水力学系统讲义第二章水静力学

第二章水静力学主要内容：§2-1静水压强及其特性§2-3重力作用下静水压强的分布规律§2-2液体平衡微分方程及其积分液体处于平衡状态时，液体质点之间没有相对运动，液体内部不存在切应力；水静力学的任务:是研究液体平衡的基本规律及其实际应用。液体质点间的相互作用是通过压强的形式表现出来的。液体的平衡状态有两种静止状态相对平衡状态2.1.1静水压强在静止液体中，围绕某点取一微小受作用面，面积为∆A，作用于该面上的压力为∆P，那么平均压强∆P/∆A的极限值就定义为该点的静水压强，用符号p表示，其数学表达式为2.1静水压强及其特性国际单位制中，静水压强p的单位为Pa（N/m²）。2.1.2静水压强的特性静水压强有两个重要的特性：特性二：静止液体中任一点上各方向压强的大小都相等。（静水压强各向同性）特性一：静水压强的方向沿受作用面的内法线方向。静水压强各向同性证明cos(n,x),cos(n,y),cos(n,z)为斜平面BCD外法线n的方向余弦；dx，dy，dz为四面体ABCD的棱长；dA为斜平面BCD的面积；px，py，pz，pn分别表示与坐标轴一致的平面和斜面上的平均压强

四面体各面的总压力四面体受力分析四面体ABCD的质量质量力在坐标轴方向的分量为四面体的质量力由力的平衡条件可知，作用于平衡体上的所有外力沿任一坐标轴方向投影的代数和为零

四面体四个表面面积之间的关系注意：同一点上各个方向静水压强的大小是相等的。但不同点的静水压强则不一定相等，故静水压强是位置坐标的函数

2.2液体平衡微分方程及其积分

液体平衡的微分方程描述的是液体处于平衡状态时作用于液体上各种力之间关系的方程式。

在静止液体中取一个微小六面体，各边长分别为dx、dy、dz，并与相应的坐标轴平行。液体平衡微分方程表面力X方向：静水压力质量力X方向：根据液体平衡条件，对于X轴有

以

除上式，整理可得同理，对y、z轴方向可推出类似结果，从而可得液体平衡微分方程上式的物理意义为：液体处于平衡状态时，单位质量液体所受的表面力与质量力彼此相等。注意：该方程对于不可压缩液体和可压缩液体均适用。

2.2.2液体平衡微分方程的积分将液体平衡微分方程中各式依次乘以dx、dy、dz并将它们相加，得存在某一力势函数Ω(x,y,z)与单位质量力在各坐标轴上的投影X、Y、Z满足以下关系：

左边是连续函数p(x,y,z)的全微分dp,则

满足上式的质量力称为有势力。

上式即为不可压缩液体平衡微分方程的积分式。

在有势力Ω(x,y,z)的作用下，液体平衡微分方程可以表达为

对于不可压缩液体，密度ρ为常数，上式积分可得注意：对于处于平衡状态的不可压缩液体（密度ρ为常数），质量力必为有势力。由边界条件确定2.2.3等压面等压面：静止液体中压强相等的各点所组成的面(平面或曲面)称为等压面。

等压面方程根据等压面的定义dp=0，由液体平衡微分方程式可得等压面的性质性质1：等压面也是等势面。由可知当dp=0时，dΩ=0，所以等压面上各点的力势函数Ω也是常数。性质2：等压面与质量力的方向正交。证明：设单位质量力f=Xi+Yj+Zk，它与等压面上任意微小线段dl=dxi+dyj+dzk的点积为由于矢量f与dl都不为零，所以质量力f与等压面上任一微小线段dl互相垂直，即质量力垂直于等压面。根据这一性质，可以通过质量力的方向确定出等压面的形状。

2.3重力作用下静水压强的分布规律2.3.1水静力学基本方程质量力只有重力时，作用在单位质量液体上的质量力在各坐标轴上的分量为当液体的密度为常数时，积分上式后得重力作用下的水静力学基本方程当z=z0时，p=p0,可得

再代入可得对液体中任意两点有水静力学基本方程的第二种形式水静力学基本方程的第三种形式在均匀连续介质中，静水压强分布具有如下特点(1)表面压强p0对液体内部任何点的压强都有影响，也即就是说p0

向液体内部的任何地方传递，即帕斯卡（B.Pascal）定律；(2)静水压强与水深成正比，并沿水深是按直线规律分布；(3)当z1=z2时，则p1=p2，即在均质连续的静止液体中，水平面是等压面。(4)当z1>z2时，则p1<p2，即位置较低点的压强大于位置较高点的压强。2.3策.2位置勤水头悦、压禁强水缠头、养测压阻管水龙头z表示炭某点慨位置拆到基嘴准面街的高棋度，造称为位置燥水头；由重力液作用下蚊的水静拖力学基软本方程表示奏该点贵压强闻的液称柱高裂度，挎称为压强士水头。表示测际压管液赶面到基咏准面的左高度，休称为测压管湿水头。注意：以上煮各项春均具问有长巩度量麻纲；位置拉水头表示束单位循重量丧液体师从某除一基玻准面填算起征所具滴有的辛位置壁势能籍，简饭称位反能。位置水闸头、压驻强水头辱、测压柔管水头摸的物理拍意义压强水接头表示宏单位乡丰重量临液体维从压退强为闪大气府压强称算起激所具考有的超压强船势能臂，简重称压扯能。测压管疯水头为位置活水头和鼻压强水映头之和酸，它代缎表了总柔势能。重力山作用帜下的臂水静闪力学彩基本辨方程巾表示漂就是单位重字量液体笔的势能笨守恒方齿程。2.地3.耻3绝对雾压强戒、相指对压贤强、肢真空童度绝对压凶强：以辩物理礼上绝漆对真径空状奔态下可的压判强为托零点瞒计量漏的压雄强称傍为绝伍对压歼强，略以pab穿s表示。相对压五强：以当家地大邀气压扶强作耐为零昌点计池量的尘压强边称为王相对弃压强钢，以pr表示。注意：绝烤对压蜘强的萌数值渐总是些正的吗；相对规压强pr与绝对变压强pab费s之间冠存在棕如下遥关系恢：真空诱压强：如果液塑体中某攻处的绝畅对压强俊小于大沃气压强饲，则相顽对压强竿为负值私，称为芒负压。倍负压的蛋绝对值青称为真葵空压强器，以pv表示。真空资度：真空挪压强脖用水降柱高相度表茧示时胜称为逝真空腐度，纵记为hv。1个工程王大气压个的绝对楼压强为98吉kN洪/m2，或10损m水柱高融。2.3蚕.4静水对压强枝图示依据：注意：矢线员的长弦短表裕示压必强大胜小，萝箭头亦的方滥向即覆压强甜的方假向，慢垂直咳于受悟压面械。水静铃力学魔基本砖方程静水勾压强页图示情以p为横坐狂标，h为纵录坐标捷。用相扫对压捧强表典示的惭斜面搬、折皮面及瓶曲面惕上的脾静水弄压强箭分布搂图例2.3勺.1求一刻淡水背池距估自由备水面3m处的相蹦对压强导与绝对史压强。(当地大谜气压强起为98k答N/