陕西省宝鸡市高考数学二模试卷理科含解析

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2020年陕西省宝鸡市高考数学二模试卷（理科）

一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.把正确选项的代号填在答题卡上1．设会集U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，5}，则A∩（?B）=（）UA．{1，3}B．{2}C．{2，3}D．{3}2．若复数，则|z|=（）A．B．1C．D．3．已知椭圆标准方程x2+=1，则椭圆的焦点坐标为（）A．（，0）（﹣，0）B．（0，），（0，﹣）C．（0，3）（0，﹣3）D．（3，0），（﹣3，0）4．以下命题正确的选项是（）A．函数y=sinx在区间（0，π）内单一递加B．函数y=tanx的图象是关于直线成轴对称的图形C．函数y=cos4x﹣sin4x的最小正周期为2πD．函数的图象是关于点成中心对称的图形5．已知条件p：k=；条件q：直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切，则￢p是￢q的（）A．充分必需条件B．必需不充分条件C．必需不充分条件D．既不充分也不用要条件6．已知向量=（cosα，﹣2），=（sinα，1），且∥，则2snαcosα等于（）A．﹣B．﹣3C．3D．7．已知两条直线l：（m+3）x+4y+3m﹣5=0，l：2x+（m+6）y﹣8=0，且l⊥l2，则直线l1121的一个方向向量是（）A．（1，﹣）B．（﹣1，﹣）C．（1，﹣1）D．（﹣1，﹣1）8．已知变量x，y，满足拘束条件，目标函数z=x+2y的最大值为10，则实数a的值为（）A．2B．C．4D．89．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S5、S4、S6成等差数列．则数列{an}的公比为q的值等于（）A．﹣2或1B．﹣1或2C．﹣2D．1

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10．在边长为4的等边三角形OAB内部任取一点P，使得?≤4的概率为（）

A．B．C．D．

11．若f（x）=xex﹣a有两个零点，则实数a的取值范围是（）

A．（，+∞）B．（，0）C．（﹣，+∞）D．（﹣，0）

12．定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=f（x），当x∈[0，2）时，f（x）

=函数g（x）=x3+3x2+m．若?s∈[﹣4，2），?t∈[﹣

4，﹣2），不等式f（s）﹣g（t）≥0建立，则实数m的取值范围是（）

A．（﹣∞，﹣12]B．（﹣∞，﹣4]C．（﹣∞，8]D．（﹣∞，]

二、填空题:本大题共4小题，每题5分，满分20分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上13．若（1+x+x2）6=a0+a1x+a2x2++a12x12，则a2+a4++a12=．

14．一个无上盖容器的三视图以以以以下图，则该几何体的表面积

为．

15．如图，是一程序框图，则输出结果为．

16．已知双曲线x2﹣=1的左、右焦点分别为F、F，P为双曲线右支上一点，点Q的12坐标为（﹣2，3），则|PQ|+|PF1|的最小值为．三、解答题：解答题须写出文字说明、证明过程或演算步骤

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18．三角形ABC中，已知sin2A+sin2B+sinAsinB=sin2C，此中，角A，B，C所对的边分别

为a，b，c．

（Ⅰ）求角C的大小；

（Ⅱ）求的取值范围．19．某学校研究性学习小组对该校高三学生视力状况进行检查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并获得如图直方图：（Ⅰ）若直方图中前三组的频数成等比数列，后四组的频数成等差数列，试预计整年级视力在以下的人数；（Ⅱ）学习小构成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比好多，为了研究学生的视力与学习成绩能否有关系，对年级名次在1～50名和951～1000名的学生进行了检查，获得以下数据：能否近视1～50951～1000年级名次近视4132不近视918依据表中的数据，能否在犯错的概率不超出的前提下以为视力与学习成绩有关系？（Ⅲ）在（Ⅱ）中检查的100名学生中，依据分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步检查他们优异的护眼习惯，而且在这9人中任取3人，记名次在1～50名的学生人数为X，求X的分布列和数学希望．P（K2≥k）k附：

．

20．如图，在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，AE⊥平面CDE，已知AE=DE=2，

F为线段DE的中点．

（Ⅰ）求证：BE∥平面ACF；

（Ⅱ）求二面角C﹣BF﹣E的平面角的余弦值．

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21．已知抛物线G的极点在原点，焦点在y轴的正半轴上，抛物线上的点P（m，4）到焦

点的距离等于5

（Ⅰ）求抛物线G的方程；

2）若正方形ABCD的三个极点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜0≤x2＜x3）在抛物线上，可设直线BC的斜率k，求正方形ABCD面积的最小值．

22．已知函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣2

（Ⅰ）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；

（Ⅱ）若函数y=f（x）+g（x）有两个不一样样样的极值点x1，x2（x1＜x2）且x2﹣x1＞ln2，务实数a的取值范围．

请考生在22、23、24三题中任选一题做大，假如多做，则按所做的第一题计分。作答时请写清题号。[选修4-1：几何证明选讲]

24．已知：如图，在Rt△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点D作

DE⊥BC，垂足为E，连接EA交⊙O于点F．求证：

（Ⅰ）DE是⊙O的切线；

（Ⅱ）BE?CE=EF?EA．

[选修4-4：极坐标与参数方程选讲]

26．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：

ρsin2θ=2acosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为（t为参

数），l与C分别交于M，N．

（1）写出C的平面直角坐标系方程和l的一般方程；

（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．

[选修4-5：不等式选讲]

28．设函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|

（Ⅰ）求f（x）的最小值，并求出f（x）取最小值时x的取值范围；

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（Ⅱ）若不等式f（x）≤a（x+1）的解集为空集，务实数a的取值范围．

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2020年陕西省宝鸡市高考数学二模试卷（理科）

参照答案与试题剖析

一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.把正确选项的代号填在答题卡上

1U={1234，5}，A={123}，B={2，5}，则A∩UB）=（）．设会集，，，，，（?A．{1，3}B．{2}C．{2，3}D．{3}

【考点】交、并、补集的混杂运算．

【剖析】利用会集的补集的定义求出会集B的补集；再利用会集的交集的定义求出A∩CUB【解答】解：∵U={1，2，3，4，5}，B={2，5}，

?UB={1，3，4}，又∵A={1，2，3}，

∴A∩（?UB）={1，2，3}∩{1，3，4}={1，3}．

应选：A．

2．若复数，则|z|=（）

A．B．1C．D．

【考点】复数求模．

【剖析】依据复数的模的定义，利用两个复数商的模等于被除数的模除以除数的模，运算求

得结果．

【解答】解：因为复数，则|z|=||===．

应选D．

3．已知椭圆标准方程x2+=1，则椭圆的焦点坐标为（）

A．（，0）（﹣，0）B．（0，），（0，﹣）C．（0，3）（0，﹣3）D．（3，

0），（﹣3，0）

【考点】椭圆的简单性质．

【剖析】依据题意，由椭圆标准方程剖析可得该椭圆的焦点在y轴上，从而可得c的值，由

椭圆的焦点坐标公式可得答案．

【解答】解：依据题意，椭圆标准方程x2+=1，

则其焦点在y轴上，且c==3，则椭圆的焦点坐标为（0，3）和（0，﹣3），

应选：C．

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4．以下命题正确的选项是（）

A．函数y=sinx在区间（0，π）内单一递加

B．函数y=tanx的图象是关于直线成轴对称的图形

C．函数y=cos4x﹣sin4x的最小正周期为2π

D．函数的图象是关于点成中心对称的图形

【考点】余弦函数的对称性；二倍角的余弦；正弦函数的单一性；正切函数的奇偶性与对称性．

【剖析】关于A利用正弦函数的单一性，判断正误即可；

关于B，利用正切函数的性质判断即可；

关于C，经过化简以及二倍角公式直接求出函数的周期即可判断正误；

关于D，代入x=，函数的值能否为0，即可判断正误．

【解答】解：A、函数y=sinx在区间（0，π）内单一递加，明显不正确，函数有增有减；

B、函数y=tanx的图象是关于直线成轴对称的图形，不正确，正切函数没有对称轴；

C、函数y=cos4x﹣sin4x=cos2x，它的最小正周期为π，不是2π．

D、函数=，所以函数的图象是关于点成中心对称的图形，正确．应选D．5．已知条件p：k=；条件q：直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切，则￢p是￢q的（）A．充分必需条件B．必需不充分条件C．必需不充分条件D．既不充分也不用要条件【考点】必需条件、充分条件与充要条件的判断．【剖析】条件q：直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切，可得：=1，解得k．即可判断出p是q的充分不用要条件．从而得出答案．【解答】解：条件q：直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切，可得：=1，解得k=．∴p是q的充分不用要条件．则￢p是￢q的必需不充分条件．应选：B．6．已知向量=（cosα，﹣2），=（sinα，1），且∥，则2snαcosα等于（）A．﹣B．﹣3C．3D．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；三角函数中的恒等变换应用．

【剖析】先依据向量的平行获得cosα=﹣2sinα，即sinα?cosα＜0，再依据同角的三角函数的关系即可求出．

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【解答】解：向量=（cosα，﹣2），=（sinα，1），且∥，

cosα=﹣2sinα，

sinα?cosα＜0

sin2α+cos2α=1，

∴sin2α=，cos2α=，

∴4sin2αcos2α=，

∴2sinαcosα=﹣

应选：A．

7．已知两条直线l1：（m+3）x+4y+3m﹣5=0，l2：2x+（m+6）y﹣8=0，且l1⊥l2，则直线l1

的一个方向向量是（）

A．（1，﹣）B．（﹣1，﹣）C．（1，﹣1）D．（﹣1，﹣1）

【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．

【剖析】由直线垂直可得m的方程，解得m值可得直线l1的斜率，可得方向向量．

【解答】解：∵两条直线l1：（m+3）x+4y+3m﹣5=0，l2：2x+（m+6）y﹣8=0，且l1⊥l2，

2（m+3）+4（m+6）=0，解得m=﹣5，故直线l1：（﹣5+3）x+4y+3（﹣5）﹣5=0，

化简可得x﹣2y+10=0，∴直线l1的斜率为，∴直线l1的方向向量为（1，），

经考据向量（﹣1，﹣）与（1，）平行，故也是直线的方向向量．

应选：B．

8．已知变量x，y，满足拘束条件，目标函数z=x+2y的最大值为10，则实数a

的值为（）

A．2B．C．4D．8

【考点】简单线性规划．

【剖析】作出不等式组对应的平面地域，利用目标函数z=x+2y的最大值为10，利用数形联合即可获得结论．

【解答】解：作出不等式组对应的平面地域如图：

设z=x+2y得y=x+，平移直线y=x+，由图象可知当直线y=x+经过点A时，直线y=x+的截距最大，此时z最大为10，

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由，解得，

即A（4，3），同时A也在直线x=a上，

∴a=4，

应选：C

9．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S5、S4、S6成等差数列．则数列{an}的公比为q的值等于（）A．﹣2或1B．﹣1或2C．﹣2D．1

【考点】等比数列的前n项和．

【剖析】S5、S4、S6成等差数列，可得：2S4=S5+S6成等差数列．当q=1时，不能够立，舍去．当

q≠1时，0=2a5+a6，解出即可得出．【解答】解：∵S5、S4、S6成等差数列，

2S4=S5+S6成等差数列，

∴当q=1时，不能够立，舍去．

当q≠1时，0=2a5+a6，

a5（2+q）=0，解得q=﹣2．

则数列{an}的公比为q=﹣2．应选：C．

10．在边长为4的等边三角形OAB内部任取一点P，使得?≤4的概率为（）

A．B．C．D．

【考点】平面向量数目积的运算．

【剖析】设与的夹角为θ，则0≤θ≤，0≤||≤3，获得0≤?≤12，依据概率公式

计算即可．【解答】解：设与的夹角为θ，则0≤θ≤，0≤||≤3，由题意可得?=||||cos=4||cos?θθ，∴0≤?≤12，

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∴使得4=，?≤的概率为应选：C．

11．若f（x）=xex﹣a有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．（，+∞）B．（，0）C．（﹣，+∞）D．（﹣，0）【考点】利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系．

【剖析】利用函数与方程的关系，利用参数分别法进行分别，构造函数，求出函数的导函数，求出函数的最小值，依据函数的零点和最值关系即可获得结论．

【解答】解：若f（x）=xex﹣a有两个零点，等价为f（x）=xex﹣a=0，即a=xex有两个根，设h（x）=xex，则函数h（x）=xex的导函数h′（x）=（x+1）ex，令h′（x）=0，则x=﹣1

∵当x∈（﹣∞，﹣1）时，h′（x）＜0，函数f（x）单一递减；当x∈（﹣1，+∞）时，h′（x）＞0，函数f（x）单一递加；故当x=﹣1时，函数取最小值h（﹣1）=﹣e﹣1，

∵当x≥0时，h（x）≥0，

当x＜0时，h（x）＜0，∴若a=xex有两个根，

则＜a＜0，

应选：D

12．定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=f（x），当x∈[0，2）时，f（x）

=函数g（x）=x3+3x2+m．若?s∈[﹣4，2），?t∈[﹣

4，﹣2），不等式f（s）﹣g（t）≥0建立，则实数m的取值范围是（）

A．（﹣∞，﹣12]B．（﹣∞，﹣4]C．（﹣∞，8]D．（﹣∞，]【考点】其余不等式的解法；特称命题．

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【剖析】由f（x+2）=f（x）得f（﹣）=2f（）=2×（﹣2）=﹣4，x∈[﹣4，﹣3]，f（﹣

）=2f（﹣）=﹣8，

s∈[﹣4，2），f（s）最小=﹣8，借助导数判断：?t∈[﹣4，﹣2），g（t）最小=g（﹣4）=m﹣16，不等式f（s）﹣g（t）≥0恒建立，得出f（s）小=﹣8≥g（t）最小=g（﹣4）=m﹣16，求解即可．

【解答】解：∵当x∈[0，2）时，f（x）=，

∴x∈[0，2），f（0）=为最大值，

∵f（x+2）=f（x），

f（x）=2f（x+2），∵x∈[﹣2，0]，

f（﹣2）=2f（0）=2×=1，

x∈[﹣4，﹣3]，

f（﹣4）=2f（﹣2）=2×1=2，

∵?s∈[﹣4，2），

f（s）最大=2，

f（x）=2f（x+2），

x∈[﹣2，0]，

f（﹣）=2f（）=2×（﹣2）=﹣4，∵x∈[﹣4，﹣3]，

f（﹣）=2f（﹣）=﹣8，

?s∈[﹣4，2），

f（s）最小=﹣8，

∵函数g（x）=x3+3x2+m，g′（x）=3x2+6x，23x+6x＞0，x＞0，x＜﹣2，

3x2+6x=0，x=0，x=﹣2，32∴函数g（x）=x+3x+m，在（﹣∞，﹣2）（0，+∞）单一递加．

?t∈[﹣4，﹣2），g（t）最小=g（﹣4）=m﹣16，

∵不等式f（s）﹣g（t）≥0，

∴﹣8≥m﹣16，

故实数满足：m≤8，

应选C．

第11页（共23页）

二、填空题:本大题共4小题，每题5分，满分20分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上2621213．若（1+x+x）=a0+a1x+a2x++a12x，则a2+a4++a12=364．

【剖析】经过观察可知，分别令x=0，x=1，x=﹣1即可求a12+a10+a8++a2的值．

【解答】解：∵（x2+x+1）6=a12x12+a11x11++a2x2+a1x+a0，

令x=0可得，a0=1

∴当x=1时，a12+a11++a2+a1+a0=36，①；当x=﹣1时，（x2+x+1）6=a12﹣a11++a2﹣a1+a0=1，②两式订交可得2（a12+a10+a8+a6+a4+a2+a0）=730，

∴a12+a10+a8++a2+a0=365．

a12+a10+a8++a2=364

故此题答案为：364

14．一个无上盖容器的三视图以以以以下图，则该几何体的表面积为（5+）

π．

【考点】由三视图求面积、体积．

【剖析】空间几何体是圆柱里面挖去一个圆锥，圆锥的底面直径是2，圆锥的高是2，求出

圆柱表现出来的表面积，圆锥的表面积，乞降获得结果．

【解答】解：由三视图知，空间几何体是圆柱里面挖去一个圆锥，圆锥的底面直径是2，圆

锥的高是2，

2∴圆柱表现出来的表面积是π×1+π×2×2=5π，

圆锥的侧面积是π×2×=

∴空间组合体的表面积是（5+）π；

故答案为：（5+）π．

15．如图，是一程序框图，则输出结果为75．

【考点】程序框图．

第12页（共23页）k≤10，S=3，k=3k≤10，S=12，k=5k≤10，S=27，k=7k≤10，S=48，k=9k≤10，S=75，k=11

【剖析】依据题意，模拟程序语言的运转过程，即可得出输出的结果．

【解答】解：模拟履行程序，可得

k=1，S=0

满足条件

满足条件

满足条件

满足条件

满足条件

不满足条件k≤10，撤出循环，输出S的值为75．

故答案为：75．

16．已知双曲线x2﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2，P为双曲线右支上一点，点Q的坐标为（﹣2，3），则|PQ|+|PF1|的最小值为7．【考点】双曲线的简单性质．【剖析】依题意，可求得F1（﹣4，0），F2（4，0），P在双曲线的右支上，利用双曲线的定义|PF1|﹣|PF2|=4，可求得|PF1|=|PF2|+4，从而可求得|PF1|+|PQ|的最小值．【解答】解：由双曲线方程得a=1，c=2

∵P在双曲线的右支上，

|PF1|﹣|PF2|=2，

|PF1|=|PF2|+2，

又双曲线右焦点F2（2，0），

|PF1|+|PQ|=|PF2|+4+|PQ|≥|QF2|+2

=+2═5+2=7，（当且仅当Q、P、F2三点共线时取“=”）．

则|PQ|+|PF1|的最小值为7．

故答案为：7．

三、解答题：解答题须写出文字说明、证明过程或演算步骤

18．三角形ABC中，已知sin2A+sin2B+sinAsinB=sin2C，此中，角A，B，C所对的边分别

为a，b，c．

（Ⅰ）求角C的大小；

第13页（共23页）

（Ⅱ）求的取值范围．

【考点】余弦定理；正弦定理．

【剖析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，再利用余弦定理表示出cosC，将得出关系式代

入求出cosC的值，确立出C的度数；

（Ⅱ）由（Ⅰ）及正弦定理化简可得：=，联合A的范围，可得＜sin

（A）＜1，即可得解．

【解答】解：（Ⅰ）由sin2A+sin2B+sinAsinB=sin2C，利用正弦定理化简得：a2+b2﹣c2=﹣ab，

∴cosC===﹣，

即C=．

（Ⅱ）∵由（Ⅰ）可得：B=，

∴由正弦定理可得：===

=，

∵0，A＜，＜sin（A）＜1，

∴＜＜，从而解得：∈（1，）．

19．某学校研究性学习小组对该校高三学生视力状况进行检查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并获得如图直方图：（Ⅰ）若直方图中前三组的频数成等比数列，后四组的频数成等差数列，试预计整年级视力在以下的人数；（Ⅱ）学习小构成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比好多，为了研究学生的视力与学习成绩能否有关系，对年级名次在1～50名和951～1000名的学生进行了检查，获得以下数据：能否近视1～50951～1000年级名次近视4132第14页（共23页）

不近视918

依据表中的数据，能否在犯错的概率不超出的前提下以为视力与学习成绩有关系？

（Ⅲ）在（Ⅱ）中检查的100名学生中，依据分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一

步检查他们优异的护眼习惯，而且在这9人中任取3人，记名次在1～50名的学生人数为X，求X的分布列和数学希望．

P（K2≥k）

k

附：

．

【考点】独立性检验的应用；失散型随机变量及其分布列；失散型随机变量的希望与方差．【剖析】（Ⅰ）利用直方图中前三组的频率成等比数列，后四组的频率成等差数列，求出视力在以下的频率，即可预计整年级视力在以下的人数；（Ⅱ）求出K2，与临界值比较，即可得出结论；（Ⅲ）依题意9人中年级名次在1～50名和951～1000名分别有3人和6人，X可取0，1，2，3，求出相应的概率，即可求X的分布列和数学希望．【解答】解：（Ⅰ）设各组的频率为fi（i=1，2，3，4，5，6），由前三组的频数成等比数列，后四组的频数成等差数列，可得前三组的频率成等比数列，后四组的频率成等差数列，故f1×，f2×，所以由得f6，所以视力在以下的频率为1﹣，故整年级视力在以下的人数约为1000×0.83=830（Ⅱ）所以在犯错误的概率不超出的前提下以为视力与学习成绩有关系．（Ⅲ）依题意9人中年级名次在1～50名和951～1000名分别有3人和6人，

第15页（共23页）

X可取0，1，2，3，，，

的分布列为

X0123P

X的数学希望

20．如图，在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，AE⊥平面CDE，已知AE=DE=2，

F为线段DE的中点．

（Ⅰ）求证：BE∥平面ACF；

（Ⅱ）求二面角C﹣BF﹣E的平面角的余弦值．

【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判断．

【剖析】（Ⅰ）连接BD和AC交于O，连接OF，由已知得OF∥BE，由此能证明BE∥平

面ACF．

（Ⅱ）以D为原点，以DE为x轴建立坐标系，利用向量法能求出二面角C﹣BF﹣E的平面角的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：连接BD和AC交于O，连接OF，∵ABCD为正方形，∴O为BD中点，∵F为DE中点，∴OF∥BE，∵BE?平面ACF，OF?平面ACF，∴BE∥平面ACF．（Ⅱ）解：∵AE⊥平面CDE，CD?平面CDE，∴AE⊥CD，∵ABCD为正方形，∴CD⊥AD，∵AE∩AD=A，AD，AE?平面DAE，∴CD⊥平面DAE，∵DE?平面DAE，∴CD⊥DE∴以D为原点，以DE为x轴建立以以以以下图的坐标系，则E（2，0，0），F（1，0，0），A（2，0，2），D（0，0，0）∵AE⊥平面CDE，DE?平面CDE，∴AE⊥DE，∵AE=DE=2，∴，∵ABCD为正方形，∴，∴，第16页（共23页）

由ABCD为正方形可得：，∴

设平面BEF的法向量为，

，

由，

令y1=1，则∴设平面BCF的法向量为，，

由，

令y2=1，则，，∴设二面角C﹣BF﹣E的平面角的大小为θ，则

=

∴二面角C﹣BF﹣E的平面角的余弦值为

21．已知抛物线G的极点在原点，焦点在y轴的正半轴上，抛物线上的点P（m，4）到焦

点的距离等于5

（Ⅰ）求抛物线G的方程；

第17页（共23页）

2）若正方形ABCD的三个极点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜0≤x2＜x3）在抛物线上，可设直线BC的斜率k，求正方形ABCD面积的最小值．

【考点】直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程．

【剖析】（1）依据题意可设抛物线的方程为：x2=2py，利用抛物线的定义求得p的值即可可得抛物线方程．

（2）利用直线方程的点斜式设出直线AB，BC，将两直线方程分别于抛物线联立；利用韦

达定理及弦长公式表示出AB，BC；由正方形的边长相等，获得斜率与坐标的关系，代入

BC中，获得函数剖析式l=f（k），利用基本不等式求出正方形边长的最小值，即可得解正方

形ABCD面积的最小值．

【解答】（此题满分为14分）

解：（1）依题意，设抛物线方程为：x2=2py，

又∵4+=5，即p=2，

∴抛物线的方程为：x2=4y，

（2）由（1），可设直线BC的方程为：y=k（x﹣x2）+（k＞0），，

易知x2、x3为该方程的两个根，故有x2+x3=4k，得x3=4k﹣x2，从而得|BC|=（x3﹣x2）=2（2k﹣x2），

近似地，可设直线AB的方程为：y=﹣（x﹣x2）+，

从而得|AB|=（2+kx2），

由|AB|=|BC|，得k2?（2k﹣x2）=（2+kx2），

解得x2=，l=f（k）=（k＞0）

因为l=f（k）=≥=4，

所以S=l2≥32，即S的最小值为32，当且仅当k=1时获得最小值．

22．已知函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣2

（Ⅰ）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；

（Ⅱ）若函数y=f（x）+g（x）有两个不一样样样的极值点x1，x2（x1＜x2）且x2﹣x1＞ln2，务实数a的取值范围．

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．

【剖析】（Ⅰ）求导数，再分类讨论，确立函数在区间上的单一性，即可求得函数的最小值；

（Ⅱ）函数由两个不一样样样的极值点转变成导函数等于0的方程有两个不一样样样的实数根，从而转变成图象的交点问题，由此可得结论．

第18页（共23页）

【解答】解：（Ⅰ）由f′（x）=lnx+1=0，可得x=，

∴∴①0＜t＜，时，函数f（x）在（t，）上单一递减，在（，t+2）上单一递加，∴函数fx）在[t，t+2t0f（=﹣，（]（＞）上的最小值为）②当t≥时，f（x）在[t，t+2]上单一递加，

f（x）min=f（t）=tlnt，

∴f（x）min=；

（Ⅱ）y=f（x）+g（x）=xlnx﹣x2+ax﹣2，则y′=lnx﹣2x+1+a题意即为y′=lnx﹣2x+1+a=0有两个不一样样样的实根x1，x2（x1＜x2），

即a=﹣lnx+2x﹣1有两个不一样样样的实根x1，x2（x1＜x2），

等价于直线y=a与函数G（x）=﹣lnx+2x﹣1的图象有两个不一样样样的交点

∵G′（x）=﹣+2，∴G（x）在（0，）上单一递减，在（，+∞）上单一递加，

画出函数图象的大体形状（如右图），

由图象知，当a＞G（x）min=G（））=ln2时，x1，x2存在，且x2﹣x1的值跟着a的增大而

增大而当x2﹣x1=ln2时，由题意，

两式相减可得ln=2（x1﹣x2）=﹣2ln2

x2=4x1代入上述方程可得x2=4x1=ln2，

此时a=ln2﹣ln（）﹣1，

所以，实数a的取值范围为a＞ln2﹣ln（）﹣1；

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请考生在22、23、24三题中任选一题做大，假如多做，则按所做的第一题计分。作答时请写清题号。[选修4-1：几何证明选讲]

24．已知：如图，在Rt△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点D作

DE⊥BC，垂足为E，连接EA交⊙O于点F．求证：

（Ⅰ）DE是⊙O的切线；

（Ⅱ）BE?CE=EF?EA．

【考点】与圆有关的比率线段；圆的切线的判判断理的证明．

【剖析】（Ⅰ）连接OD，由已知得∠ODA=∠OAD，∠OAD=∠C，从而∠ODA=∠C，从而DO∥BC，由此能证明DE是⊙O的切线．

（Ⅱ）连接BD，由已知得∠BDA=90°，∠BDC=90°，DE2=BE?CE，由此利用切割线定理能证明BE?CE=EF?BA．

【解答】证明：（Ⅰ）连接OD，∵OD=OA，∴∠ODA=∠OAD，又∵AB=BC，∴∠OAD=∠C，∴∠ODA=∠C，∴DO∥BC，又∵DE⊥BC，∴DO⊥DE，

∴