第08讲函数的奇偶性及周期性（解析版）

第8讲函数的奇偶性及周期性1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．常用结论1．函数奇偶性的常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．函数周期性的常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．(2)若f(x＋a)＝eq\f(1,f（x）)，则T＝2a(a>0)．(3)若f(x＋a)＝－eq\f(1,f（x）)，则T＝2a(a>0)．考点1函数的奇偶性[名师点睛]1.函数具有奇偶性包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域．(2)判断f(x)与f(－x)的关系．在判断奇偶性时，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立．2.利用函数奇偶性可以解决的问题(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值．(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出．(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得方程(组)，进而得出参数的值．(4)画函数图像：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图像．(5)求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函数值．[典例]1．（2022·全国·高三专题练习）判断下列函数的奇偶性：（1）f(x)＝＋；（2）f(x)＝(x＋1)；（3）f(x)＝.（4）f(x)＝【解】（1）由得x＝±3.∴f(x)的定义域为{－3，3}，此时f(x)＝0.即f(x)＝±f(－x)．∴f(x)既是奇函数，又是偶函数．（2）由得－1<x≤1.∵f(x)的定义域(－1，1]不关于原点对称．∴f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．（3）由得－2≤x≤2且x≠0.∴f(x)的定义域为[－2，0)∪(0，2]，关于原点对称．此时，有f(x)＝＝，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．（4）当x>0时，f(x)＝－x2＋2x＋1，－x<0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)－1＝x2－2x－1＝－f(x)；当x<0时，f(x)＝x2＋2x－1，－x>0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＋1＝－x2－2x＋1＝－f(x)．所以f(x)为奇函数．2．（2022·山东·青岛二中高三期末）设函数的定义域为R且满足是奇函数，则f（2）=（

）A．－1 B．1 C．0 D．2【答案】C【解析】令，因为为奇函数，所以，故选：C.3．（2022·河南·高三阶段练习）已知为奇函数，当时，，则当时，（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为为奇函数，所以，即．当时，，．故选：C4．（2022·江苏南通·模拟预测）若函数为奇函数，则实数的值为（

）A．1 B．2 C． D．【答案】D【解析】由为奇函数，所以，所以，可得，解得，当时，的定义域为，符合题意，当时，的定义域为符合题意，故选：D[举一反三]1．（2022·海南海口·模拟预测）已知函数，则下列函数是奇函数的是（

）A．f(x)+1 B．f(x)－1 C．f(x+1) D．f(x－1)【答案】C【解析】的图象是由的图象向右平移1个单位得出的，因此其图象关于点对称，只有把的的图象向左平移1个单位，图象才会关于原点对称，所以只有，是奇函数．故选：C．2．（2022·山东菏泽·高三期末）设函数，的定义域分别为F，G，且.若对任意的，都有，则称为在G上的一个“延拓函数”.已知函数，若为在上的一个延拓函数，且是偶函数，则函数的解析式是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：是偶函数定义域关于原点对称对于选项A：是偶函数，当时，，则不满足条件，A错误；对于选项B：当时，无意义，则定义域不满足条件，B错误；对于选项C：是偶函数，当时，，满足条件，C正确；对于选项D：当时，无意义，则定义域不满足条件，D错误；故选：C3．（2022·江苏省昆山中学高三阶段练习）已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，则（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】解：若为奇函数，则，令，则，即有，又为偶函数，可得，令，则；故选：C．4．（2022·北京四中高三阶段练习）若函数f（x）是奇函数，当时，，则（

）A．2 B．-2 C． D．【答案】C【解析】由奇函数得，而得故选：C5．（2022·江苏·二模）已知函数为偶函数，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为为偶函数，所以，即解之得，经检验符合题意.则由，可得故的解集为，故选：B.6．（2022·全国·高三专题练习）设，满足，则（

）A． B． C． D．6【答案】B【解析】可化为：.记，定义域为R.因为，所以在R上单调递增.又，所以为奇函数.所以由可得：，所以2.故选：B7．（2022·湖北武汉·二模）若一个偶函数的值域为，则这个函数的解析式可以是___________.【答案】（答案不唯一）【解析】取，函数的定义域为且关于原点对称，，所以函数为偶函数.，即所以函数的值域为.故答案为：（答案不唯一，其它正确答案同样给分）.8．（2022·全国·高三专题练习）设为定义在上的奇函数，当时，，则_______．【答案】－3【解析】∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)＝0，∴m＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝－3，故答案为：－3．9．（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）已知函数是奇函数，则___________.【答案】【解析】由题意，函数为定义域上的奇函数，则有，所以，可得.故答案为：10．（2022·上海宝山·二模）如果函数是奇函数，则__．【答案】【解析】设，.故答案为：11．（2022·全国·高三专题练习）判断下列函数的奇偶性：（1）f(x)＝＋；（2）f(x)＝(x＋1)；（3）f(x)＝.【解】（1）由⇒x2＝1⇒x＝±1，故函数f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称，且f(x)＝0，所以f(－x)＝f(x)＝－f(x)，所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数．（2）因为f(x)有意义，则满足≥0，所以－1<x≤1，所以f(x)的定义域不关于原点对称，所以f(x)为非奇非偶函数．（3）因为所以－2≤x≤2且x≠0，所以定义域关于原点对称．又f(－x)＝＝，所以f(－x)＝f(x)．故函数f(x)为偶函数．12．（2022·北京·高三专题练习）已知定义在上的奇函数满足，且当时，.(1)求和的值；(2)求在上的解析式.【解】(1)满足，，.(2)由题意知，.当时，.由是奇函数，，综上，在上，13．（2022·全国·高三专题练习）若函数是奇函数，是偶函数，且其定义域均为.若，求，的解析式.【解】依题意，函数是奇函数，是偶函数，解得，.考点2函数的周期性[名师点睛]1．判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．2．根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．[典例]1．（多选）（2022·江苏·涟水县第一中学高三期中）已知是上的奇函数，是上的偶函数，且当时，，则下列说法正确的是（

）A．最小正周期为4 B．C． D．【答案】BCD【解析】因为是偶函数，所以，又因为是奇函数，所以，所以，所以，所以，所以的周期为，故A错误；又当时，，所以，选项B正确；，选项C正确；，选项D正确.故选：BCD.2．（2022·江苏·华罗庚中学高三阶段练习）已知是定义在上的函数，对任意实数都有，且当时，，则______．【答案】【解析】因为，则，故可得，故的一个周期为，则，对，令，故可得.即.故答案为：.[举一反三]1．（2022·湖北武汉·二模）定义在上的函数满足，则下列是周期函数的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】依题意，定义在上的函数满足，所以，所以是周期为的周期函数.故选：D2．（2022·安徽蚌埠·三模）已知定义域为的偶函数满足，，则（

）A． B．-1 C．1 D．【答案】C【解析】解：因为函数是定义域为的偶函数，所以，又因为，所以，则，即，所以周期为，因为，，故选：C3．（2022·陕西咸阳·二模）已知函数为定义在上的奇函数，且，则（

）A．2019 B．3 C．-3 D．0【答案】D【解析】因为函数为定义在上的奇函数，所以，令x=0得：，即.因为，所以为周期T=3的周期函数，所以.故选：D4．（2022·江苏·二模）已知是定义域为R的偶函数，f(5.5)＝2，g(x)＝(x－1).若g(x＋1)是偶函数，则＝(

)A．－3 B．－2 C．2 D．3【答案】D【解析】为偶函数，则关于对称，即，即，即，关于对称，又f(x)是定义域为R的偶函数，∴，∴f(x－4)＝f[(x－2)－2]＝－f(x－2)＝－[－f(x)]＝f(x)，即f(x－4)＝f(x)，周期为，∴，.故选：D.5．（多选）（2022·河北·模拟预测）若函数（）是周期为2的奇函数．则下列选项一定正确的是（

）A．函数的图象关于点对称B．2是函数的一个周期C．D．【答案】AC【解析】函数是奇函数，，函数图象关于点对称，故A正确；函数是周期为2，所以的周期为4，故B错误；函数是周期为2的奇函数，，故C正确；，无法判断的值，故D错误.故选：AC.6．（多选）（2022·江苏泰州·模拟预测）已知定义在上的单调递增的函数满足：任意，有，，则（

）A．当时，B．任意，C．存在非零实数，使得任意，D．存在非零实数，使得任意，【答案】ABD【解析】对于A，令，则，即，又，；令得：，，，，则由可知：当时，，A正确；对于B，令，则，即，，由A的推导过程知：，，B正确；对于C，为上的增函数，当时，，则；当时，，则，不存在非零实数，使得任意，，C错误；对于D，当时，；由，知：关于，成中心对称，则当时，为的对称中心；当时，为上的增函数，，，，；由图象对称性可知：此时对任意，，D正确.故选：ABD.7．（2022·上海市建平中学高三阶段练习）函数是以π为周期的奇函数，且，那么___________．【答案】【解析】由题可知，.故答案为：.8．（2022·湖南·长沙市南雅中学高三阶段练习）设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x，则＝________.【答案】－1【解析】因为f(x)是周期为2的奇函数，所以f＝－f＝－f＝－1.故答案为：-1考点3函数的对称性[名师点睛](1)若函数f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图像关于直线x＝eq\f(a＋b,2)对称．(2)若函数f(x)满足f(a＋x)＝－f(b－x)，则y＝f(x)的图像关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)，0))对称．(3)若函数f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则函数f(x)的图像关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)，\f(c,2)))对称．[典例]1．（2022·黑龙江·哈尔滨三中三模）定义在R上的函数满足以下三个条件：①对于任意的实数，都有成立；②函数的图象关于y轴对称；③对任意的，，，都有成立.则，，的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】解：由题意，因为函数的图象关于y轴对称，所以，所以，所以函数的图象关于对称，又，所以，即，因为，所以函数是周期为4的函数，所以，，，因为，且，所以，所以函数为奇函数，又因为对任意的，，，都有成立，即，所以函数在上单调递增，所以函数在上单调递增，因为，所以，故选：B.2．（2022·福建福州·三模）定义在上的函数满足.若的图象关于直线对称，则下列选项中一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】函数的图象关于直线对称，则必有，所以，,,又因为满足，取，所以，，，则，取，则，A对；故选：A[举一反三]1．（2022·安徽蚌埠·模拟预测）若幂函数满足，则下列关于函数的判断正确的是（

）A．是周期函数 B．是单调函数C．关于点对称 D．关于原点对称【答案】C【解析】由题意得，即，故，令，则，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；所以，因此方程有唯一解，解为，因此，所以不是周期函数，不是单调函数，关于点对称，故选：C.2．（2022·全国·模拟预测）已知定义在R上的奇函数的图象关于直线对称，且在上单调递增，若，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由函数的图象关于直线对称可得，结合奇函数的性质可知，.由奇函数的性质结合在上单调递增可得在上单调递增，所以，所以.故选：C3．（2022·山西太原·二模）已知函数，则（

）A．在上单调递增 B．在上单调递减C．的图象关于直线x=1对称 D．的图象关于点对称【答案】C【解析】因为，，所以，所以A不正确；因为，，所以，故B不正确；因为，所以的图象关于直线x=1对称，故C正确；在的图象上取一点，则其关于点的点为，因为，所以点不在函数的图象上，故的图象不关于点对称，故D不正确.