=",G。=-"I=避，因此cosNBC\D=故本题答案

为C

111

*]»*1K

解法二：向量法：取空间向量的一组基底为{BA,BC,BBib则AB1=BBl-BA.

BQ=BC+CCi=BC+BBi,易知|ABi=后，BCi=72.

AB,BCi=(BB,-BA)(BC+BBi)=BB1BC+BB,-BABC-BAB&=2,

所以异面直线AB】与BG所成角的余弦值为

—――-IABiBCi2v'10

cos<ABi,BCi>=；—r—；=—/=-产=-----,故本题答案为C.

|ABi|]BCIV2V55

解法三：建系法：如图所示，以垂直于BC的方向为x轴，BC为y轴，BB,为z轴，建立

空间直角坐标系，则BI(0,0,1),A(6T,0),BG=(0,1,1),AB1=(-由,1,1)，所以异面直

线AB1与BG所成角的余弦值cos。=/旦百/工==1厂=工，