回归的函数形式

回归的函数形式第一页，共三十六页，编辑于2023年，星期五一、可化为线性模型的非线性回归模型二、不可化为线性模型的非线性回归模型三、案例：非线性模型的应用本章要点：第二页，共三十六页，编辑于2023年，星期五第一节可化为线性模型的非线性回归模型对于变量之间是非线性的，但参数之间是线性的模型，可以利用变量代换的方法将模型线性化。下面列举在讨论经济问题时常遇到的几种非线性函数模型，进行变量的代换化为线性模型。

当解释变量是非线性的，但参数之间是线性的时，可以利用变量直接代换的方法将模型线性化。下面列举在讨论经济问题时，经常遇到的几种非线性函数模型，进行变量的直接代换化为线性模型。一、非线性回归模型的直接代换第三页，共三十六页，编辑于2023年，星期五弹性度量:双对数模型第四页，共三十六页，编辑于2023年，星期五第五页，共三十六页，编辑于2023年，星期五双对数线性模型模型表达式：图形形式：线性化方法：同时取自然对数

,则 lnyt=ln(0)+1lnxt

+ut

经济含义：E(lnyt|x)=0+1Lnxt

,dE(y|x)/y＝β1dx/x

即：x每变化1%，y相应变化β1%；模型表达式：图形形式：线性化方法：xt*=Lnxt,则 lnyt=ln(0)+1xt

+ut经济含义：E(lnyt|x)=0+1xt

,dE(y|x)/y＝β1dx

即：x每变化1个单位，y的变化率为β1，即变化100β1%第六页，共三十六页，编辑于2023年，星期五第七页，共三十六页，编辑于2023年，星期五第八页，共三十六页，编辑于2023年，星期五

著名的柯布—道格拉斯（Cobb—Douglas）生产函数模型就是这类模型的一个典型，我们用下面的举例说明。下表列出了1955-1974年间墨西哥的产出y（用国内生产总值GDP度量，以1960年不变价格计算，单位为百万比索）、劳动投入x2（用总就业人数度量，单位为千人）以及资本投入x3（用固定资本度量，以1960年不变价格计算，单位业百万比索）的数据，试用回归分析法解释在墨西哥国内生产总值产出中，各要素的贡献及其产出特点。多元指数化模型第九页，共三十六页，编辑于2023年，星期五表墨西哥的实际GDP、就业人数和实际固定资本第十页，共三十六页，编辑于2023年，星期五解：根据上表提供的数据，运用Eviews3.1回归,操作步骤为：quickemptygroupprocsmakeequation,输出结果如下：输出结果4.1.5：第十一页，共三十六页，编辑于2023年，星期五回归方程为：t=(-2.73)(1.83)(9.06)p=(0.0144*)(0.085)(0.000**)R2=0.995对回归方程解释如下：斜率系数0.3397表示产出对劳动报酬的弹性，即表明在资本投入保持不变的条件下，劳动投入每增加一个百分点，平均产出将增加0.3397个百分点。同样地，在劳动投入保持不变的条件下，资本投入每增加一个百分点，产出将平均增加0.8640个百分点。两个弹性系数相对为规模报酬参数，其数值等于1.1857，表明墨西哥经济的特征是规模报酬递增的（如果数值等于1，属于规模报酬不变；小于1，则属于规模报酬递减）。第十二页，共三十六页，编辑于2023年，星期五虽然资本对产出的影响看似大于劳动力对产出的影响，但根据单边检验的结果，这两个系数各自均是统计显著的（这是用单边检验，因为我们预期劳动力和资本对产出影响都是正向的）估计的F值也是高度相关的（因为p值几乎为零），因此能够拒绝零假设：劳动力与资本对产出无影响。R2值为0.995，表明劳动力和资本（对数）解释了大约99.5%的产出（对数）的变动，说明了模型很好地拟合了样本数据。第十三页，共三十六页，编辑于2023年，星期五对增长率的测度:半对数模型模型表达式：yt=0+1Lnxt

+ut

图形形式：线性化方法：xt*=Lnxt,则

yt=0+1Lnxt

+ut经济含义：E(yt|x)=0+1Lnxt

,dE(y|x)＝β1dx/x

即：x每变化1%，y相应变化β1/100个单位

第十四页，共三十六页，编辑于2023年，星期五第十五页，共三十六页，编辑于2023年，星期五第十六页，共三十六页，编辑于2023年，星期五第十七页，共三十六页，编辑于2023年，星期五线性-对数模型:解释变量是对数形式模型表达式：yt=0+1Lnxt

+ut

图形形式：线性化方法：xt*=Lnxt,则

yt=0+1Lnxt

+ut经济含义：E(yt|x)=0+1Lnxt

,dE(y|x)＝β1dx/x

即：x每变化1%，y相应变化β1/100个单位

第十八页，共三十六页，编辑于2023年，星期五第十九页，共三十六页，编辑于2023年，星期五第二十页，共三十六页，编辑于2023年，星期五倒数模型或双曲线模型(ReciprocalModel)

则第二十一页，共三十六页，编辑于2023年，星期五第二十二页，共三十六页，编辑于2023年，星期五即可利用一元线性回归分析的方法处理了。例4.1.2表4.1.2给出了美国1958-1969年间小时收入指数（Y）与城市失业率（X）的数据，试用回归分析法解释二者之间的关系。第二十三页，共三十六页，编辑于2023年，星期五解：根据经济理论，二者之间的关系可以用倒数模型来表示令则运用Eviews进行回归,操作步骤为：quickemptygroupprocsmakeequation,输出结果如下：输出结果如下4.1.2第二十四页，共三十六页，编辑于2023年，星期五第二十五页，共三十六页，编辑于2023年，星期五所以回归方程为即第二十六页，共三十六页，编辑于2023年，星期五多项式回归模型对于形如的模型为多项式模型。令原模型可化为线性形式即可利用多元线性回归分析的方法处理了。第二十七页，共三十六页，编辑于2023年，星期五多项式函数模型如果模型中的解释变量含有某个变量的多项式函数，则称之为多项式函数模型。三次多项式方程的表达形式是

yt

=b0+b1

xt+b2

xt2+b3

xt

3+ut二次多项式方程的表达形式是

yt

=b0+b1

xt+b2

xt2+ut

第二十八页，共三十六页，编辑于2023年，星期五例如，描述税收与税率关系的拉弗曲线：抛物线s=a+br+cr2c<0s：税收；r：税率设=r，=r2，则原方程变换为s=a+b+cc<0例4.1.1某生产企业在1981-1995年间每年的产量和总成本如下表（表4.1.1），试用回归分析法确定其成本函数。表4.1.1第二十九页，共三十六页，编辑于2023年，星期五根据成本理论，成本函数可用产量的三次多项式近似表示第三十页，共三十六页，编辑于2023年，星期五第三十一页，共三十六页，编辑于2023年，星期五运用Eviews进行回归,操作步骤为：quickemptygroupprocsmakeequation.结果如下：输出结果4.1.1第三十二页，共三十六页，编辑于2023年，星期五第三十三页，共三十六页，编辑于2023年，星期五第三十四页，共三十六页，编辑于2023年，星期五可线性化的非线性模型

——取对数的基本原则以时间为测度单位的一般不取对数。比如，受教育的年数、年龄、工龄等。比率变量，一般倾向于不取对数。比如失业率、犯罪率、入学率等。如果对其取对数形式，那么一定要注意其经济解释。比如，设解释变量为失业率，最初的失业率为8%。如果解释变量为失业率umem，那么其回归系数β解释为当失业率增加一个百分点（percentagepointchange）的时候，….。即：当失业率由8%增加至9%的时候，…。如果解释变量为失业率的对数形式ln(unem)