考点18裂项相消法（1月）（期末复习热点题型）（人教A版2019）（解析版）

考点18裂项相消法

一、单选题

11W11

1.已知正项数列｛《,｝满足%=1,—+—--------=4,数列也,｝满足

（见+1八

111

T~=——+一，记｛5｝的前附项和为，，则与。的值为

2。济Ian

A.1B.2

C.3D.4

【试题来源】陕西省西安市第一中学2020.2021学年高二上学期期中（理）

【答案】B

所以数列'44是以4为公差，以1为首项的等差数列，所以1=1+4（〃-1）=4〃-3,

因为a.>0,所以二"7」一，所以;=^—+'=/4"+1+：4〃-3,

J4n-3bnan+ian

所以，=T"币一瓦f所以写用+仇+••♦+%

=-(V5-l+3-V5+V13-3+---+9-V77)=-x(9-l)=2,故选B.

44

2.已知等差数列｛4｝,%=5，/=8,则数列1」一的前〃项和为

[4A+1J

In

A.B.

n+l〃+l

n-\n-l

C.D.

nn+l

【试题来源】陕西省咸阳市实验中学2020-2021学年高二上学期第二次月考（文）

【答案】B

【解析】设等差数列｛%｝的首项为6,公差为”,

1a,++74J公=葭5所以|=1

因为=5,%=8,所以＜,1,所以=〃，

a=l

11_11,所以数列,」一I的前〃项和为

77+1

anan+]〃(〃+1)naa

nn+\J

11111111,1

-----1-------1------F•••H---------=1------=-----；故选B.

122334nn+1〃+1"+1

【名师点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向,

突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧:

(1)(1---:⑵I-------T_T〃+_卜

n[n+k)k\nn+kJy/n+k+y/nk''

1_\(11A

(2n-l)(2n+l)2(2”-12n+1J'

ijr___i____________i______'

n(n+l)(n+2)2+++

此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.

,.4f11

3.已知数列｛4｝的各项均为正数，4=2,an+1-an=a,若数列j的

前〃项和为5,则〃=

A.119B.121

C.120D.122

【试题来源】河北省石家庄市正中实验中学2020-2021学年高二上学期第三次月考

【答案】C

【解析】由题意，数列｛%｝的各项均为正数，4=2,an+i-an^—

可得d+i-a；=4,所以数列｛叫是以4首项，公差为4的等差数列,

所以片=4〃，可得4=2而又由号,篇+«=；（内-」），

前〃顶和S“=万（'\/2—1+5/3—+,,,+J"+1—

令—=解得〃=120.故选C.

【名师点睛】裂项求和的方法与注意点：

（1）裂项相消法求和：把数列的通项公式拆成两项的差，在求和时中间的一些项可以相互

2

抵消，从而求得数列的前〃项和；

（2）使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项，且不

可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点.

2

4.已知数列｛《J满足q=1,an+l-an+2+，则4o=

【试题来源】吉林省通榆县第一中学2020-2021学年高三上学期期中考试（理）

【答案】B

2

［解析］由«„=a+———可得an+\3=］

+1nn+n+\nn+\)

所以%=(q,—an_2)+(a„_2-4T)+•.•+(%-4)+4

(1>2214

=21—+1=3—,所以Go=3---=—.故选B.

In)n10105

5.已知数列｛4｝中，%=1,前〃项和为S“，且点P（凡,a“+I）（〃eN*）在直线x—y+l=0

1111

上，7则--1-1-----------1------1---F…H----------------=

―'—1八JCC*C。

»2»3»2019

20192019

A.----B.----

20201010

20192019x2020

C.----D.----------

40402

【试题来源】宁夏大学附属中学2020-2021学年高二上学期期中考试（理）

【答案】B

【解析】点夕（。“，氏+1）（〃€"*）在直线1-丁+1=0上，所以4用=。“+1,即

所以｛%｝是以1为首项，公差为1的等差数列，即4=〃，S,尸史必，

3

12]__1

所以匚许2

n〃+1

11112」+」+...+111

------1--------1--------F•••4---------

I223

S1S2S3^2019201920202020

2019

=-----.故选B.

1010

【名师点睛】裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关

联，那么常选用裂项相消法求和，注意通项“分裂成两项差''的形式之后是不是还有系数.

已知数列｛4｝满足q=',a=a+'一，则a

6.n+]nn

2〃

3

A.B.2--—

2n"+1

131

C.1-D.一+一

n+12n

【试题来源】宁夏六盘山高级中学2021届高三上学期期中考试（文）

【答案】A

【解析】由"用=%+”得％1

H2+nn/+1

所以=4+(。2_01)+(%-〃2)+.,,+(%

一an-\

1,111113

=—F1----1------------1-------1------------—----.故选4.

2223n—\n2n

7.设数列｛勺｝满足4=2,4=6,且an+2-2an+i+a“=2,若［x］表示不超过x的最大整

10241024...1024

数,则+++

。2《024

A.1022B.1023

C.1024D.1025

【试题来源】江苏省无锡市太湖高级中学2020-2021学年高二上学期期中测试

【答案】B

【解析】由an+2-2q,+i+6,=2n«„+2-。,用一用一4)=2，设a-an,则

b〃=2,｛2｝为等差数列，4=。2-4=4,公差为d=2，故a=2〃+2,

b,”[=2n=a“-a吁],an_r-an_2=2(n-\),…，a2-at=2x2,

___1_11

叠加得4—4=("+2)("-1),化简得%="+”,故一=,所以

an〃(〃+1)nn+1

4

102410241024

---------F--------+・.•+

a\a2“1024

=1023故选B

2111

8.设等差数列｛为｝的前“项和为S“，且S4=彳羽，$6=21,若彳？+芯~+…+彳不＜4

恒成立，则2的最小值为

A.1B.2

C.3D.4

【试题来源】吉林省通榆县第一中学2020-2021学年高三上学期第四次质量检测（文）

【答案】A

【解析】设等差数列｛%｝的公差为d，

24x35x4

因为S4=1Ss，所以44+；—d-\5a+

3lt

整理得12al+18d=10q+20d,即q=d,

6x5

由§6=21,可得64+;一d=21即6q+15d=21,所以4=d=l,

所以s“=〃+皿心=3±n

22所以瓦=花环=­ui

<1,

〃+1

111

因为记+不f+…+不丁＜4恒成立，所以丸21，故4的最小值为1.故选A.

,、1

9.已知数列｛4｝的通项公式：+，则它的前〃项和是

〃+1n

A.------

n〃+1

〃+1

一.r“■2―

〃+1n

【试题来源】宁夏石嘴山市平罗中学2020・2021学年高二上学期第二次月考

5

【答案】B

111

【解析】

+nH+1

廿%H工「I111I1n

.•・其前〃项和S”=1+-------+・・・+------------1---故选B.

223n〃+1〃+1n+1

【名师点睛】本题重点考查了裂项相消法求解数列的前〃项和的问题，裂项相消法适用于通

mmm11)

项公式为/⑺口⑺+即形式的数列'即/(〃)・[/(〃)+“"/(〃)f(n)+d)

进而前后相消求得结果.

1

10.己知等差数列｛叫满足%-24=7,%=5,则数列＜，的前10项的和为

2211

A.—B.—

2323

2010

C.—D.—

2121

【试题来源】江苏省苏州市西安交大附中2020-2021学年高二上学期期中

【答案】D

1111

【分析】首先根据题意得到%=21,从而得到^羽一百,再利用裂

项法求前10项的和即可.

a5-2a1=4+4d-2。]=7a,—1

【解析】因为《=><公2'所以

%=q+2d=5

11111

所以—，数列〈卜的前10项的和等于

的,用(2n-l)(2n+l)2{2n-l2n+l4+iJ

]_10474

-+...+=—.故选D.

2k352121

11.数列〈＞的前几项和5〃=

71(/14-1)

n2n

A.B.------

n+1n+1

2/2+11

C.D.

+1)〃(〃+1)

6

【试题来源】湖南省张家界市民族中学2019-2020学年高一下学期第二次月考

【答案】A

1111

【解析】因为，所以数列〈■的前〃项和

〃(〃+1)nn+1

11

s〃=1-；+1-11_1+•••+=1----------故选A.

2334nn+1n+1n+1

数列｛4｝的前〃项和为S“，若%=〃（“[]），则S5等于

12.

5

A.B.一

6

1

C.D.—

630

【试题来源】云南省保山市第九中学2020-2021学年高二上学期第一次月考

【答案】B

1_[

【解析】由凡

n(n+1)n〃+1

所以S5=q+4+%+4+〃5=1一万+万一

35666

1£N),则Q[+%+4+…+々8()

3已知仁标T7

A.7B.8

C.9D.10

【试题来源】【新东方】杭州新东方高中数学试卷400

【答案】B

1y/n+l-GwN"),

【解析】因为a“二忑而金

所以％+4+。3+.-+%0=血_1+百_0+...+a_廊=9_1=8，故选B.

1+2+3+...+〃1

14.数列｛4｝满足对〃eN*）,则数列＜，的前〃项和为

n

n2n

A.-----B.----

〃+2n+2

7

2/7

D.

〃+1〃+1

【试题来源】2020-2021学年高二数学十分钟同步课堂专练（人教A版选择性必修笫二册）

【答案】B

〃(1+〃)14(11

【解析】依题意得—2—〃+1，，-----=；~~八7~~不=4—7——-

4=---=—a„all+i(〃+1)(“+2)+1n+2

n2

故选B.

2n+2Jn+2

n

15.定义---------------为〃个正数P|,P2,…,P,的“均倒数”,若已知数列｛。“｝的前〃项

P1+P2+…+P.

1111

的“均倒数”为一，又b“=aT，则TI-+TT-+…+三丁=

2A2物妙3她o

【试题来源】安徽省马鞍山市和县第二中学2019-2020学年高一下学期期中（文）

【答案】D

zXn1.

【解析】设数列｛q｝的前〃项和为S“，由题意可得『=五，则：S„=2n2,

当〃=1时，q=S1=2,当〃22时，a“=S“-S“_|=4〃-2,

且q=4x]-2=2,据此可得an=4n-2,

故"=m=2/一1,帅田二（2〃T）（2〃+1）=万（2〃一]—2〃+J'

111iFf,n（\H/11Yl1189〃，

则——+——+•••+----=-1——|+|-----+•--+-------=-x—=——,故选D.

b｝b2b2b3bMo2K3）U5）11719JJ21919

16.谈祥柏先生是我国著名的数学科普作家，在他的《好玩的数学》一书中，有一篇文章《五

分钟挑出埃及分数》，文章告诉我们，古埃及人喜欢使用分子为1的分数（称为埃及分数）.则

8

下列埃及分数百’而的和是

5x72019x2021

20201010

A.-----B.----

20212021

10092018

C.-----D.-----

20192019

【试题来源】江苏省南通市平潮高级中学2020-2021学年高二上学期期中

【答案】B

11111

【解析】因为/.----+-----+-----+…+

几(〃+2)2n〃+21x33x55x72019x2021

1111111010

I-~~~故选B.

233557"201920212021-2021

17.已知数列｛4｝的前〃项和S,,满足S,=〃（"+，，则数列＜—＞的前10项的和为

2［anan+\

89

-

A.9-B.W

1011

c.D.

T712

【试题来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学2020-2021学年高三上学期期中考试（文）

【答案】C

几(〃+1)zi(n-l)

【解析】当〃=1时，=5,=1,当〃22时，a-,一=n■

22

1111

检验4=1=E，所以a“=〃.设々=而寸T二二I,前“项和为小

4氏+1

则10=11+,110

1.1_L__L、*ITTT.故选c

23ioTT,

18.对于实数X,定义［x］表示不超过X的最大整数，已知正项数列｛q｝满足：4=1,

111

,其中S,,为数列｛%｝前〃项和，则------1--------F…H--------

q

5]S20100_

A.20B.19

C.18D.17

9

【试题来源】黑龙江省哈尔滨市三中2020-2021学年度上学期高三年级第四次验收考试（理）

【答案】C

【解析】由题意已知正数数列｛勺｝满足：

a\=LS”=；a„+—=；（5„-S,i）+-~~-,

an）2L

SH+S]=QC1,/.S〃；=S"T；]+]',

“一%-I

因为S1=q=l,所以，s；=〃，由于各项为正项，所以s.=JG,

故：4n+\jn-\<2G<Vn+T+4n,

111

=yfn+i-s/n\/n-y/n-l,

yjn+l+G26Vn+y/n-l

令5=1+[+・・・+白，则»>师一1>9=5〉18,

31“〉ioo2

S111Vioo-1=9,aps<2[9+|j=19,

因为S|=a=1,所以不一记=不不+-.+----<

]2S]（）o

从而⑸=18.故选C.

19.已知数列｛q｝满足：4=；4+1=4；+%，用国表示不超过X的最大整数，则

1

---------------1F•••H1的值等于

q+1--%+1------。2020+1--“2021+1

A.1B.2

C.3D.4

【试题来源】广东省深圳外国语学校2021届高三上学期第二次月考

【答案】A

2111

【解析】由氏+1=%+a,得——=--------

%+n14勺+1

11111111

所以------1-------------F•••H---------------=----------------1----------------F…H----------------------

4+1。2+1。202|+14。2。2。3%021“2022

10

12,曰1

由q=/，4,+i=4+%得q=/，ai=，dy=-->1知从“3

4“202202022

以后都大于1,所以一'一e(0,l),所以2———e(l,2),

〃2022〃2022

则一二十—二十••・+-------=1,故选A.

q+1a2+1々2012+1

20.已知数列｛〃〃｝满足+2a2+3/+…+"%=2",设bn=-.S“为数列也｝

的前〃项和.若S〃<t对任意"mN*恒成立，则实数/的最小值为

A.1B.2

35

C.—D.一

22

【试题来源】江西省名校2021届高三上学期第二次联考（理）

【答案】C

【解析】〃=1时，q=2,因为q+2g+3%+…+〃。〃=2",

所以〃之2时，q+2a2+3a3T----卜5-1）4_]=2"I

两式相减得到=2'i,故4=一,"=1时不适合此式,

n

l,n=1

所以“=而%=—^,〃Z2'当"=1时'5=4=1,

11113

当〃22时,S“=l+-----<

2334nn+12n+\

33

所以tN二；所以，的最小值不；故选C.

22

,则数列，」一I的前

21.已知等比数列｛。〃｝的前〃项和S“=2”+a,且么=陛2。〃一。

IA%J

〃项和Tn=

3n

A.

2n+ln+1

11

2nn

c.D.

〃+l2〃+l

【试题来源】江苏省无锡市宜兴市第二高级中学2020-2021学年高二上学期第一次基础检测

【答案】B

【解析】因为等比数列｛4｝的前n项和S“=2"+a,当〃=1时，5=2i+a,即4=2+a,

n

当“22时，S„_1=2-'+a,即a“=S“—S,i=2"+a—（2"T+a）=2"T,

n

所以％=2i=2+a,解得。=一1,所以a“=2'',hn=log2an-a=log2X-'-（-1）=n

111__1_

则他+i〃（〃+1）nn+\'

11)1n

,故选B.

(2〃+lJn+1〃+l

22.已知S“为等差数列｛q｝的前〃项和，且S3=15,4+4+%=27,记〃=-----

anan+\

则数列｛2｝的前20项和为

1938

A.-----B.-----

123123

2040

C.-----D.-----

129129

【试题来源】扬州市江都区邵伯高级中学2020-2021学年高二上学期10月阶段性测试

【答案】C

【解析】设等差数列｛4｝的公差为d,根据题意%+4+%=3%=27,得包=9

S—34+3d=15,3“+3d=15,

所以《3即〈解得q=3,d=2.

%=。]+3d=9,%=4+3d=9,

所以%=3+2（所1）=2〃+1,所以，=伽+1）；2“+3）中Jr*厂

所以数列｛2｝的前20项和为

1(1

b\+%+,,,+%=]§故选C.

12

111

23.数列｛〃〃｝满足〃尸1,对任意〃£N*都有〃〃+尸则一+—+・.・+--

4。242019

20202019

A.-----B.-----

20191010

20174037

C.-----D.-----

10102020

【试题来源】2020-2021学年高二数学十分钟同步课堂专练（苏教版必修5）

【答案】B

【解析】数列｛"〃｝满足ai=\,对任意都有an+i=an+n+l,即有n>2时,am

可得afl=ai+(42-41)+(〃3・42)+…+(a,rCln-l)=1+2+3+…+〃=一n(«+1),71=1也满足上

告=2(一11111111

),贝!]1----K..H-----=2(1--+------------

«(«+1)nn+l

4a2.1922320192020

2019

=2(1------)故选8.

2020~1010

24.设M=48(^!—+^—+-^!—+…+—；—)

则与M最接近的整数为

32-442-452-41002-4

A.18B.20

C.24D.25

【试题来源】湖南省长沙市雅礼中学2020届高三高考数学（理）模拟试题（一）（a卷）

【答案】D

【解析】例=48(一一+…+—1—)

32-442-452-41002-4

—4“8c1r-----1------1------1-----F...H---------1------J

(3-2)(3+2)(4-2)(4+2)(100-2)(100+2)

48(----1-----1-----1-...H-------)

1x52x63x798x102

…11、/1、/1、11、，11、，

=12((---)+(----)+(---)+...+(-z------)+(-------)]

1526379710198102

=1…2(1H--11—1H-1---1------1-----1-----1)、=2”5-1…2(--11---1--1---1-1---1)、.

2349910010110299100101102

因为0<12(---1----1-----1----)<12x—<一.故与M最接近的整数为25.故选。.

99100101102992

25.数列｛q｝的通项公式是4=葩£B（〃WN"）,若前〃项的和为书，则项数为

A.12B.11

13

C.10D.9

【试题来源】江西省新余市2019-2020学年高一下学期期末考试（文）

【答案】C

【解析】一一二（〃eN*）,数列｛4｝的前〃项和

〃（九+1）nn+1，"

S=(1—)+(----)

"223nn+\〃+ln+1

当S“=］时，解得"=10,故选C.

26.已知函数/（x）=£的图象过点（4,2）,令《=+］；,〃（）（国*）,记数列｛凡｝

的前〃项和为S“，则§2021=

A.V2021+1B.V2022-1

C.V2021-1D.V2022+1

【试题来源】江苏省镇江中学2020-2021学年高三上学期9月期初教学质量检测

【答案】B

【解析】函数/（力=£的图象过点（4,2）,则4〃=2,解得。=；，得〃x）=«，

%=/（〃+］（〃）=&+&=内-’

则SZM=（拒-1）+（8-扬+…+（02022-7^1）=-1+J2022,故选B.

27.己知数列｛叫满足：4=1,（2"+1）2%=（2〃-1）%+1（neN*）.正项数列｛%｝满

足：对于每个〃eN*，c2„_（=an,且c2ll_,,，c2n+,成等比数列，则,1的前"项

&J

和为

n2n

A.----B.-----

n+\2/1+1

2〃+12n-l

14

【试题来源】安徽省宣城市2019-2020学年高一下学期期末(理)

【答案】C

可得娱=(迎11]

【解析】+〃wN)，

⑵*2

可得=%•二•」…——2

由。|=1,、2〃-3J（2n-l）,

G«2an-\

可得C2,i=a“=（2〃T）2,由G,i，Q“，c?何成等比数列,

可得4.=，2,1•。2,“=（2〃—•（2〃+1）2=（4〃2一日，可得C2“=4〃2—1,

为奇数

"I"7,”为偶数

1111f,11111）

122-l42-1（2n）-12（3352/?-12n+\）

28.已知函数/(%)=/+法的图象在点A(1J⑴)处的切线的斜率为3,数列'工1的

前«项和为Sn,则S2020的值为

20202019

A.----B.----

20212020

20182017

C.----D.----

20192018

【试题来源】江西省南昌市第二中学2021届高三上学期第三次考试(文)

【答案】A

【分析】由/(%)=/+法，求导得到/'(x)=2x+〃，再根据函数/5)=必+纵的图象

在点41/(处的切线的斜率为3,由/'(1/3=求解，从而得到

,z、1111

/(x)=x2+x=x(x+l),则==-------7,再利用裂项相消法求解.

\)j(n)鹿(M+1)n〃+1

【解析】因为/(x)=/+法，所以/'(x)=2x+"

因为函数f(x)=/+"的图象在点