大学物理第五版答案

第五章静电场

5-1电荷面密度均为十。的两块“无限大”均匀带电的平行平板如图(A)

放置，其周围空间各点电场强度E(设电场强度方向向右为正、向左为负)随

位置坐标x变化的关系曲线为图(B)中的()

分析与解“无限大”均匀带电平板激发的电场强度为上二，方向沿带电平

2%

板法向向外，依照电场叠加原理可以求得各区域电场强度的大小和方向.因

而正确答案为(B).

5-2下列说法正确的是()

(A)闭合曲面上各点电场强度都为零时，曲面内一定没有电荷

(B)闭合曲面上各点电场强度都为零时，曲面内电荷的代数和必定为零

(C)闭合曲面的电通量为零时，曲面上各点的电场强度必定为零

(D)闭合曲面的电通量不为零时，曲面上任意一点的电场强度都不可能为零

分析与解依照静电场中的高斯定理，闭合曲面上各点电场强度都为零时，

曲面内电荷的代数和必定为零，但不能肯定曲面内一定没有电荷；闭合曲面

的电通量为零时，表示穿入闭合曲面的电场线数等于穿出闭合曲面的电场线

数或没有电场线穿过闭合曲面，不能确定曲面上各点的电场强度必定为零：

同理闭合曲面的电通量不为零，也不能推断曲面上任意一点的电场强度都不

可能为零，因而正确答案为(B).

5-3下列说法正确的是()

(A)电场强度为零的点，电势也一定为零

(B)电场强度不为零的点，电势也一定不为零

(C)电势为零的点，电场强度也一定为零

(D)电势在某一区域内为常量，则电场强度在该区域内必定为零

分析与解电场强度与电势是描述电场的两个不同物理量，电场强度为零表

示试验电荷在该点受到的电场力为零，电势为零表示将试验电荷从该点移到

参考零电势点时，电场力作功为零.电场中一点的电势等于单位正电荷从该

点沿任意路径到参考零电势点电场力所作的功；电场强度等于负电势梯度.

因而正确答案为①).

*5-4在一个带负电的带电棒附近有一个电偶极子，其电偶极矩〃的方向

如图所示.当电偶极子被释放后，该电偶极子将()

(A)沿逆时针方向旋转直到电偶极矩尸水平指向棒尖端而停止

(B)沿逆时针方向旋转至出偶极矩p水平指向棒尖端，同时沿电场线方向

朝着棒尖端移动

(C)沿逆时针方向旋转至电偶极矩p水平指向棒尖端，同时逆电场线方向

朝远离棒尖端移动

(D)沿顺时针方向旋转至电偶极矩p水平方向沿棒尖端朝外，同时沿电场

线方向朝着棒尖端移动

匚＞7

题5-4图

分析与解电偶极子在非均匀外电场中，除了受到力矩作用使得电偶极子指

向电场方向外，还将受到一个指向电场强度增强方向的合力作用，因而正确

答案为(B).

5-5精密实验表明，电子与质子电量差值的最大范围不会超过±10-2,,

而中子电量与零差值的最大范围也不会超过±10-2"由最极端的情况考

虑，一个有8个电子，8个质子和8个中子构成的氧原子所带的最大可能净

电荷是多少？若将原子视作质点，试比较两个氧原子间的库仑力和万有引

力的大小.

分析考虑到极限情况，假设电子与质子电量差值的最大范围为2x10-1e,

中子电量为10〃e,则由•个氧原子所包含的8个电子、8个质子和8个中

子可求原子所带的最大可能净电荷.由库仑定律可以估算两个带电氧原子间

的库仑力，并与万有引力作比较.

解一个氧原子所带的最大可能净电荷为

—=（1+2）X8X10—

二个氧原子间的库仑力与万有引力之比为

竺="max,=2.8X10-6«1

L/Ic/_fJ

晨47K?0Gm

显然即使电子、质子、中子等微观粒子带电量存在差异，其差异在±10一2%

范围内时,对于像天体一类电中性物体的运动，起主要作用的还是万有引力.

5-61964年，盖尔曼等人提出基本粒子是由更基本的夸克构成，中子就

21

是由一个带的上夸克和两个带一上e的下夸克构成.若将夸克作为经典

33

粒子处理（夸克线度约为10-2。m）,中子内的两个下夸克之间相距2.6OxioT5

m.求它们之间的相互作用力.

解由于夸克可视为经典点电荷，由库仑定律

F与径向单位矢量e,.方向相同表明它们之间为斥力.

5-7质量为机，电荷为一e的电子以圆轨道绕氢核旋转，其动能为3.

证明电子的旋转频率满足

其中如是真空电容率，电子的运动可视为遵守经典力学规律.

分析根据题意将电子作为经典粒子处理.电子、氢核的大小约为l（）T5m,

轨道半径约为10，om,故电子、氢核都可视作点电荷.点电荷间的库仑引力

是维持电子沿圆轨道运动的向心力，故有

m——=

r

山此出发命题可证.

证由上述分析可得电子的动能为

28兀%r

电子旋转角速度为

4%）勿

由上述两式消去r,得

7,2_。_32%&

V-百—-----7-

4兀me

5-8在氯化的晶体中，-价氯离子C厂与其最邻近的八个一价钠离子Cs+

构成如图所示的立方晶格结构.（1）求氯离子所受的库仑力；（2）假设图中

箭头所指处缺少一个葩离子（称作晶格缺陷），求此时氯离子所受的库仑力.

题5-8图

分析铜离子和氯离子均可视作点电荷，可直接将晶格顶角的离子与氯离子

之间的库仑力进行矢量叠加.为方便计算可以利用晶格的对称性求氯离子所

受的合力.

解（1）由对称性，每条对角线上的一对钠离子与氯离子间的作用合力为

零，故B=0.

（2）除了有缺陷的那条对角线外，其它钠离子与氯离子的作用合力为零，所

以氯离子所受的合力B的值为

2

——丁=',=1.92x109N

轨％厂3叫）。-

尸2方向如图所示.

5-9若电荷。均匀地分布在长为上的细棒上.求证：（1）在棒的延长线,

且离棒中心为r处的电场强度为

/4厂-Lr

（2）在棒的垂直平分线上，离棒为〃处的电场强度为

E」/0,

2世?0fyj4广+L~

若棒为无限长（即Lf8）,试将结果与无限长均匀带电直线的电场强度相比

题5-9图

分析这是计算连续分布电荷的电场强度.此时棒的长度不能忽略，因而不

能将棒当作点电荷处理.但带电细棒上的电荷可看作均匀分布在一维的长直

线上.如图所示，在长直线上任意取一线元dx,其电荷为dq=0dx〃，它在

点P的电场强度为

，E，1dq

dE=-------Ne.

整个带电体在点尸的电场强度

E=Jd£

接着针对具体问题来处理这个矢量积分.

(1)若点P在棒的延长线上，带电棒上各电荷元在点P的电场强度方向相

同，

E=

(2)若点P在棒的垂直平分线上，如图(A)所示，则电场强度E沿x轴方向

的分量因对称性叠加为零，因此，点P的电场强度就是

E=J=[sinad£/

证(1)延长线上一点尸的电场强度E=[—^7,利用几何关系r'=

工2%/2

r-x统一积分变量，则

E=『210dx_01111°

22

P124TI£0L(r—x)4izs0LJ•一L12r+L/2_its04r—I)

电场强度的方向沿x轴.

(2)根据以上分析，中垂线上一点尸的电场强度E的方向沿y轴，大小为

E=产na.dE

上4踮o尸

利用几何关系sina=r/r/,r—y/r2+x~统一积分变量，则

_;2

E1-。匕_。1

一1"24的。乂丁+三产3-2叫r74r2+/

当棒长£-8时，若棒单位长度所带电荷2为常量，则尸点电场强度

^=liml——-/

!^2nf：0rJ1+4//万

_2_

27tM

此结果与无限长带电直线周围的电场强度分布相同[图(B)].这说明只要

满足/〃2<<1,带电长直细棒可视为无限长带电直线.

5-10一半径为R的半球壳，均匀地带有电荷，电荷面密度为求球心

处电场强度的大小.

题5-10图

分析这仍是一个连续带电体问题，求解的关键在于如何取电荷元.现将半

球壳分割为一组平行的细圆环，如图所示，从教材第5-3节的例1可以看

出，所有平行圆环在轴线上P处的电场强度方向都相同，将所有带电圆环的

电场强度积分，即可求得球心0处的电场强度.

解将半球壳分割为一组平行细圆环，任一个圆环所带电荷元

dq=dd5=(T27iR2sinede,在点0激发的电场强度为

1xdq.

dE=福廿+户产'

由于平行细圆环在点0激发的电场强度方向相同，利用几何关系

x=RcosH,〃=Rsin夕统——积分变量，有

1xdq1RcosO

dE=<5.2n-/?2sin^d0

4兀%3+/产4兀％R'

=sin。cos3d。

2%

/2

积分得E=f—sin6»cos^=—

A2%4%

5-11水分子电0中氧原子和氢原子的等效电荷中心如图所示，假设氧

原子和氢原子等效电荷中心间距为ro.试计算在分子的对称轴线上，距分子

较远处的电场强度.

PoII

题5-11图

分析水分子的电荷模型等效于两个电偶极子，它们的电偶极矩大小均为

凡=组,而夹角为2。叠加后水分子的电偶极矩大小为尸=2e%cos。，方

向沿对称轴线，如图所示.由于点0到场点A的距离x>>r0,利用教材第

5-3节中电偶极子在延长线上的电场强度

E=—%

4%x

可求得电场的分布.也可由点电荷的电场强度叠加，求电场分布.

解1水分子的电偶极矩尸=2庶cos®=2eqcos。在电偶极矩延长线上

12p_14*cos。_1ercos0

匕-=o=Q3

4兀跖x4/X、/x

解2在对称轴线上任取一点A,则该点的电场强度

E=E_^E+

2ercos^2e

E=2E+COS0—E=

2

4的o〃24TIEQX

由于/=/+汁一2X^COS6>

x-rcos0

cos夕Q

代入得

E_2ex-r0cos31

4麻o（x2+9之一2x7oCOS0）"'x2

测量分子的电场时，总有x>>r0,因此，式中

8+%2_2秩3。产=X,_={1一|,将上

式化简并略去微小量后，得

E_1r0ecos8

%%3

5-12两条无限长平行直导线相距为4,均匀带有等量异号电荷，电荷

线密度为％（1）求两导线构成的平面上任一点的电场强度（设该点到其中

一线的垂直距离为x）;（2）求每一根导线上单位长度导线受到另一根导线上

电荷作用的电场力.

E

T

_________2―""_________

不一X^

题5-12图

分析（1）在两导线构成的平面上任一点的电场强度为两导线单独在此所

激发的电场的叠加.（2）由尸=gE,单位长度导线所受的电场力等于另一根

导线在该导线处的电场强度乘以单位长度导线所带电量，即：F=让.应该

注意：式中的电场强度E是另一根带电导线激发的电场强度，电荷自身建

立的电场不会对自身电荷产生作用力.

解(1)设点P在导线构成的平面上，E+、E-分别表示正、负带电导线在P

点的电场强度，则有

1

门口上门Y

E=E_+E=-----I------\i

+271%(x-x)

」.j

27l£0X(小-X)

(2)设尸八尸一分别表示正、负带电导线单位长度所受的电场力，则有

F+=XE=—^—i

2吟一

A2

F=—2区=一——i

2%为

显然有尸+=尸,相互作用力大小相等，方向相反，两导线相互吸引.

5-13如图为电四极子，电四极子是由两个大小相等、方向相反的电偶极

子组成.试求在两个电偶极子延长线上距中心为z的一点P的电场强度(假

设z»cb.

------------j-

q-q-qq

题5-13图

分析根据点电荷电场的叠加求P点的电场强度.

解由点电荷电场公式，得

„11q,1q,1q,

E=------+------------------------7―Jr九

4%z4%(z-d)4%[z+d)

考虑到z»d,简化上式得

4%[zz~|_(l-d/z)(1-d/z)

q\2112d3/2d3d21，

—〈一二+=1+—+——+...+1----+——+…\k

4兀％[zz|_zzzz

,q卬]k

4兀%z4

通常将。=24/称作电四极矩，代入得P点的电场强度

口13。，

E=-----^-k

4峻z

5-14设匀强电场的电场强度E与半径为R的半球面的对称轴平行，试

计算通过此半球面的电场强度通量.

题5-14图

分析方法1：由电场强度通量的定义，对半球面S求积分，即

叱=[EdS

方法2：作半径为R的平面S'与半球面S一起可构成闭合曲面，由于

闭合面内无电荷，由高斯定理

庐心=、Zq=o

这表明穿过闭合曲面的净通量为零，穿入平面S'的电场强度通量在数值上

等于穿出半球面S的电场强度通量.因而

0=1E.d5=-口d5

解1山于闭合曲面内无电荷分布，根据高斯定理，有

0=,心=-庐心

依照约定取闭合曲面的外法线方向为面元d5的方向，

0=-E-nR~-cos%=nR~E

解2取球坐标系，电场强度矢量和面元在球坐标系中可表示为①

E=E（cose+sincos。e“+sinOsiner）

dS=R2si“d，de,

0=4£-d5=1E7?2sin2^sinMd

sind

=nR°E

5-15边长为。的立方体如图所示，其表面分别平行于。号、Oyz和Ozx

平面，立方体的一个顶点为坐标原点.现符立方体置于电场强度

E=（E1+kx）i+E2jG,Ei,E2为常数）的非均匀电场中，求电场对立

方体各表面及整个立方体表面的电场强度通量.

题5-15图

解如图所示，由题意E与。孙面平行，所以任何相对。中面平行的立方

体表面，电场强度的通量为零，即@<〃BC=0/,EFG=O.而

%BGF=JE•3=JKg+kx)i+Ej]\dSj)=E2a2

考虑到面SEO与面48GF的外法线方向相反，且该两面的电场分布相同,

故有

①CDEO=-®ABGF=~E2a

同理%OEF=JE・d5=/[(£,/+E2J)]-(-dSi)=-Ed

⑦BCDG=JE•d5=J[(&+ka)l+Ej]-(dSi)=(g+ka)a2

因此，整个立方体表面的电场强度通量

0==ka3

5-16地球周围的大气犹如一部大电机，由于雷雨云和大气气流的作用，

在晴天区域，大气电离层总是带有大量的正电荷，云层下地球表面必然带有

负电荷.晴天大气电场平均电场强度约为120Vm-',方向指向地面.试求

地球表面单位面积所带的电荷(以每平方厘米的电子数表示).

分析考虑到地球表面的电场强度指向地球球心，在大气层中取与地球同心

的球面为高斯面，利用高斯定理可求得高斯面内的净电荷.

解在大气层临近地球表面处取与地球表面同心的球面为高斯血，其半径

R=RE(RE为地球平均半径).由高斯定理

c(£.d5=-£47r^=—

地球衣面电荷面密度

92

(7=£q/AitR*~-£0E=-1.06x10cm~

单位面积额外电子数

/7=cr/-e=6.63xl05cm-2

5-17设在半径为R的球体内，其电荷为球对称分布，电荷体密度为

p-kr(0<r<R)

p=0(r>R)

火为一常量.试分别用高斯定理和电场叠加原理求电场强度。力的函数关系.

题5-17图

分析通常有两种处理方法：(1)利用高斯定理求球内外的电场分布.由题

意知电荷呈球对称分布，因而电场分布也是球对称，选择与带电球体同心的

球血为高斯面，在球面上电场强度大小为常量，且方向垂直于球面，因而有

<^£-d5=£-47tr2

根据高斯定理・dS=JJpd2,可解得电场强度的分布.

(2)利用带电球壳电场叠加的方法求球内外的电场分布.将带电球分割成无

数个同心带电球壳，球壳带电荷为dq="ZTir"。」,每个带电球壳在壳内

激发的电场dE=O,而在球壳外激发的电场

dE=凶，e,.

4兀分/

由电场叠加可解得带电球体内外的电场分布

E(r)=JdF(0<r<R)

£(r)=fd£(r>/?)

解1因电荷分布和电场分布均为球对称，球面上各点电场强度的大小为常

量，由高斯定理亚•o=’Jpd/得球体内(0WW?)

E(r)4nr2=—kr4nr2dr=—r4

eoeo

P(\kr-

4号

球体外G>R)

E(r)47ir2=—Tkr4nr2(ir=—r4

%小%

解2将带电球分割成球壳，球壳带电

dq=pdV=9，4无/2出，

由上述分析，球体内(OWrWR)

r1

凤尸)=1kr''kr~

-----，=尸纥

4%r4%

球体外(r>7?)

2

尸/、/1k/•4兀/"dr'kR

E⑺7菽丁一・痴巧

5-18一无限大均匀带电薄平板，电荷面密度为。，在平板中部有一半径

为r的小圆孔.求圆孔中心轴线上与平板相距为x的一点P的电场强度.

(a)(b)

题5-18图

分析用补偿法求解利用高斯定理求解电场强度只适用于几种非常特殊的

对称性电场.本题的电场分布虽然不具有这样的对称性，但可以利用具有对

称性的无限大带电平面和带电圆盘的电场叠加，求出电场的分布.若把小圆

孔看作由等量的正、负电荷重叠而成，挖去圆孔的带电平板等效于一个完整

的带电平板和一个带相反电荷（电荷面密度，=一（7）的小圆盘.这样中心轴

线上的电场强度等效于平板和小圆盘各自独立在该处激发电场的矢量和.

解山教材中第5-4节例4可知，在无限大带电平面附近

%=——en

2%

为沿平面外法线的单位矢量；圆盘激发的电场

它们的合电场强度为

ax

E=B+£*2

22

2e0y]x+r

在圆孔中心处x=0,则

E=0

在距离圆孔较远时x>>/,则

_a1

E=------1e

2%71+r2/x2n

o

K

上述结果表明，在X>>/时，带电平板上小圆孔对电场分布的影响可以忽

略不计.

5-19在电荷体密度为p的均匀带电球体中，存在一个球形空腔，若将带

电体球心0指向球形空腔球心0,的矢量用。表示（如图所示）.试证明球形空

腔中任一点的电场强度为

E=2

3%

O'

题5-19图

分析本题带电体的电荷分布不满足球对称，其电场分布也不是球对称分

布，因此无法直接利用高斯定理求电场的分布，但可用补偿法求解.挖去球

形空腔的带电球体在电学上等效于一个完整的、电荷体密度为p的均匀带电

球和一个电荷体密度为一P、球心在0,的带电小球体(半径等于空腔球体的半

径).大小球体在空腔内P点产生的电场强度分别为E、E2,则尸点的电

场强度E=E|+E2.

证带电球体内部一点的电场强度为

E=J

3%

所以E.=—r,E,=---r

3q3%2

E=E}+E2=-^-(r,-r2)

3%

根据几何关系八--2="，上式可改写为

E=£a

3%

5-20一个内外半径分别为R和4的均匀带电球壳，总电荷为Q，球

壳外同心罩一个半径为心的均匀带电球面，球面带电荷为。2.求电场分布.

电场强度是否为离球心距离r的连续函数？试分析.

题5-20图

分析以球心0为原点，球心至场点的距离r为半径，作同心球面为高斯面.

由于电荷呈球对称分布，电场强度也为球对称分布，高斯面上电场强度沿径

矢方向，且大小相等.因而§Ed5=E-4犷2.在确定高斯面内的电荷Z4

后，利用高斯定理亚3=£1/即可求出电场强度的分布.

解取半径为，的同心球面为高斯面，由上述分析

E-4兀，=/%

，该高斯面内无电荷，£q=0,故g=0

r<R]

Ri<r<公，高斯面内电荷z«=水3-吊)

E=。"-用）

故

24%记—R»2

RI<r<R3,高斯面内电荷为。i,故

4兀尸

r>心，高斯面内电荷为。1+。2，故

P_01+。2

42

4TO0F

电场强度的方向均沿径矢方向，各区域的电场强度分布曲线如图(B)所示.

在带电球面的两侧，电场强度的左右极限不同，电场强度不连续，而在紧贴

r=心的带电球面两侧，电场强度的跃变量

QJ

bE=E「E

34叫R；%

这一跃变是将带电球面的厚度抽象为零的必然结果，且具有普遍性.实际带

电球面应是有一定厚度的球壳，壳层内外的电场强度也是连续变化的，本题

中带电球壳内外的电场，在球壳的厚度变小时，£的变化就变陡，最后当厚

度趋于零时，E的变化成为一跃变.

5-21两个带有等量异号电荷的无限长同轴圆柱面，半径分别为品和优

>7?,),单位长度上的电荷为人.求离轴线为厂处的电场强度：(DrVR,

(2)/?,<r<R2,(3)r>R2.

(a)(b)

题5-21图

分析电荷分布在无限长同轴圆柱面上，电场强度也必定沿轴对称分布，取

同轴圆柱面为高斯面，只有侧面的电场强度通量不为零，且

^EdS=E-2nrL,求出不同半径高斯面内的电荷即可解得各区域电

场的分布.

解作同轴圆柱面为高斯面，根据高斯定理

E-2nrL=>,q]

r<R\，£q=0

&=0

在带电面附近，电场强度大小不连续，电场强度有一跃变

R\<r<7?2，>,q=辽

r>Rz.Eq=0

£=o

在带电面附近，电场强度大小不连续，电场强度有•跃变

_XL_(T

\E=-------

2%r2nsnrL%

这与5-20题分析讨论的结果一致.

5-22如图所示，有三个点电荷勒、。2、①沿一条直线等间距分布且

0=。3=Q-己知其中任一点电荷所受合力均为零，求在固定。1、。3的

情况下，将0从点0移到无穷远处外力所作的功.

y

gl。.°2,3■

1_dJ一d_17

题5-22图

分析由库仑力的定义，根据、03所受合力为零可求得。2.外力作功用

应等于电场力作功W的负值，即沙=一股求电场力作功的方法有两种：(1)

根据功的定义，电场力作的功为

%=[Q2Edl

其中E是点电荷。।、①产生的合电场强度.

(2)根据电场力作功与电势能差的关系，有

%=。2傀一匕）=0匕

其中％是a、乌在点o产生的电势（取无穷远处为零电势）.

解1山题意①所受的合力为零

Qi-"+Q―=0

।4%/%4唉（2/

解得4=_杷=廿0

由点电荷电场的叠加，a、0激发的电场在y轴上任意一点的电场强度为

E=E»+E3y2

22/2

2ns0(d+yJ

将。2从点。沿y轴移到无穷远处，（沿其他路径所作的功相同，请想•想

为什么？）外力所作的功为

-.u=-rf--el—第_—砂=-^―

1“4勺2%（屋+阴'28血/

解2与解1相同，在任一点电荷所受合力均为零时值=-；。，并由电势

的叠加得。1、03在点。的电势

4TO0（74吟d2%d

将。2从点。推到无穷远处的过程中，外力作功

=_QL

8g)d

比较上述两种方法，显然用功与电势能变化的关系来求解较为简洁.这是因

为在许多实际问题中直接求电场分布困难较大，而求电势分布要简单得多.

5-23己知均匀带电长直线附近的电场强度近似为

2ra?0r

为电荷线密度.（1）求在r="和厂=r2两点间的电势差；（2）在点电荷的电

场中，我们曾取r~8处的电势为零，求均匀带电长直线附近的电势时，能

否这样取？试说明.

解(1)由于电场力作功与路径无关，若沿径向积分，则有

(2)不能.严格地讲，电场强度E=」一e,.只适用于无限长的均匀带电直

2瓦£/

线，而此时电荷分布在无限空间，尸一8处的电势应与直线上的电势相等.

5-24水分子的电偶极矩p的大小为6.20义10一3°Cm.求在下述情况

下，距离分子为，•=5.00Xl(r9m处的电势.(D6=0。；(2)6=45°；

(3)6=90。，9为r与p之间的夹角.

解由点电荷电势的叠加

—=上+工=厘

4兀4兀/匕4兀分-

(1)若6=0°6=—^=2.23x10-3v

4兀%尸

(2)若夕=45°K^cos4f=1.58X10-3V

4兀厂

(3)若6=90。(二川os90"二。

4兀%广

5-25个球形雨滴半径为0.40mm,带有电量1.6pC,它表面的电势有

多大？两个这样的雨滴相遇后合并为个较大的雨滴，这个雨滴表面的电

势又是多大？

分析取无穷远处为零电势参考点，半径为火带电量为q的带电球形雨滴

表面电势为

4TI£0R

当两个球形雨滴合并为一个较大雨滴后，半径增大为呵，代入上式后可

以求出两雨滴相遇合并后，雨滴表面的电势.

解根据已知条件球形雨滴半径尺=0.40mm,带有电量％=1.6pC,可

以求得带电球形雨滴表面电势

匕=，幺=36V

4兀7&

当两个球形雨滴合并为一个较大雨滴后，雨滴半径&=次为，带有电量的

=2/,雨滴表面电势

2^=57V

一4兀/V27?,

5-26电荷面密度分别为和一0的两块“无限大”均匀带电的平行平板,

如图(a)放置，取坐标原点为零电势点，求空间各点的电势分布并画出电势

随位置坐标x变化的关系曲线.

题5-26图

分析由于“无限大”均匀带电的平行平板电荷分布在“无限”空间，不能

采用点电荷电势叠加的方法求电势分布：应该首先由“无限大”均匀带电平

板的电场强度叠加求电场强度的分布，然后依照电势的定义式求电势分布.

解山''无限大”均匀带电平板的电场强度±£i,叠加求得电场强度的

2%

分布,

0(x<-a)

E=\---i[-a<x<a\

2%

0(x>a)

电势等于移动单位正电荷到零电势点电场力所作的功

V=[E--■—X(-a<x<a)

V=p£-d/+[EAl=­a(x<-a)

**%

K=『E-d/+，E-d/=-£q(x>a)

&Ji1%

电势变化曲线如图(b)所示.

5-27两个同心球面的半径分别为品和%，各自带有电荷和02.求:

(1)各区域电势分布，并画出分布曲线；(2)两球面间的电势差为多少？

题5-27图

分析通常可采用两种方法(1)由于电荷均匀分布在球面上，电场分布也具

有球对称性，因此，可根据电势与电场强度的积分关系求电势.取同心球面

为高斯面，借助高斯定理可求得各区域的电场强度分布，再由匕,=[F-d/

可求得电势分布.(2)利用电势叠加原理求电势,一个均匀带电的球面，在球

面外产生的电势为

4兀

在球面内电场强度为零，电势处处相等，等于球面的电势

4兀%R

其中及是球面的半径.根据上述分析，利用电势叠加原理，将两个球面在各

区域产生的电势叠加，可求得电势的分布.

解1(1)由高斯定理可求得电场分布

B=o(，,＜凡)

4=4方4(&＜「＜&)

七3=,广冬.Q4)

4也尸

山电势p=「E.d/可求得各区域的电势分布.

当rWRi时，有

2广

匕=『£「d/+:…+比义

0+2J___r_1_I。I+。2

4g04兀%7?2

2

Qi4-

4峻凡4必。冬

当R<rW/?2时，有

匕=『弓.5+工品―“

一。「111,e,+e2

4/rR24/7?2

一_。1I。2

4g/4TU:0R2

当「时，有

匕=「£/”=Qi+。2

4n£Qr

(2)两个球面间的电势差

11

4

4兀%(R]R2

解2(1)由各球面电势的叠加计算电势分布.若该点位于两个球面内，即厂

WR,贝ij

匕=2i,Q.

4疵0及1

若该点位于两个球面之间，即尺WWR2,则

%=a+上_

~4妹0/4TU:07?2

若该点位于两个球面之外，即,则

匕-Ql+Q

471M

(2)两个球面间的电势差

4=(匕—匕2,0

471£07?!471£07?2

5-28一半径为R的无限长带电细棒，其内部的电荷均匀分布，电荷的

体密度为？现取棒表面为零电势，求空间电势分布并画出分布曲线.

题5-28图

分析无限长均匀带电细棒电荷分布呈轴对称,其电场和电势的分布也呈轴

对称.选取同轴柱面为高斯面，利用高斯定理

可求得电场分布E。），再根据电势差的定义

并取棒表面为零电势（加=0），即可得空间任意点。的电势.

解取高度为/、半径为厂且与带电棒同轴的圆柱面为高斯面，由高斯定理

当WR时

E-2jirl=Tir2lp/

得E⑺=畀

2%

当时

E-2Ml=TIR?Ip/%

得4）=算

27r

取棒表面为零电势，空间电势的分布有

当rWR时

当rNR时

如图所示是电势，随空间位置r的分布曲线.

5-29一圆盘半径R=3.00XI。、m.圆盘均匀带电，电荷面密度

2.00X105Cm2.（1）求轴线上的电势分布;⑵根据电场强度与电势梯

度的关系求电场分布；（3）计算离盘心30.0cm处的电势和电场强度.

题5-29图

分析将圆盘分割为一组不同半径的同心带电细圆环，利用带电细环轴线上

一点的电势公式，将不同半径的带电圆环在轴线上一点的电势积分相加，即

可求得带电圆盘在轴线上的电势分布，再根据电场强度与电势之间的微分关

系式可求得电场强度的分布.

解(1)带电圆环激发的电势

,r.1(r2nrdr

dr=-----7.•

4%"+一

由电势叠加，轴线上任一点P的电势的

(2)轴线上任一点的电场强度为

电场强度方向沿x轴方向.

(3)将场点至盘心的距离x=30.0cm分别代入式(1)和式(2),得

r=1691V

£=5607Vm-1

当x»R时，圆盘也可以视为点电荷，其电荷为quTrRZbnSKSxlO-sC

依照点电荷电场中电势和电场强度的计算公式，有

P=q=1695V

4%了

£=—^-=5649Vm*

4ns0x

由此可见，当x>>R时，可以忽略圆盘的几何形状，而将带电的圆盘当作

点电荷来处理.在木题中作这样的近似处理,E和V的误差分别不超过0.3%

和0.8%,这已足以满足一般的测量精度.

2

5-30两个很长的共轴圆柱面（R=3.0X10m,R2=0.10m）,带有

等量异号的电荷，两者的电势差为450V.求：（1）圆柱面单位长度上带有

多少电荷？（2）r=0.05m处的电场强度.

解（1）由习题5-21的结果，可得两圆柱面之间的电场强度为

♦丸

E=-----

2兀

根据电势差的定义有

4ETdl=—^―In&

J&2%)7?,

-8-1

解得A=27ieot/12/ln^=2.1xlOCm

R\

(2)解得两圆柱面之间r=0.05m处的电场强度

E=上一=7475V-m-1

2nsar

5-31轻原子核（如氢及其同位素质、航的原子核）结合成为较重原子核的

过程，叫做核聚变.在此过程中可以释放出巨大的能量.例如四个氢原子核

（质子）结合成一个氮原子核（a粒子）时，可释放出25.9MeV的能量.即

4；HT；He+2：e+25.9MeV

这类聚变反应提供了太阳发光、发热的能源.如果我们能在地球上实现核聚

变，就能获得丰富廉价的能源.但是要实现核聚变难度相当大，只有在极高

的温度下，使原子热运动的速度非常大，才能使原子核相碰而结合，故核聚

变反应又称作热核反应.试估算：（1）一个质子（；H）以多大的动能（以电子

伏特表示）运动，才能从很远处到达与另一个质子相接触的距离？（2）平均

热运动动能达到此值时，温度有多高？（质子的半径约为1.0X10-卜m）

分析作为估算，可以将质子上的电荷分布看作球对称分布，因此质子周围

的电势分布为

将质子作为经典粒子处理，当另一质子从无穷远处以动能反飞向该质子时，

势能增加，动能减少，如能克服库仑斥力而使两质子相碰，则质子的初始动

能

.

EKO-e匕R=~~r

47t£or27?

假设该氢原子核的初始动能就是氢分子热运动的平均动能，根据分子动理论

知：

_3