华中师大《线性代数》练习测试题库及答案4096

华中师范大学网络教育学院《线性代数》练习测试题库及答案一.选择题0a000100a21、（B）000an100a0nA.(1)naaaB.(1)n1aaaC.aaa12n12n000012n0aa02、n阶行列式（B）0aa00000n(n1)A.anB.(1)anC.(1)nan2123、（B）＝nn(n1)A.(1)nn!B.(1)C.(1)n1n!n!24、A是n阶方阵，m,l是非负整数，以下说法不正确的是（C）A.(Am)lAmlB.AmAlAmlC.(AB)mAmBm.5、A、B分别为mn、st矩阵,ACB有意义的条件是（C）（C）A.C为mt矩阵；B.C为nt矩阵；C.C为ns矩阵6、下面不一定为方阵的是A.对称矩阵.B.可逆矩阵.C.线性方程组的系数矩阵.127、的伴随矩阵是（A）01121012C.A.B.012101A0（其中A、B为可逆矩阵）的逆矩阵是8、分块矩阵（A）0B0B00A1B1A.B.C.0B00AA119、线性方程组AxbA.r(A)r(Ab)A的列数有唯一解的条件是（A）B.()().C.r(A)r(Ab)A的行数rArAbaxxx1123xaxxa10、线性方程组有唯一解的条件是（A）123xxaxa2123a1,2B.a1或a2.a1A.C.11、＝（2，1，3），＝（4，5，0），(4,2,6)则下面向量组线性无关的是（B）B.，C.，A.，，012、设A为正交矩阵，下面结论中错误的是A.AT也为正交矩阵.B.A-1也为正交矩阵.（C）C.总有A113、二次型fx,x,x,x,x22xx4xx3x2的矩阵为（C）1234112233110012011010202300204B、102A、C、430023000014、设r是实二次型f(x,x,,x)的秩，p是二次型的正惯性指数，q是二次型12n的负惯性指数，是二次型的符号差，那么（B）sA.rpq；15、下面二次型中正定的是（B）A.f(x,x,x)xxB.f(x,x,x)x22x2x3B.rpq；C.spq；21231212312C.f(x,x,x)x22x21231216、设A，B为n阶方阵，满足等式AB0，则必有（(A)A0或B0;(B)AB0；）（C）A0B0;(D)AB017、A和B均为n阶矩阵，且(AB)2A22ABB2，则必有（(A)AE；(B)BE；（C）AB.ABBA。或。）(D)18、设A为mn矩阵，齐次方程组Ax0仅有零解的充要条件是（）(A)A的列向量线性无关；(B)A的列向量线性相关；（C）的行向量线性无关；AA(D)的行向量线性相关.nA19、阶矩阵为奇异矩阵的充要条件是（）nA(A)的秩小于；(B)A0；(C)A的特征值都等于零；(D)A的特征值都不等于零；二、判断题1、若行列式主对角线上的元素全为2、A与B都是3×2矩阵，则A与B的乘积也是3、A是3×2矩阵，B是2×3矩阵，则4、A是mn矩阵，B是ns矩阵，则AB是ms矩阵0，则此行列式为3×2矩阵。0.（）（）A与B，B与A都可以相乘。（）。(）5、设A、B是同阶(AB)A5B5（）方阵，则56、设A、B是同阶由ABO，可得到AO或BO.（）方阵，则0A0A117、设A、B是同阶可逆方阵，则（）B0B011024024308、设A，则4A.（）13010210210.（）01101A9、设，fxx1，则fA01110、行阶梯形矩阵中非零行的个数就是它的秩.（）（）11、设n阶矩阵A满足A22A3E0，则秩A=n.如果向量组,,,线性相关，那么其中每一个向量都是其余向量的1212、n线性组合.（）（）13、如果A是正定矩阵，那么A1也是正定矩阵.（）14、二次型6x25x27x24xx4xx正定.123121415、特征多项式相同的矩阵相似.（）三、填空题1、按定义，5阶行列式有120项，其中带负号的有60项.2、(14532)5.3、(54321)10.1234、行列式D231=-18.312323150-113.5、行列式6120a06、行列式Db0c=0.0d0k127、2k10的必要充分条件是k-1且k31x13如果A=B，则x=3y=-2y08、设A,B20acac9、设A,B,则A+B=,bdbd35433562910、设A121,B211，则A+B=3101414A11则-A=1111、设252512、设A132336,B，且AXB，则X=02151311，则A21213A30113、设A01011210111.A321,B1014、则AB=5303315、设A＝51315391801221，AB，B＝0，则-3A＝04771116、设A＝5011503，AB＝412621-7，B＝2，则3A＝4271127431011110117、A321,B10则AB=,53BA=039634481218、设A＝123，B＝2，则BA246，AB8。000019、设A是3阶矩阵，且A4,，则A*16.20、E1.n2E2n.E1nnnd121、设Dd2，D是可逆矩阵的条件是ddd012ndn22、设A31356203,A第在2列加上第1列的3倍，在第3列上加上第4列的2倍B,则B=0403B1020111A11123、a0,010101所作的初等变换是将A的第1a表示对矩阵列的1a倍加到第2列.12324、(2,1,1,4),(4,2,0,7),(2,1,1,3),则秩,,2.1232xx4x01234xaxx4有唯一解的充要条件为a2.25、线性方程组1232xx3x11232xx4x2x2x61234x2x8x4的解为26、线性方程组.21x21232xx5x43123xxa1100001100121xxa23227、线性方程组xxa的系数矩阵为00110，此方343xxa0001145410001xxa515程组有解的必要充分条件为aaaaa1.1234512328、(2,1,1,4),(4,2,4,5),(2,1,5,1),则秩,,2.12329、方阵A的不同特征值对应的特征向量线性无关.(,,,)经过可逆线性变换xCy化为二次型30、设二次型fxxyBy，那么矩阵B=CAC.xxAx12n31、若4阶矩阵A的行列式A5，A32、A为nn阶矩阵，且A2A2E0，则(A2E)1是A的伴随矩阵，则A=。。121x1123a2x321a2x4无解，则a33、已知方程组3f(x,x,x)2x23x2tx22xx2xxt34、二次型围是13是正定的，则的取值范12312312四、计算题11111、计算n阶行列式Dxxxx1234xxxx21222324xxxx41424344答案：D(xx)(xx)(xx)(xx)(xx)(xx)(xxxx)121314232434123451112、计算151111511115811111111111答案：解85111511040051288815111510040811511150004xy00xy00003、计算n阶行列式D00x00.000xyy000x答案：解按第1列展开得Dxn(1)yn1n124、按定义求D的值。n1答案：D1a1nnn!rnn121aa21n2n1n101000200005、按定义求D的值。0000n1n00001答案：D1a1nnn!rnn121aa21n2n1n1a111111a6、求n阶行列式D11an111a答案：Dn1aa1n1n12347、求D234134124123答案：D=3601018、行列式A120的余子式M,M,M13u12132答案：M204，M102,M125321213111213aa00120b009、计算行列式200cc3400d03答案：将行列式按第1列展开b002ccabcd412d0原行列式a10ccab33412430d03343710、计算行列式126425306427343125答案：将此行列式第2行加到第3行，就变成一个范德蒙行列式。原行列式114317111143715525423272537454735357169492642734312543337353139481210368annana1nann1a1an1n111、计算行列式an2a2aa12a1an111答案：这不是一个范德蒙行列式，但如果将首行与末行对换，第二行与倒数第2n行对换，…，就得到范德蒙行列式，当n为偶数时，对换交数为，当n为奇数2n1次，时，对换次数为综合有：2111aa1ana1anjinn1a22nn121原行列式1221jin1a1anan111nnana1annn765432978943D74970012、计算行列式536100005600006800答案：按5，6列展开得：74975361D321561243005600687456468第二个行列式按1,2行展开11531121212113、A310是否可逆？若可逆，求A1102答案；因为A90，所以A可逆。241999A11A19A211A3335129992101314、求矩阵A31的逆矩阵.221671121A1342答案：541220001200015、矩阵A00800是否可逆？若可逆，求它的逆。0003000011A1可将A写成AA2A3其中A22,A8,A30，A20,A80,A30,所以A12123123可逆。1110131经计算A11,A1,A1181232131100011000200A11001所以A1A1281A130000300011332x5x16、用公式法解方程组5xx171212答案；x3,x212＋xxxx51234x2xx4x217、解方程组12342x3xx5x212343xx2x11x012341x1x＝2答案:2x＝33x＝1418、解线性方程组xxxx2512342x4xxx412343x6xxx121234答案:对线性方程组的增广矩阵A作行的初等变换121151211512002A2411400336001133611120011300003方程组无解。25x12x4xxx4xxx23419、解线性方程组12343x6xx2x121234答案：对线性方程组的增广矩阵A作行的初等变换121151211512003A241140033600101(3)(1)(2)(2)2(1)36121200011001232xx132x1对应的线性方程组为3x1432kx132kxkk11解得，其中k为任意常数,解或表示为，其中k为任意常数。2x13x1430811220、知A316,B134，，求解XY，使得AX=BYA=B205205答案：50811211550214XA1B31613410040,YBA14232054219200312030071421、按矩阵秩的定义求A28418的秩。3121132431140，但所有三阶子式全部为零，所以秩A=2。答案：A有二阶子式2xx5xx3xx812346x9422、根据克兰姆法则求解线性方程组122xx2x5234x4x7x6x01234答案：27,81,108,27,27，再根据克兰姆法则求1234得x＝3，x＝-4，x＝-1，x＝11234xx023、为何值时齐次线性方程组有非零解12xx0121210，所以，这答案：方程组有非零解，必有系数行列式D111或时xx2012x3x024、解线性方程组235x03答案：只有唯一的零解。112325、设Ab,,62241）求Ax=0的基础解系；2）求Axb的一个特解，并写出解集；12AAx0答案：1）秩1,1,0的基础解系10213xx2x3得的一个特解0,Axb的解集为02）由Axb1231231S0k1k0|k,kP1121120026、求矩阵A31的全部特征值和特征向量.51答案：IA02，的根为，241111解(4IA)x0得对应于4(c0)是对应于的特征向量是，所以c1114的全部特征向量.1的特征向量是，所以5512解(2IA)x0得对应于2(c0)是对应c22的全部特征向量.于46027、求矩阵A350的全部特征值和特征向量。361答案：全部特征值为-2，1（二重），1对应于-2的全部特征向量为1,(c0),对应于1的全部特征向量为c1201c1c0,(c,,c不全为2零.）121056328、求矩阵A101的全部特征值和特征向量.121答案：IA0的根为1232，解(2IA)x0得两个线性无关的特21征向量1和0，0121因此对应于2的全部特征向量为.c1c210（cc不全为0）1231,201129、设X1AX511211答案：AX51,则X511X111211230、设实二次型f(x,x,x,x)2xx6xx6xx2xx，412341213243（1）写出该二次型的矩阵；（2用正交变换化二次型为标准形，并写出变换的矩阵和标准形。答案：解（1）0130x11003xf(x,x,x,x)(x,x,x,x),23001x0310x1234123434该二次型的矩阵为013010033001A.0310（2）|A|(24)(216),4A的特征值2,2,4,4.123解线性方程组(EA)x0,(i1,2,3,4)，得基础解系i111111111234,,1,.11111111234它们两两正交，再将它们单位化为,,,，令T(,,,),则123411111111T1,211111111xTy224y4y.原二次型经过正交变换化为标准形yy12341x111111x131、计算行列式D1111y111y132、计算n阶行列式x3xxn12xx3x2Dn1nx1xx32n200A032，求一个正交矩阵33、设P使得PAP为对角矩阵。1023xxx0123x2xax0与方程组x2xxa1有公共解。34、已知方程组123123x4xa2x0123求a的值。四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知，，是它的三个解向12335、设量，且23121，343254求该方程组的通解。五、证明题a0b00xy0adbcxwzy1、证明c0d00z0w答案：按行列式将1，3行展开得a0b00x0yab11313xyabxy右边zwcdzwc0d0cd0z0waaa012n0b1100b21nnabii2、求证011j1001bn答案：把第2行乘a全部加到a，第3行乘a，……，第n+1行乘12n第1行，再按第1行展开，可证。n阶方阵，证明AEEAA2AAkEk13、设是A答案：AEEAA2Ak1AEAA2Ak1EEAA2Ak1AA2A3Ak1AkEAA2Ak1AkE4、证明：如果向量组（A）可由向量组（B）线性表示，那么（A）的秩不超过（B）的秩.答案：证明向量组（A）的最大无关组可由向量组（A）可由向量组（B）线性表示；又向量组（B）可由向量组（A）的最大无关组可由向量组（B）的A）的秩不超过（B）的秩A）线性表示；由已知，B）的最向量组（大无关组线性表示，由传递性，向量组（最大无关组线性表示，所以（.5、设向量组,,,线性无关，可由,,,线性表出，试证明由12n12n,,,表出的组合式是唯一的。12nnk'则nn答案：证明设kkk又设k'k'n11221122(kk')(kk')(kk')0111222nnn由于,,,线性无关，故'(1,2,,)，即由,,,表出的kkin12nii12n组合式是唯一的。6、设A为n阶方阵，且A+秩（AA，试证：秩A—E）=n。2答案；证明：由定理14秩（Ａ）＋秩（Ａ－Ｅ）＝秩Ａ＋秩（Ｅ－Ａ）≥秩（Ａ＋Ｅ－Ａ）＝秩Ｅ＝ｎ由问题２结论。由Ａ（Ａ－Ｅ）＝０，有秩Ａ＋秩（Ａ－Ｅ）≤ｎ综合有秩Ａ＋秩（Ａ－Ｅ）＝ｎ,,7、设,,线性无关，证明也线性无关。3答案；证明：设kkk0123即kkkkk013122因a,,线性无关，故kk0,kk0,kk0131223所以kkk01232348、若向量组,,线性相关，向量组,,线性无关。证明：12323(1)能有,线性表出；1123(2)不能由,,线性表出。49、设是阶矩方阵，是阶单位矩阵，可逆，且f(A)(EA)(EA)。AnEnAE1证明(Ef(A))(EA)2E；（1）（2）f(f(A))A。华中师范大学网络教育学院《线性代数》练习测试题库参考答案一.选择题1、B；2、B；3、B；4、C；5、C；6、C；7、A；8、A；9、A；10、A；11、B；12、C；13、C；14、B；15、B。16、C17、D18、A19、A二、判断题1、；2、；7、；3、；8、；4、；5、；6、；9、；10、；14、；15、。11、；12、；13、；三、填空题1、120，60；2、5；3、10；4、-18；5、-113；ac6、0；7、k-1且k3；8、3，-2；9、；,bd1436；1362910、；11、310；12、112512131113、，；14、；53010115391815034；-715、＝，；16、，AB＝3A＝12621012217743481211；18、246，8；19、16；17、101,5396300020、1，，；22、B0403；；21、1nddd010202n12n23、将A的第1列的1a倍加到第2列；24、2；25、a2；11000011000011026xx26、21；27、，1；aaaaax2312345000111000128、2；29、线性无关；30、。CAC31、-125;、；3233、-1；、t3。3425四、计算题1、D(xx)(xx)(xx)(xx)(xx)(xx)(xxxx)1213142324341234811111111111851181511804005122、解8151811511511115004000043、解按第1列展开得Dxn(1)n1yn124、D21aa1n2n1rnn111annn!n!n1125、D21aa1n2n1rnn1ann1n11n16、Dn1aa1n7、D=36020102,M12513138、，11M4M1232129、将行列式按第1列展开b002ccabcd34原行列式a0ccab12d013412430d03310、将此行列式第2行加到第3行，就变成一个范德蒙行列式。原行列式11431711114371552542327253745473535716949264273431254333735313948121036811、这不是一个范德蒙行列式，但如果将首行与末行对换，第二行2行对换，就得到范德蒙行列式，当n为偶数时，对换与倒数第…，nn1交数为，当n为奇数时，对换次数为次，综合有：22111aa1ana1anjia222原行列式1nn11nn1221jin1a1anan111nnana1annn12、按5，6列展开得：74975361D3215612430056006874564第二个行列式按1,2行展开1153112126813、因为A90，所以A可逆。241999A11AA1211A931335299912114、A3421415A115、可将A写成AA2A32230其中，,A1,A8,AA20,A80,A30121112323所以A可逆。11101经计算3A11,A1,A111812321311000110002A1100001所以A1A12813A13000010001316、17、x3,x2121x1x＝22x＝33x＝1418、对线性方程组的增广矩阵A作行的初等变换121151211512002A2411400336001130011300003361112方程组无解。19、对线性方程组的增广矩阵A作行的初等变换121151211512003A241140033600101(3)(1)(2)(2)2(1)36121200123xx23x112对应的线性方程组为3x14x32k32k1xkk解得，其中k为任意常数,解或表示为，其中k2x113x114为任意常数。20、50811211550214XA1B31613410040,YBA142320542192003120321、A有二阶子式24140，但所有三阶子式全部为零，31所以秩A=2。22、，再根据克兰姆法则求27,81,108,27,271234得x＝3，x＝-4，x＝-1，x＝11234123、方程组有非零解，必有系数行列式，所以，210D1这时1或124、只有唯一的零解。12125、1）秩A1,Ax0的基础解系21,01032）由得的一个特解1的解集为xx2x3Axb0,Axb1230231S0k1k0|k,kP1121120026、IA0的根为4，2，1211解(4IA)x0得对应于的特征向量是，所以c4(c0)111是对应于4的全部特征向量.115解(2IA)x0得对应于2的特征向量是2，所以15是对应于2的全部特征向量.c(c0)227、全部特征值为-2，1（二重），1对应于-2的全部特征向量为对应于1的全部特征c1,(c0),120向量为不全为零.）c1c0,(c,,c21211028、IA0的根为，解(2IA)x0得两个线性无关212321，的特征向量1和00121的全部特征向量为.c1c0因此对应于21231210（cc不全为0）1,229、AX11AX则51,X511X111211230、解（1）0130x11003xf(x,x,x,x)(x,x,x,x),23001x0310x1234123434该二次型的矩阵为013010033001A.0310（2）|A|(24)(216),A的特征值2,2,4,4.4123解线性方程组，得基础解系(EA)x0,(i1,2,3,4)i11111111,4,,1.1111231111它们两两正交，再将它们单位化为，令,,,1234则T(,,,),123411111111T1,211111111原二次型经过正交变换化为标准形xTy2y2y4y4y.1234xx0031、解：第一行减第二行，第三行减第四行得：D11x1100yy1111yx000第二列减第一列，第四列减第三列得：D1x1000y0101yx10按第一行展开得0Dxy001y按第三列展开得Dxy1x0yx2y2。32、解：把各列加到第一列，然后提取第一列的公因子x3，再通过行列nii1式的变换化为上三角形行列式1xx2n1x3xDx3n2nnii11xx32n1xx2n0303n1x3x3nn003iii1i133、解：（1）由EA0得A的特征值为1，2，5。1230（2）1的特征向量为，111112的特征向量为，022005的特征向量为。1331（3）因为特征值不相等，则,,正交。12301011（4）将,,单位化得p，，pp011212312231010101（5）取Pp,p,p100123221122100（6）PAP020100534、解：该非齐次线性方程组对应的齐次方程组为AxbAx0因R(A)3，则齐次线性方程组的基础解系有1个非零解构成，即任何一个非零解都是它的基础解系。另一方面，记向量2()，则123AA(2)2AA