高等数学（工科类）PPT全套完整教学课件

高等数学（工科类）第一章

极限与连续第一节

函数第二节

极限的概念第三节

无穷小量与无穷大量第四节极限的运算法则第五节两个重要极限第六节函数的连续性第一节

函数1.函数的定义定义设D是由数组成的集合.如果对于每个数x∈D，变量y按照一定的法则f总有确定的数值和它对应，那么将对应法则f称为在D上x到y的一个函数，记作y=f(x)，x称为自变量,y称为因变量，D称为函数的定义域.当x取x0∈D时，与x0对应的y的数值称为函数在点x0处的函数值，记作f(x0).当x取遍D中的一切数时，对应的函数值集合M={y|y=f(x)，x∈D}称为函数的值域.一、函数的概念2.函数的表示法1）表格法将自变量的值与对应的函数值列成表格表示两个变量的函数关系的方法.如三角函数表、常用对数表以及经济分析中的各种统计报表等.2）图像法用图像表示两个变量的函数关系的方法.如图1-1所示.3.函数的定义域要使解析式有意义，我们通常考虑以下几点：(1)分式的分母不能为零；(2)偶次根式的被开方数必须为非负数；(3)对数式中的真数必须大于零；(4)幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数考虑各自的定义域；(5)若函数表达式是由几个数学式子组成，则其定义域应取各部分定义域的交集；(6)分段函数的定义域是各个定义区间的并集．【解】(1)若使函数有意义，则x2+2x+1≠0，即(x+1)2≠0.即x≠-1.所以函数的定义域为(-∞，-1)∪(-1，+∞).(2)若使函数有意义，则解得1＜x≤2或-2≤x＜-1.所以函数的定义域为［-2，-1)∪(1，2］.(3)若使函数有意义，则所以函数的定义域为(-1，+∞).(4)是分段函数.若使函数有意义，则将分段表达式的定义域合在一起，可得该分段函数的定义域.所以函数的定义域为［0，+∞）【例2】求下列函数的定义域：二、函数的性质1.奇偶性定义2设函数的定义域D关于原点对称.如果对于任意的x∈D,f(-x)=-f(x)，那么f(x)为奇函数；如果对于任意的x∈D，f(-x)=f(x)，那么f(x)为偶函数.否则f(x)为非奇非偶函数.奇函数的图像关于原点对称，如图1-4所示;偶函数的图像关于y轴对称，如图1-5所示.

在判断函数的奇偶性时，一定要先考虑函数的定义域是否关于原点对称.若不关于原点对称，则为非奇非偶函数。【例1】判断下列函数的奇偶性.

【解】(1)因为f(x)的定义域D=(-∞，+∞)是关于原点对称的

区间，又因为对于任意的x∈(-∞，+∞)，

都有f(-x)=(-x)2=x2=f(x)，所以f(x)=x2是偶函数.2.单调性定义3若对于区间D内任意的两点x1，x2，当x1＜x2时，恒有f(x1)＜f(x2)，那么f(x)在区间D上单调增加，区间D称为单调增区间；如果恒有f(x1)＞f(x2)，那么f(x)在区间D上单调减少，区间D称为单调减区间.单调增函数图像沿x轴正向上升，如图1-6所示；单调减函数图像沿x轴正向下降，如图1-7所示.【例2】证明f(x)=x2在区间［0，+∞)上是单调递增函数，在区间(-∞，0)上是单调递减函数.【证明】设x1、x2∈［0，+∞)，且x1＜x2.则因为x1、x2∈［0，+∞)，且x1＜x2，所以所以f(x1)-f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以f(x)=x2在区间［0，+∞)上是单调递增函数.设x1、x2∈(-∞，0)，且x1＜x2，则因为x1、x2∈(-∞，0)，x1＜x2，所以x1+x2＜0，x1-x2＜0.所以f(x1)-f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，所以f(x)=x2在区间(-∞，0)上是单调递减函数.3.有界性定义4设函数f(x)的定义域为D，数集XD.如果存在数K1，使得

f(x)≤K1对任意x∈X都成立，则称函数f(x)在X上有上界，K1称为函数f(x)在X上的一个上界，如果存在数K2，使得

f(x)≥K2对任意x∈X都成立，则称函数f(x)在X上有下界，K2称为函数f(x)在X上的一个下界，如果存在正数M，使得

|f(x)|≤M对任意x∈X都成立，则称函数f(x)在X上有界，如果这样的M不存在，就称函数f(x)在X上无界；这就是说，如果对于任何正数M,总存在x1∈X，使|f(x1)|＞M，那么函数f(x)在X上无界.【例3】就函数f(x)=sinx在(-∞，+∞)内来说，数1是它的一个上界，数-1是它的一个下界(当然，大于1的任何数也是它的上界，小于-1的任何数也是它的下界).又

|sinx|≤1对任一实数x都成立，故函数f(x)=sinx在(-∞，+∞)内是有界的.这里M=1

(当然也可取大于1的任何数作为M而使|f(x)|≤M成立).4.周期性定义5设函数f(x)的定义域为D.对于任意的x∈D，存在不为零的数T，使f(x+T)=f(x)，那么f(x)为D上的周期函数.T称为函数的一个周期，并且nT(n为非零整数)也是它的周期.平时，我们把函数的最小正周期称为函数的周期.【例4】函数y=sinx和y=cosx都是以2π为周期的周期函数.y=sinx和y=cosx的图像分别如图1-8，图1-9所示.

三、初等函数1.基本初等函数我们把常数函数y=c(c为常数)、幂函数y=xα(α为实数)、指数函数y=ax(a＞0，a≠1，a为常数)、对数函数y=logax(a＞0，a≠1，a为常数)、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.

为了便于以后的学习，现将几种常见的基本初等函数的定义域、值域、图像和性质列表如表1-1（见课本P9-P12）2.复合函数定义6若函数y=f(u),u=g(x),且u=g(x)的值域或部分值域包含在f(u)的定义域中,则变量y通过变量u与变量x建立了对应关系,这个对应关系称为y是x的复合函数,u是中间变量,x是自变量,通常将

y=f(u),u=g(x)合并写成

y=f［g(x)］

不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;复合函数也可以由两个以上的函数经过复合构成.【例1】指出下列函数的复合过程:【解】(1)y=cos2x是由y=u2,

u=cosx复合而成的.(2)y=x2+2x是由y=u,

u=x2+2x复合而成的.【例2】【解】一、数列的极限数列是整标函数:注意：

数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取第二节

极限的概念问题:意味着什么?如何用数学语言定量地刻划它.定义1定义2注意:用定义”验证数列极限，关键是如何由任意给定的寻找N

？具体方法：例1证例2证注:例3证证综合之，故数列极限的运算法则【例5】【例6】求下列极限二、函数的极限一般地有定义1几何解释:单侧极限:例如,左极限右极限定理左右极限存在但不相等,例1证例2解左右极限存在且相等,用定义”验证函数极限:关键是如何由寻找

？具体方法：证证证问题:如何用数学语言刻划两个“无限趋近”.二.函数在无穷远处的极限定义2定理1几何解释:用定义”验证函数极限:关键是如何由寻找

？具体方法：证证证定义1

一.无穷小量第三节无穷小与无穷大定理1（一般极限与无穷小的关系）定理2解解二.无穷大及其性质定义3三、无穷大与无穷小的关系注意:无穷大量无界量（证明略）【例4】解答下列各题：第四节函数极限的运算法则(1)1第五节两个重要极限证(证毕(2)证证毕【例1】求下列极限：第六节函数的连续性一、函数连续的概念1.函数的增量2.函数的连续二、初等函数的连续性1.连续函数的和、差、积、商的连续性(四则运算)性质1(复合函数的连续性)性质2极限符号可以进入到连续函数的函数符号内，它对求复合函数的极限是很有用的.（证明略）2.复合函数的连续性一般结论：3.初等函数的连续性性质3：初等函数在其定义域区间上连续.基本初等函数：

常值函数、幂函数、指数函

其定义域区间上都连续.

、反三角函数在

函数、对数函数、三角函数

注意：1.初等函数仅在其定义域区间上连续,例如：函数在这些孤立点的空心邻域内没有定义，

因此在这些孤立点无法讨论其连续性

.在其定义域内不一定连续

.又如：函数在0

点的空心邻域内没有定义，因此在

0点无法讨论其连续性；【例1】解【例2】(i)(ii)三、

闭区间上连续函数的性质性质4（有界性）注意:

若区间是开区间,或闭区间内有间断点,则结论不一定成立.（证明略）性质4（最值性）注意:

若区间是开区间,或闭区间内有间断点,则结论不一定成立.（证明略）性质5（介值定理）Mmab几何解释:证再由性质3,证毕Mmab证【例3】高等数学（工科类）第二章导数与微分第一节导数第二节函数的求导法则第三节

高阶导数第四节

函数的微分一、问题的提出1.自由落体运动的瞬时速度问题取极限得第一节导数的概念如图,

如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.极限位置即2.切线问题割线的极限位置——切线位置二、导数的概念定义1其它形式即2.右导数:单侧导数1.左导数:定义2例1解关于导数的说明：三、导数的几何意义切线方程为法线方程为切线方程为法线方程为切线方程为法线方程为例1解根据导数的几何意义知,所求切线的斜率为所求切线方程为法线方程为四、函数可导性与连续性的关系

另一方面，一个函数在某点连续却不一定在该点可导。例如,0一、函数和、差、积、商的求导法则定理第二节函数的求导法则证(3)证(1)、(2)略.例1解例2解例3解同理可得例4解同理可得例5解同理可得二、复合函数的求导法则定理即因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)证推广例5解例6解例7解例8解例9解三、隐函数的导数隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程两边求导.例10解解得例11解所求切线方程为例12解四、反函数的求导法则定理即反函数的导数等于直接函数导数的倒数.证于是有例13解同理可得例14解特别地五、由参数方程所确定的函数的导数由复合函数及反函数的求导法则得例15解

所求切线方程为例16解例17解基本求导法则与导数公式一、高阶导数的概念定义第三节高阶导数记作三阶导数的导数称为四阶导数,二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.二阶导数的导数称为三阶导数,二、高阶导数求法举例例1解例2解例3解一、微分的定义实例:正方形均匀金属薄片受热后面积的改变量.第四节函数的微分定义定理证(1)必要性(2)充分性例1解二、微分的几何意义几何意义:(如图)MNT）PQ三、微分的运算求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分.1.基本初等函数的微分公式3.复合函数的微分法则2.函数和、差、积、商的微分法则例2解例3解微分形式的不变性例5解例4解四、微分在近似计算中的应用

1.计算函数增量的近似值例6解函数的近似计算例7解常用近似公式证明例8解高等数学（工科类）第三章中值定理与导数的应用第一节

中值定理第二节

洛必达法则第三节

函数单调性的判定法第四节

函数的极值及其求法第五节函数的最大值和最小值第六节曲线的凹凸性与拐点第七节

函数图形的描绘核心是拉格朗日中值定理，罗尔定理是它的特例，柯西中值定理是它的推广。微分中值定理导数与应用的桥梁微分学的理论基础第一节

中值定理则至少存在一点一、罗尔定理（iii）f(a)=f(b).设函数f(x)满足：证:f(x)在[a,b]上必取得最大值M和最小值m.则f(x)在[a,b]上恒为常数，因此f(x)0，定理1（罗尔定理）

（i）在闭区间[a,b]上连续；（ii）在开区间(a,b)内可导；所以对于任一点

(a,b)，(1)若M=m，使由(i)知:都有f()=0；否则f(x)必恒为常数。则M和m之中至少有一个不等于f(a)，

设在点(a,b)处，函数f(x)取得最大值f()=M，都有f(x)

f()，即f(

x)

f(

)0.由条件(ii)，f(x)在点可导，于是，当x>0时，从而，(2)若M

m，不妨设M

f(a)，即最大值M不是端点处的函数值。则对一切x(a,b)，同理,当x<0时,有因导数存在,所以OABCabxy几何解释:注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.如图1(b)如图1(a),函数f(x)=x,0≤x＜10,x=1它在闭区间［0,1］上不连续；图1如图1(c)，函数f(x)=x2，在闭区间［0,1］上端点处函数值不相等.例1证由介值定理即为方程的小于1的正实根.矛盾,二、拉格朗日中值定理（分析）要证即只需证：以下作辅助函数，利用罗尔定理给出证明.

定理2(拉格朗日定理)设函数f(x)满足：

（i）在闭区间[a,b]上连续；则至少存在一点(a,b)，使（ii）在开区间(a,b)内可导，令由罗尔定理知，至少存在一点使得即该公式对a<b及a>b均成立。证明或几何解释:若令f(a)=f(b)，

则结论成为f

()=0。可见,罗尔定理是拉格朗日定理的特例。公式可写成下列形式:拉格朗日中值公式又称有限增量公式.拉格朗日中值公式拉格朗日中值定理又称有限增量定理.

推论1

设函数f(x)在区间I上可导，且f

(x)0，则f(x)在I上为常数。

证在I内任取两点x1和x2，不妨设x1<x2.显然，f(x)在[x1,x2]上连续,在(x1,x2)内可导，由拉格朗日定理知，至少存在(x1,x2)，使得由条件知f

()=0，从而f(x2)=f(x1).例2证由上式得

定理3（柯西中值定理）（i）在[a,b]上连续；注：柯西定理是拉格朗日定理的推广.因为g(x)=x时,柯西定理的结论恰是拉格朗日定理的结论.则至少存在一点

(a,b)，使

（ii）在(a,b)内可导，且g

(x)0，三、柯西中值定理设f(x)及g(x)满足:1.型未定式.定理1如果函数f(x)和g(x)满足(1)当x→a时，f(x)→0，g(x)→0，(2)在点a的去心邻域内可导，即f′(x)，g′(x)存在，且g′(x)≠0,(3)极限存在(或为无穷大)，则第二节

洛必达法则显然，当x→a时，ξ→a.于是上式两端取极限，即得则在区间［a,x］(或［x,a］)上，f(x)与g(x)满足柯西定理条件.因此有f(a)=g(a)=0，则f(x)和g(x)在点a处连续.设x为点a邻域内的任意一点.若x＞a(或x＜a）证条件(1)未给出函数f(x)，g(x)在x=a处是否有定义.为此，我们补充定义该定理的意义是，当满足定理3.2.1的条件时，“”型不定式的极限可以化为之比的极限(同一自变量变化过程)，从而为求极限化难为易提供了新的途仍是“”型不定式，并且f′(x),g′(x)像f(x)，g(x)一样满足定导数径.如果x→a时，理的条件，则仍可继续使用洛必达法则，即推论

如果把定理3.2.1中的a换为∞，其他条件不变，则有例3求解：例4求解：是“”不定式且满足定理3.2.1的条件，因此例5求解:

原式是“”不定式且满足洛必达法则条件，故例6求解:

原式是“”型不定式，且满足洛必达法则条件，但求导以后的分式仍是“”

型不定式且满足洛必达法则条件，故可继续运用洛必达法则化简2.型未定式

定理2如果f(x)，g(x)满足(1)当x→a时，f(x)→∞，g(x)→∞(2)在点a的去心邻域内可导，即f′(x)，g′(x)存在，且g′(x)≠0，(3)极限存在(或为无穷大)，则推论

如果把定理中的a换为∞，其他条件不变，则定理和推论的证明从略.如果f′(x)和g′(x)像f(x)，g(x)一样满足定理条件，则可使用洛必达法则.继续例7求解:

原式是“”型不定式，满足定理条件，故例8求

解:原式是“”型不定式，且满足定理条件，故定理3.3.1设函数斜率为正曲线上升斜率为负曲线下降在上连续,在内可导，（1）若在内则在内单调增加；（2）若在内则在内单调减少.第三节

函数单调性的判定法证应用拉氏定理,得这个定理说明了可以利用导数的符号来判定函数的增减性.(3)上述点将定义域分为若干个开子区间；讨论函数增减性步骤称满足的点为的驻点.（1）确定函数的定义域；（2）找出不存在的点以及的驻点；（4）判断每个开区间内的符号，即可确定

在该区间的单调性.例1讨论函数的单调性.解

的定义域为令得驻点将定义域分为三个开区间，列表3.3.1讨论，由

在各小区间中的正、负号知：

在和内单调增加,在(-1,1)内单调减少.例2解单调区间为例3证明当时，证明令因故只要证明函数

当时,是单调增加,而当时单调减少即

可.由，得驻点为当时，所以单调增加，故即当时，单调减少，即亦有故时，

极大值和极小值统称为函数的极值，极大、极小值设函数f(x)在点x0的某个邻域内有定义一、函数极值的定义

定义1）若当时，恒有，则称是

的一个极大值，此时称为的极大值点：2）若当时，恒有，则称是

的一个极小值，此时称为的极小值点：点统称为函数的极值点.第四节

函数的极值及其求法需要说明的是，对同一个函数来说，有时它在某一点的极大值可能会小于另一点的极小值，如图3.3.3.虽然f(x1)是函数的极大值，f(x4)是极小值，但是注：函数的极值是一个局部概念，因此，一个定义在[a，b]上函数的在[a，b]上可以有许多极值，且极大值有可能小于极小值。DECOBA二、函数极值的判定和求法定理1(必要条件)注意:例如,不存在的点。(iii)若在x0的两侧，f

(x)不变号，

定理2（第一充分条件）设f(x)在x0（x0可除外）可导，x0为f(x)的驻点或使f

(x)(i)若当x<x0时，f

(x)>0；则

f(x0)

是f(x)的极大值；(ii)

若当x<x0时，f

(x)<0；则

f(x0)

是f(x)的极小值；则f(x0)不是极值。当x>x0时，f

(x)>0，当x>x0时，f

(x)<0，求极值的步骤:例1解列表讨论极大值极小值定理3（第二种充分条件）设函数在处具有二阶导数且则（1）当时，在点处取极大值；（2）当时，在点处取极小值；

注意,当函数在点处具有二阶导数且则在点处处可能具有极值，也可能没有极值.

例如,函数但在

处不取极值.而函数但

在处取得极小值

例2解例3解注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.上面所研究的函数的极值总是在可能取极值的点(驻点或不可导点)的邻域内进行讨论，因而是一个局部性的概念.本目是研究函数在某个区间上的最大值或最小值的问题.这是与函数的极值有关但涉及整个区间的整体性问题.第五节函数的最大值和最小值闭区间上的连续函数一定可以取得最大值与最小值(统称为最值).可以证明，如果函数在开区间内取得最值，那么这个最值也一定是函数的一个极值.由于连续函数取得极值的点只可能是该函数的驻点或不可导点，并且函数的最值也可能在区间的端点上取得，因此求函数最值的方法是：首先找出函数在区间内所有的驻点和不可导点，其次计算出它们及端点的函数值，最后将所有这些函数值加以比较，其中最大(小)者就是函数在该区间上的最大(小)值.在区间［－8,］上例1求函数的最大值与最小值.解

,令（x）=0，

解得驻点

x=－1.又f(x)有不可导点，它们均在(－8,)内，因为比较后即知，函数的最大值点是，最大值为f(－1)=f()=，函数的最

小值点是左端点x=－8,最小值为f(－8)=－2.例2有一块边长为a的正方形铁片，在每一个角上各剪去一个边长为x的小正方形，用剩下的部分做成一个开口盒子.问：剪去的正方形边长x为多少时，所做盒子容积最大?解

由于小正方形边长为x，故做成的小盒子底边长为a－2x,高为x,因此容积为：V(x)=(a－2x)2·x,(0＜x＜.令V′(x)=0，得驻点x1=及x2=.由于当x2=时，表示铁皮完全被剪去，容积为零，应舍去，故V(x)在开区间

(0,)内只有唯一驻点x1=.另一方面，根据问

题特点可以判断V(x)一定有最大值，故当

x=时，V(x)取得最大值，最大值为由§3.4曲线的凹凸性和函数作图3.函数作图1.曲线弯曲的方向——凹凸性2.曲线的渐进线一、曲线的凹凸性及其判别方法

在上一节我们利用一阶导数研究了曲线的上升和下降.但仅仅知道这些，还不能准确地描绘函数的图形，例如下图中的两条曲线弧，虽然它们都是上升的，但图形却有明显的不同，第六节曲线的凹凸性与拐点ACB是向下凹的曲线弧，而ADB是向下凸的曲线弧，它们的凹凸性不同，也就是说ACB和ADB的弯曲方向是不同的.进一步如果过曲线上每一点作曲线的切线，还可以看到ACB上任一点作切线后，弧总在切线之下，而

ADB上任一点作切线后，弧在切线之上，因此，我们有下面的（（（（（（

定义1设函数y=f(x)在区间［a,b］上连续，在(a,b)内可导，如果y=f(x)的图形位于每一点切线的上方，则称曲线y=f(x)在［a,b］上是向下凸的;如果y=f(x)的图形位于每一点切线的下方，则称曲线y=f(x)在(a,b)上是向下凹的.一条连续曲线上，向下凸的曲线弧和向下凹的曲线弧的分界点称为曲线的拐点.

不难看出，当曲线y=f(x)在某区间是凸的，当自变量x由小变大时，其切线斜率是增加的，即f′(x)是一个增函数.所以f′(x)的导数即f″(x)在此区间内应取正值.对曲线y=f(x)为凹的部分有相反的结论，因此，我们可以利用函数的二阶导数来决定函数对应曲线的凹凸性和求曲线的拐点.定理

设函数f(x)在(a,b)内有二阶导数.若对任意的x∈(a,b),有f″(x)＞0，则f(x)在(a,b)内是下凸的，若对任意的x∈(a,b)有f″(x)＜0,则f(x)在(a,b)内下凹.

本定理证明要用到泰勒中值定理，此处从略.例如函数f(x)=x4,f″(x)=12x2,它在(－∞,+∞)内是凸函数；而函数f(x)=x3,f″(x)=6x,因此它在(－∞，0)内是凹的，而在(0，+∞)内是凸的.点(0，0)为曲线y=x3的拐点.

一般而言，若f′(x)在(a,b)内连续，除个别点外，f″(x)不变号，f(x)在(a,b)内凹凸性不变.由于可导函数f(x)的凸(凹)区间是其导数f′(x)的单调增(减)区间，所以，若(x0,f(x0))是曲线y=f(x)的拐点，x0必是导数f′(x)单调增区间与单调减区间的分界点，反之亦然.我们有下面的关于求曲线拐点的定理：二、曲线的拐点定理2设函数f(x)在点x0处二阶可导，则点(x0,f(x0))是曲线y=f(x)的拐点的必要条件为f″(x0)=0.

但使f″(x0)=0的点(x0,f(x0))不一定是拐点.例如f(x)=x4,它在(－∞，+∞)上是凸的，虽有f″(0)=0,但点(0，0)不是曲线的拐点.如果f(x)在点x0处的二阶导数不存在，点(x0,f(x0))仍可能是曲线的拐点.如点(0，0)是y=的拐点，但f″(0)不存在.(见例3.4.2).

可见，曲线拐点的横坐标，可能是使f″(x)=0的点，也可能是使f″(x)不存在的点.找到曲线上的这些点后，我们可用下面的充分条件判别其是否为拐点.

定理

设函数y=f(x)在区间(a,b)内有二阶导数f″(x)，若x0是(a,b)内一点当f″(x)在x0处左、右两侧不同号时，点(x0,

f(x0))是y=f(x)的一个拐点.(2)当f″(x)在点x0处左、右两侧同号时，点(x0,

f(x0))不是y=f(x)的拐点.例1讨论曲线y=x4－2x3+1的凹凸性并求其拐点.解:函数的定义域为(－∞,+∞)，一、二阶导数为y′=4x3－6x2,y″=12x2－12x=12x(x－1).令y″=0,解得x1=0,x2=1，它们把定义域分为三个部分：(－∞,0),(0,1),(1,+∞).在(－∞,0)内,y″＞0，y=x4－2x3+1下凸；在(0,1)内，y″＜0,y=x4－2x3+1下凹；在(1,+∞)内，y″＞0,y=x4－2x3+1下凸.

当x=0时，y=1,点(0,1)是曲线的拐点.x=1时，y=0,点(1，0)也是曲线的拐点.例2求曲线的拐点.解:函数y=在(－∞,+∞)内连续，当x≠0时当x=0时，y′,y″都不存在.二阶导数y″在(－∞,+∞)内没有零点，在x=0处不连续.但x=0把(－∞,+∞)分成两个区间(－∞,0)和(0，+∞)，在(－∞,0)内y″＞0,曲线下凸，在(0，+∞)内y″＜0,曲线下凹.当x=0时，y=0,故(0，0)是曲线的一个拐点.一、描绘函数图形的一般步骤我们给出利用导数和极限描绘函数图形的一般方法和步骤，该方法本质上仍是描点作图.(1)求出函数y=f(x)的定义域，确定图形的范围；(2)讨论函数的奇偶性和周期性，确定图形的对称性和周期性；(3)讨论渐近线，确定图形的变化趋势；第七节

函数图形的描绘(4)计算函数的一阶导数f′(x)和二阶导数f″(x)；(5)求函数的间断点、驻点、不可导点和拐点，将这些点由小到大，从左到右插入定义域内，得到若干个子区间；(6)列表讨论函数在各个子区间内的增减性、凸凹性、极值点和拐点；(7)求曲线上的一些特殊点，如与坐标轴的交点等，有时还要求出一些辅助点上的函数值，然后根据(8)中的表格描点绘图.例1

作函数的图形.解:函数的定义域是(－∞,+∞)，该函数是偶函数,可先作出函数在［0,+∞）的图形.又,故y=0是水平渐近线.令y′=0,得驻点x1=0,令y″=0得点根据上述结果，列表讨论曲线的升降，凹凸、极值点和拐点等.表1再令x=1,f(1)=e－1≈0.37,得辅助点(1，0.37).根据以上讨论，先作出函数在y轴之右的图形，再利用对称性，即得曲线图形如下图例2作出函数的图形.解:函数的定义域是(－∞,1)∪(1,+∞).由例3.4.3，函数有竖直渐近线x=1及斜渐近线又令y′=0得驻点x1=－1,x2=3.但当x=1时，y′,y″不存在.x1=－1,x2=3及不可导点x=1将定义域分成四个子区间，(－∞,－1),(－1,1),(1,3),(3,+∞),列表讨论.表2补充辅助点,描点绘图如下：极小-0（0，1）1-0--0++0-0+++拐点(0,0)拐点(1,-1)二、曲线的渐近线.

为了比较准确地描绘曲线在平面上无限伸展的趋势，应对曲线的渐近线进行讨论.例如双曲线当自变量x无限趋近于0时，第一象限的一支无限向上延伸，同时无限靠近y轴，而第三象限的另一支曲线则无限向下延伸，同时也无限靠近y轴；当x无限远离原点时，两支曲线分别沿x轴的两个方向无限延伸，同时无限靠近x轴.因此，对曲线来说，我们可以借助y轴(直线x=0)和x轴(直线y=0)来研究它无限伸展的趋势.这样的直线就是所谓的曲线的渐近线.图定义

如果动点M沿曲线y=f(x)无限远离坐标原点时，M与某一条直线L的距离趋于零，则称直线L是曲线y=f(x)的一条渐近线.并且若,则称直线y=A是曲线的水平渐近线；若，则称直线x=a是曲线的竖直渐近线或垂直渐近线;若,则称直线y=ax+b是曲线的斜渐近线.或且例3求曲线的渐近线.解:由于，所以x=1是曲线的竖直渐近线；又故是曲线的斜渐近线.该曲线没有水平渐近线.高等数学（工科类）第四章不定积分第一节

不定积分的概念与性质第二节

换元积分法第三节

分部积分法一、原函数与不定积分通过对求导和微分的学习，我们可以从一个函数y＝f(x)出发，去求它的导数f'(x)

那么，我们能不能从一个函数的导数f’(x)出发，反过来去求它是哪一个函数(原函数)的导数呢?定义1

已知f(x)是定义在某区间上的一个函数，如果存在函数F(x)，使得在该区间上的任何一点x处都有F'(x)＝f(x)，那么称函数F(x)为函数f(x)在该区间上的一个原函数。第一节

不定积分的概念与性质例1求下列函数的一个原函数：⑴f(x)＝2x⑵f(x)＝cosx解：⑴∵(x2)'＝2x∴x2是函数2x的一个原函数⑵∵(sinx)'＝cosx∴sinx是函数cosx的一个原函数这里为什么要强调是一个原函数呢?因为一个函数的原函数不是唯一的。例如在上面的⑴中，还有(x2＋1)'＝2x，

(x2－1)'＝2x

所以x2、x2＋1、x2－1、x2＋C(C为任意常数)都是函数f(x)＝2x的原函数。定理

设F(x)是函数f(x)在区间I上的一个原函数，C是一个任意常数，那么，⑴F(x)＋C也是f(x)

在该区间I上的原函数⑵f(x)该在区间I上的全体原函数可以表示为F(x)＋C证明：⑴∵[F(X)＋C]'＝F'(x)＋(C)'＝f(x)∴F(x)＋C也是f(x)的原函数⑵略

这说明函数f(x)如果有一个原函数F(x)，那么它就有无穷多个原函数，它们都可以表示为F(x)＋C的形式。定义2

函数f(x)的全体原函数叫做函数f(x)的不定积分，记作∫f(x)dx，其中∫叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量。求函数f(x)的不定积分就是求它的全体原函数，因此，∫f(x)dx＝F(x)＋C

其中C是任意常数，叫做积分常数。例2求下列不定积分⑴∫x5dx⑵∫sinxdx解：⑴∵是x5的一个原函数∴⑵∵－cosx是sinx的一个原函数∴二、不定积分的几何意义

设F(x)是函数f(x)的一个原函数，则曲线y＝F(x)称为f(x)的一条积分曲线，曲线y＝F(x)＋C表示把曲线y＝F(x)上下平移所得到的曲线族。因此，不定积分的几何意义是指由f(x)的全体积分曲线组成的积分曲线族。例4求斜率为2x且经过点(1,0)的曲线。解：设所求曲线为y＝f(x)，则f’(x)＝2x，故y＝x2＋C，∵曲线过点(1,0)∴以x＝1、y＝0代入得0＝12＋C，解得C＝－1，因此，所求曲线为y＝x2－1。三、不定积分的基本公式由于积分运算是求导运算的逆运算，所以由基本求导公式反推，可得基本积分公式四、不定积分的性质⑴[∫f(x)dx]'＝f(x)

该性质表明，如果函数f(x)先求不定积分再求导，所得结果仍为f(x)⑵∫F'(x)dx＝F(x)＋C

该性质表明，如果函数F(x)先求导再求不定积分，所得结果与F(x)相差一个常数C⑶∫kf(x)dx＝k∫f(x)dx(k为常数)

该性质表明，被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号的前面⑷∫[f(x)±g(x)]dx＝∫f(x)dx±∫g(x)dx

该性质表明，两个函数的和或差的不定积分等于这两个函数的不定积分的和或差说明：冪函数的积分结果可以这样求，先将被积函数的指数加1，再把指数的倒数放在前面做系数。[注意]

不能认为arcsinx＝－arccosx，他们之间的关系是arcsinx＝π／2－arccosx例7求∫(9x2＋8x)dx解：∫(9x2＋8x)dx＝∫9x2dx＋∫8xdx

＝3∫3x2dx＋4∫2xdx＝3x3＋4x2＋C例8求∫3xexdx直接积分法对被积函数进行简单的恒等变形后直接用不定积分的性质和基本积分公式即可求出不定积分的方法称为直接积分法。运用直接积分法可以求出一些简单函数的不定积分。第二节

换元积分法

一、第一类换元积分法(凑微分法)

如果被积函数的自变量与积分变量不相同，就不能用直接积分法。例如求∫cos2xdx，被积函数的自变量是2x，积分变量是x。这时，我们可以设被积函数的自变量为u，如果能从被积式中分离出一个因子u’(x)来，那么根据∫f(u)u'(x)dx＝∫f(u)du＝F(u)＋C就可以求出不定积分。这种积分方法叫做凑微分法。例2求∫2sin2xdx解：设u＝2x，则du＝2dx∫2sin2xdx＝∫sin2x·2dx＝∫sinudu

＝－cosu＋C＝－cos2x＋C注意：最后结果中不能有u，一定要还原成x。解：设u＝x2＋1，则du＝2xdx

解：设u＝x2，则du＝2xdx

设u＝cosx，则du＝-sinxdx例5例4

当计算熟练后，换元的过程可以省去不写。例求∫sin3xcosxdx

解：∫sin3xcosxdx＝∫sin3xd(sinx)＝sin4x＋C例6例7二、第二类换元积分法例如，求，把其中最难处理的部分换元，令则原式＝，再反解x＝u2＋1，得dx＝2udu，代入这就是第二换元积分法。

(1)如果被积函数含有，可以用x＝asint换元。

(2)如果被积函数含有，可以用x＝atant换元。例8例9

(3)如果被积函数含有，可以用x＝asect换元。例10例11以下结果可以作为公式使用：考察函数乘积的求导法则：

[u(x)·v(x)]'＝u'(x)·v(x)＋u(x)·v'(x)两边积分得

u(x)·v(x)＝∫u'(x)v(x)dx＋∫u(x)v'(x)dx于是有∫u(x)·v'(x)dx＝u(x)·v(x)－∫u'(x)·v(x)dx或表示成∫u(x)dv(x)＝u(x)·v(x)－∫v(x)du(x)这一公式称为分部积分公式。第三节

分部积分法例1求∫xexdx解:令u(x)＝x，v'(x)＝ex

则原式为∫u(x)·v'(x)dx的形式∵(ex)'＝ex∴v(x)＝ex，由分部积分公式有∫xexdx＝x·ex－∫exdx＝xex－ex＋C例2求∫xcos2xdx解：令u(x)＝x，v'(x)＝cos2x，则v(x)＝sin2x

于是∫xcos2xdx＝xsin2x－∫sin2xdx

＝xsin2x＋cos2x＋C

有时，用分部积分法求不定积分需要连续使用几次分部积分公式才可以求出结果。例3求∫x2e-2xdx解：令u(x)＝x2，v'(x)＝e-2x，则v(x)＝于是由此可见：作一次分部积分后，被积函数中幂函数的次数可以降低一次。如果所得到的积分式还需要用分部积分法解，那么，可以再用分部积分公式做下去。为了简化运算过程，下面介绍:分部积分法的列表解法例4求∫x2sinxdxx2sinx

求导↓+↓积分

2x--cosx∫x2sinxdx＝-x2cosx-∫2x(-cosx)dx

[分部积分法的列表解法]例5求∫x2sinxdxx2sinx求导↓↓积分2x-cosx∫x2sinxdx＝-x2cosx＋∫2xcosxdx＝-x2cosx＋2xsinx-∫2sinxdx求导↓

２↓积分-sinx＝-x2cosx＋2xsinx＋2cosx＋C求导↓

０↓积分+cosx

＋－

－＋＋例6求∫xlnxdxxlnx

求导↓↓积分

1?这说明把lnx放在右边用分部积分法解不下去。把lnx放在左边用分部积分法解：

lnxx

求导↓+↓积分

-[一般原则]对数函数、反三角函数、幂函数应放在左边，指数函数、三角函数应放在右边。有些单独一个函数的不定积分也要用分部积分法解。例7求∫lnxdxlnx1

求导↓+↓积分

-x=xlnx－∫dx=xlnx－x＋C例8求∫arcsinxdxarcsinx

1

求导↓+↓积分

-x例91

求导↓↓积分

x例10求∫exsin3xdx解：∫exsin3xdx＝exsin3x－3∫excos3xdx

＝exsin3x－3excos3x－9∫exsin3xdx移项得∫exsin3xdx＝ex(si3nx－3cos3x)＋C高等数学（工科类）第五章定积分及应用第一节定积分第二节

微积分基本定理第三节

定积分的计算第四节

广义积分第五节

定积分的应用一、引例设函数y=f(x)在区间[a,b]上非负、连续.由直线x=a、x=b、Y=0及曲线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形,其中曲线弧称为曲边.

如何计算其面积？abxyoy=f(x)x=bx=a第一节定积分1.

曲边梯形的面积解决步骤:1)

分割.在区间[a,b]中任意插入n–1个分点用直线将曲边梯形分成n

个小曲边梯形;2)

近似.在第i

个窄曲边梯形上任取作以为底,为高的小矩形,并以此小梯形面积近似代替相应窄曲边梯形面积得],[1iixx-3)求和.4)取极限.令则曲边梯形面积元素法1化整为零2以直代曲

(以常代变)3积零为整yxoy=f(x)ab.分法越细，越接近精确值1.

曲边梯形的面积f(i)元素法4取极限yxoy=f(x)令分法无限变细ab..分法越细，越接近精确值1化整为零2以直代曲

(以常代变)3积零为整f(i)元素法4取极限yxoy=f(x)令分法无限变细....分法越细，越接近精确值1化整为零2以直代曲

(以常代变)3积零为整f(i)S

=.Sab2.变速直线运动的路程

已知物体直线运动的速度v=v(t)是时间t的连续函数,且v(t)>0,计算物体在时间段[T1,T2]内所经过的路程S.

(1)分割:T1=t0<t1<t2<***

<tn-1<tn=T2,Dtititi+1;(2)近似:物体在时间段[ti1,ti]内所经过的路程近似为Siv(i)Dti(ti1<

i<ti);物体在时间段[T1,T2]内所经过的路程近似为(3)求和:(4)取极限:记max{Dt1,Dt2,,Dtn},物体所经过的路程为上述两个问题的共性:解决问题的方法步骤相同:“分割,近似,求和,取极限”

所求量极限结构式相同:

特殊乘积和式的极限1.

曲边梯形的面积2.变速直线运动的路程

许多问题的解决都可以化为上述特定和式的问题，将其一般化，就得到定积分的概念.(i1,2,,n),作和max{Dx1,Dx2,,Dxn};在小区间[xi1,xi]上任取一点xi

记Dxi=xi-xi1(i1,,n),个分点:ax0<x1<x2<<xn1<xnb;设函数f(x)在区间[a,b]上有界.极限存在,且极限值与区间[a,b]的分法和xi的取法无关,

则称此极限为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,记为即二、定积分的定义在区间[a,b]内插入n-1如果当0时,上述和式的此时称

f(x)在[a,b]上可积

.积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和定积分仅与被积函数及积分区间有关,而与积分变量用什么字母表示无关,即2.函数的可积性

定理1:如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,则函数f(x)在区间[a,b]上可积.

定理2:如果函数f(x)在区间[a,b]上有界,且只有有限个间断点,则函数f(x)在区间[a,b]上可积.1.定积分的定义根据定积分的定义,

曲边梯形的面积为ò=badxxfA)(.

变速直线运动的路程为dttvSTT)(21ò=.

åò=®D=niiibaxfdxxf10)(lim)(xl.

三、定积分的几何意义:曲边梯形面积曲边梯形面积的负值各部分面积的代数和解把区间[0,1]分成n等份,分点为和小区间长度为例1.

利用定义计算定积分

取,作积分和

因为n1=l,

当l®0时,

n®¥,

所以

解函数y1x在区间[0,1]上的定积分是以y=1-x为曲边,以区间[0,1]为底的曲边梯形的面积.因为以y=1-x为曲边,以区间[0,1]为底的曲边梯形是一个直角三角形,其底边长及高均为1,所以

例2用定积分的几何意义求

两点规定四、定积分的性质性质1

性质2

性质3

注：值得注意的是不论abc的相对位置如何上式总成立

(1)当a=b时,

0)(=òbadxxf;

(2)当a>b时,

òò-=abbadxxfdxxf)()(.

òòò±=±bababadxxgdxxfdxxgxf)()()]()([.

òò=babadxxfkdxxkf)()(.

òòò+=bccabadxxfdxxfdxxf)()()(.

性质4

推论1

如果在区间[a

b]上f(x)g(x)则

如果在区间[a

b]上f(x)0

则

推论2

这是因为|f(x)|f(x)|f(x)|,所以即

òò£babadxxfdxxf|)(||)(||

.

ò³badxxf0)((a<b).

òò£babadxxgdxxf)()((a<b).

òò£babadxxfdxxf|)(||)(|(a<b).

òòò££-bababadxxfdxxfdxxf|)(|)(|)(|,

设M及m分别是函数f(x)在区间[a

b]上的最大值及最小值则(定积分中值定理)如果函数f(x)在闭区间[a

b]上连续则在积分区间[a

b]上至少存在一个点x

,使下式成立

这是因为,由性质5变形得由介值定理,至少存在一点x[a,b],使两端乘以ba即得积分中值公式.

ò£-£baMdxxfabm)(1,

ò-££-baabMdxxfabm)()()((a<b).

ò-=baabfdxxf))(()(x.

ò-=badxxfabf)(1)(x,

性质5

性质6

注:可把故它是有限个数的平均值概念的推广.积分中值定理对因)(d)(xfabxxfba=-òabxxfba-òd)(nabfabniin-×-=å=¥®)(lim11x)(1lim1å=¥®=niinfnx

性质7

abdxdxbaba-==òò1.

解例3估计积分的值

定义

第二节

微积分学基本定理一、积分上限函数及其导数

定理1

分析:前提只须(i)解决了原函数的存在性问题(ii)沟通了导数与定积分之间的内在联系(iii)为寻找定积分的计算方法提供了理论依据精僻地得出:上的连续函数一定存在原函数,且

是

的一个原函数这一基本结论.为微分学和积分学架起了桥梁,因此被称为微积分学基本定理.定理指出

是

的一个原函数,而

又是变上限积分,故比较变速直线运动中共同点:等式左端同是[a,b]上的定积分,等式右端又都是原函数在[a,b]上的增量.

定理3分析:前提条件二、牛顿—莱布尼茨公式

证明:

此式称为定积分的基本公式.又称牛顿----莱布尼兹公式常表示为例1求解分析：这是型不定式，应用洛必达法则.证证令例4求

原式例5设

,求.

解解例6求

解由图形可知3.微积分基本公式1.积分上限函数2.积分上限函数的导数小结一、定积分的换元法

定理1.

设函数单值函数满足:1)2)在上则第三节

定积分的换元法和

分部积分法证:

所证等式两边被积函数都连续,因此积分都存在,且它们的原函数也存在

.是的原函数,因此有则说明:1)当<,即区间换为定理1仍成立.2)必需注意换元必换限

,原函数中的变量不必代回.3)换元公式也可反过来使用,即或配元配元不换限.解

换元：，；换限：，，，，例1

计算注①第一步是采用的换元（不定积分第二类换元法），换元的同时必须换限。在计算时，我们采