居余马线性代数课后详细答案3

居余马线性代数课后详细答案3

1、

2、

3、

a2ababb2a2b2abab0

cossinsincoscoscos(sin)sincos2sin21

abi2ababi(abi)(abi)2aba2b22ab(ab)2

3

4、

224123*1*(3)2*(2)*5(4)*4*23*(2)*22*4*(3)(4)*1*5

423

920321224205

123

5、4561*5*92*6*73*4*81*6*82*4*93*5*7

789

45849648721050

2

6、421112*1*1012*(1)*2021*4*1992*(1)*1992*4*1011*1*202

202199101

20240479639880820218

1

7、w2ww21w

1

x第2行第1行(w2)第3行第1行

(w)10w0w21w201w3ww4(1w3)2(1w)2(lww2)20ww21

8、xx2x1*2*3x3x3x23x22x22x36x26

xx3

0004

9、

004304324321

004

按第1行展开（1）1404343256

432

10、公式：

allO000

000

allO0

al2alna22a2n0

ann

00

alla2100

000

alla22ann

a220

a22

annO0

00800

0

alnann

0009

anlan2ann

a2.nla2.n

n(n1)2

alnO0

02000

9(19)2

allal,nlain

a21a2,n1anl

10000

000010

a2,n1

anl

00

解：

0

(1)

alna2,n1anl

anlan,n1

0080

0200

1000

090

按第10行展开(1)101010

10(1)

128910!

100

100

1020

1002

1*(2)38

11>

111

1111

1111

1第2行第1行第3行第1行第4行第1行

02

12、该行列式中各行元素之和均为10,所以吧第2,3,4列加到第1歹I」，然后再把第1

列后三个元素化为零，再对第1列展开，即

1234234134124123

10

234341412123

第2行第1行第3行第1行10第4行第1行

100

212

31

43

1102

13

22

0111

2211110*16160

5

13、

011

422011

第1,4行交换

145

110

112042

1111

10

112141

112102

210

03240153

3247

153

14、先将第1行与第5行对换，第3行与第4行对换(反号两次，其值不变)

365625453634254611

435

1111

3241103

00

1111

557

11032

11712

5202

254536343656

0327030703291222

22546503287000

000

0020

11

根据课本20页公式(1.21),原式2003*(4)12

12

15、

005

001

1213345

1

(2)*(16)=32

3400

0013

12345678910

16、0001

2345678910

123

21

5行对换0101167810*2203第3,

43

010000240002401011

00013

17、根据课本20页公式(1.22)

00112

2

112

04

20

0(1)233

218

1231

12*(5)60

00300024

24025

31

00

18、A2

01*2*33!,23

00B0

000

00

010(1)00

5(51)2

2000

300A0

(1)(2)(3)(4)(5)5!

40

50

所以

19、证:

*B

(1)3*5A||B|3!5!

alblxa3b3x

alxbla3xb3

bl

clc3clc3111yl

1111y

alblx

bl(lx2)

cl

左a2b2xa2xb2

alblx

c2第2列x*第1列a2b2xb2(lx2)c2

a3b3xb3(1x2)c3

ala3xxxx

blb2b31xOO

clc2右c310y0

100ylxO

1

(1x2)a2b2xb2

a3b3xb3

。2第1列x*第2列(1x2)a2

x

20、左

11xll

111

第2行第1行第3行第1行第4行第1行00

xx

按第4列展开(1)141x

x

00

XX

y(1)44(y)x

0y

222222x2yy(1x)xyxyxxyy(xyx)xy右

1

21、左a

lbb3

lc3

liba

1ca1c3a3

c0

bab3a3

cac3a3

a30b3a3

bacac2aca2cabab2aba2ba

cac2aca2b2aba2

bacac2acb2abbacacbabc

右a2

22、解法1：b2

a3c3

00

b3a3b2a2c3a3c2a2b3a3c3a3

b3b2a2

c2a2

c2

整理得abbecabacacb

aa2

又根据范德蒙行列式有:bacacbb

b2c2

c

故原式得证。

解法2：分析：观察到右端的行列式是一个3阶范德蒙行列式解答：构建新的4阶范德

蒙行列式：

aa2

f（X）

bb2cx

c

2

a3b3c

3

x2x3

f(x)按第4行展开得：f(x)M41M42xM43x2M44x3(1)

a2

其中，M42b2

a3c3

aa2c

c2

b3,M44bb2

c2

按范德蒙行列式结论得：

f(x)(xa)(xb)(xc)(ca)(cb)(ba)

32

x(abc)x(abbeca)xabc(ca)(cb)(ba)(2)

式子(1)和(2)对比,可得

M42(abbeca)(ca)(cb)(ba)

M44(ca)(cb)(ba)

a2

可以看出，M42(abbeca)M44,即b2

a3c3

aa2c

c2

b3(abbeca)bb2,得证.

c2

102a

23、

a021a021

20b0第1,4列00b2第2,3行5c43a0b2

acbdabed

3c45对换5c43对换00b25c0dd000000d000da

24、

lb10

01c

001

100

ba1

lc

010c

la(bcddb)cd1

1(1)21(1)0

Id

ldOId

abedadabcd1ab(cd1)adcd1(ab1)(cd1)ad

a2

25、

(al)2(bl)2(c1)

2

(a2)2(b2)2(c2)a2

2

(a3)2(b3)2(c3)

2

b2c

2

第2列第1列第3列第1列第4列第1列

a2b2c

2

2a14a46a92b14b42c1

4c4

6b96c9

d2(dl)2(d2)2(d3)2d2

2d14d46d9

2a1262b1262b1262b126

1

第3歹ij2*第2列62第4列3*第2列c

2

0

d2

ab

26、

bcaca2

cbc2

al

al第4行*第2行

b2

bl

lc

第4行*第3行ab

01

2

c

be

clal

0

ablOOO

al

27、

0a2b30

alb4

Ob2a30

bla3a4b2

blalbl00a4

0b2a30

albla400

00a3b2

00b3a2

00b4

0第2,4列0

0对换0a4

b3a2

a2第2,4行b4

b3对换00

b4

(ala4blb4)(a2a3b2b3)

2

28、

22222

22322

222

220

20

20

200n2

2第2行第1行222

2第3行第1行010

00

00

0

n12第n行第1行2nn30第1行第2行20

20

20

200n2

第3行第2行0010第n行第2行0

00

00

0

n30

2222

2(n2)!

0100

按第1列

(1)211

展开

00n30

31、系数行列式

0On2

5D

413D1

10

011011

4220对换114220对换11

145130

110101

112042204211

1111

10

11211,4行112102

210

032405131

1

20111

10011

020

1

3247

513211

101011

11211,3行1121

0322

3227

5342D2

11211,4行4120对换10115D3

415D4

41

011011

3210对换014321对换10

11111,4行

1011112141205342145145

110110

011032102143

1111

1001

012403131

1

1247

31310

21

021

031405331

1

11

01

02

3147

5332

1

1

11211,4行1121

03210513

3217

513

所以，xl

DD17DD777

1,x221,x331,x441D7D7D7D732、系数行列式

01111011101101011

11

01

D1

1,2行对换

01110111

1101

01111111

010

0110101

00

0110110

11

10

111

Oil

111

00211

00121001121111120111D131

0110101

411

1001

2111214112

1

10

1001

4110

10

00

3

00

000100

0001111

1

10000

10010010

10

第5行第4行第4行第3行第3行第2行第2行第1行

1

20

110000

10

10

10

1

10

5111

21

第1行第5行1

0074

第1行3*第3行11

1010

011111

2111

10

10010

10

10

100

0第1行2*第4行11

10

1

1010

10

1

0第1行4*第2行1

10

11

1001110

10

第5行第4行第4行第3行

00按第1列211D213011(1)01100

110展开第3行第2行

1410101110

011第2行第1行

15110010111111按第4列44

(1)(11+)111(1)(1)(1)10

展开

01117

011110211D31311

1

4011510

第5行第4行第4行第3行第3行第2行第2行第1行

01010000

1110

100

110

1111

1100按第1列

(1)21

0110展开

110

0111

111

3

10111

按第1列21

(1)1(111110(1)1(1)11

展开

11111

01111101111

2141

D411031

11150

第5行第4行第4行第3行第3行第2行第2行第1行

11

10

0101000011110

10

1111

110按第1列211(1)110

0110展开

110

0011

011

10

11

1101

1

按第1列

(1)1(111展开

21

10(1)1(1)

101111011111

24

D51013

1105

第5行第4行第4行第3行第3行第2行第2行第1行

01010000110

111

10

10

1111

10

1101按第1列

(1)21

0111展开

11

0011

11

10

11

1111

5

10

按第1列

(1)1(1111

展开

01

所以，xl

21

1(1)1(1)

D3DD111D7D15

,x22,x33,x44,x55

D4D4D4D4D4

33、因为齐次线性方程组有非零解，所以其系数行列式D0,即

1D

21

11a

alb

第2行第1行第3行第1行第4行第1行

110100

104

alala

114

1a

Olalba

131

OOalba

(a1)24b0

所以，(a1)4b2

35、由已知条件，得

f(1)aOala2a30f(1)aaaa40123

f(2)aO2a14a28a33

f(3)aO3a18a227a316

其系数行列式

11111111

Dnil第2行第1行020220210

1248第3行第1行3392*3*4113927第4行第1行0339

04828482812

24*248

011111011101D1111,3列41第2行第1行

1432411

4238第3行4*第1行0242

8对换

393第4行9*第1行06312

9276270121636242121

63122*3*421424*14336

1636349

0111011

D411第2行第1行04024022348第3行第1行0339339

16927第4行第1行016828828

402

第4行2*第1行3390

8824

1011101

D141第2行第1行0242

3238第3行第1行0339

31627第4行第1行041628

24221

3392*3*41324*(10)2404162847137

11D4

123

14

043

第2行第1行第3行第1行第4行第1行

111000

234

03

043

2033

402

916816

32*3*411

481624

24*496

DDDD

所以，aO17,al20,a235,a342

DD所以，f(x)75x2

2x3

第二章

2x1112x22x30

lx2x112x4

3

212lx2xlx3

21324

12x1

22x32x40

2

110

2

2

1201

A,b

2

2

102122

012

12

220

20

2

02200

000213

00

0120

0

DO

2032

01032

100

2

0

2

02200

02130033

22

D

0220212

12

2

0030A311212,B111

21033x4xl1123221012xx3x43解得

22.2x22x230x32x12x4

0x41

xl2x23x34x44

2x2x3x43x13x23x417x23x3x43

12344123441A,b

011130111130313053730007

31307313016x40x40

2x312x4

12xx2x3x4

3解得36x

23xl2x23x34x44xl82x13x25x3x43

33x14x22x33x42xl2x

28x3x487x19x2x38x40

35

1

312818122

A,b

3

4232423212818

3

351023017

9180

2791

8

00512

81812818

011131301022262611313

055515560000000009

此含矛盾方程，故原方程无解！

xl10x211x311x4042x14x25x37x403x13x

23x32x405x1x22x35x40

23

44111302121200160

8182262611313

55155611011111101111110111124570

2427290242729

A,b3332027303103325125051576

00515760110000300111111011111101111

313003130332

00320332313626000000003x313x4013

113x23x32x40取x4k,贝ijx3k,x2k,xl0.

33xlOxllxllx02341

解为0,1113k,k,k,k为任意常数.33

pxlx2x315xlpx2x3p

2xxpxp312

100IplOlplllpl1p1p2ppiplplpllp2p2

lippOp11p01plp21p2pp2

1p31pp22pp21p1p

分情况讨论：

1）无解Ipp20但是Ip1p。时无解，即p2.

2）唯一解A。即1p11pp20,解得p1且p2.此时的解

为2pllpl2,,.p2p2p2

3）无穷解A0,解之有p1或者p2（舍）.故p1,所以解为

1klk2,kl,k2,其中kl,k2为任意常数.

xl3x26x32x41xx2x3x012346

xl5x210x3x4q

3x1x2px34x41

13621131123002A,b1510Iq08

31p41010

13020000

讨论：

1）唯一解：A0解得p2.此时解为

2）无解:p2,q2.

3）无穷解:p2,q2此时解为0,1431

163q1p18241411

p27107q362621134110207q300p

2710062q213q2q2q3q,14,

,227p2p27

312k,k,.k为任意常数.77

8解:设母鸡x只,公鸡y只，小鸡z只.z5x3y100列方程得

3xyz100

解方程有,

111111001153100A,b31141001111005

30233100

400xyz1003y7z6007x4y100.还原为方程组有

142yz400xyz1003

x0,y25x0,y25,z75x4,y184,y18,z78从而继续

求解z,得到.

x8,yllx8,y11,z81x12,y4x12,y4,z849设

A10

21,B30

12则

2A2090

42,3B36,AB40

31

2A3B2090

423670

18,

ABBA1030

211230

12103

21524

10A311

212

,B111

210

123101

1111

AB3

2121

23210624

614

110114

8

111

BA210311646

101212

410123434

62464602

ABBA614

4102

204

814434440

326531101

24211

010010

42

102

211

12123

1221023

1137.

10324815

210

131,1,21139,2,1.421

11

14ab

mambaa00

bb.

00020100

allal2a21a2215yl,y2,,ynanlan2

2alnnna2nnailyi,ai2yi,ainyi

i1ili1ann16alla22x2al2a21xlx2.

allal2a21a221700

alla2118anl2a222an2alna2n000

0

a2

2a2b2

c2

al

bl

cla4b4c42a3b3c3a32al2al19

2alblcla320b3c3a2b2c2

22a2bl2LanblnababLabn121222n2n2Annaikakjaij0

ijLLk1albnla2bn2LanbnnA:bii1i1,2,L,n,bij0

nabc

anbncn

(2)ABABAABBABABABBA2222

即条件：A,B可交换.

25(1)ABCABACBACABCA(2)

ABCABCBACBCABCA.27设B

xlx3x2

，满足ABBA则x4x2xl

x4x3

x211xlx3

,即xx4013

x2x4xl

x4x3

xlx2

x3x4

11xl01x3

整理有x3x4x4,xlx2x2x4,从而x30,xlx4.

xl

满足要求的矩阵为

0

28所求即是与

x2

，xl,x2为任意常数.xl

x2，有x4

xl12

可交换的二阶矩阵，设此矩阵为

12x3x2xlx4x3

x212,整理有x412

12xl

12x3

xlx2

x3x42xl2x2xl2x3

2x32x4xl2x3x22x4

x22x4

故x22x3,2x13x22x4,xl3x3x4,

xl

即所求为

x3.

xl3x3

2x3

al

29证明：A

a2

L

bllbl2

,设Xb21b22

L

anbnlbn2

LLLL

LLLL

bln

b2n

，若AXXA,则有bnn

LLLLLLa2bn2L

albln

a2b2n

anbnnanbln

anb2n

anbnn

al

a2

AXLbllbl2

b21b22XAL

bnlbn2

LLLL

bllbl2

b21b22L

anbnlbn2blnal

b2nbnn

a2

blnalbllalbl2

b2na2b21a2b22

L

bnnanbnlanbn2albllalb21Lanalbnl

a2bl2

a2b22L

L

由矩阵相等的知识知aibijajbji,又i"Itaiaj故只有bji0。

bllb22从而XL

31设Aaij.即所有与A可交换的矩阵必是对角阵.

bnnnnl,2,,Ln,aij0ij，，则aii0i也就是只有可能

aij0ij.

2按照矩阵乘法的定义，有Abijnnnaikakjk1

n

ij时，ba2

iiikakia.

klii

nn

ij时，bijaikakjikakj0,

kIkai1

n

ij时，bijaikakj

kliaikakj.kj

故A2是主对角线元素全为0的上三角矩阵.32记CABcijnn,

A:aii1il,2,L,n,aij0ijB:bii1i1,2,L,n,bij0i

ij,cij0.

n

iJ,c2

iiaikakiaii1.

k1

故乘积仍是主对角元为1的上二角阵.33A521

341,B320201

21990171

2121110421341

3428122021822

3232320521BBTABT202034

12010101

13619963651752

35因为A,B均为对称阵，有AA,BB.

故ABABAB,所以AB为对称阵.

TTT3521ABT234103252TBA20

01345352TAA241134TT

而A2BA2BA2B,故A2B为对称阵.TTT

36证明：

(1)AATTATATATAAAT.所以AAT是对称矩阵.T

AA

(2)ATTATATATAAAT.所以AAT是反对称矩阵

T11AATAAT由上面的结论知AAT是对称矩阵，AAT是反对称矩22

1ITT阵，从而AA是对称矩阵，AA是反对称矩阵，故A可表示为对称矩阵和

反22

对称矩阵的和.

TT37ABAB,故ABBABAAB,所以A,B可交换.TT

若ABBA,又ATA,BTB.有ABBABTATAB,AB为对称阵.39

1)A

kTTkTAAAATATATATAk为对称阵。TkTBBBB

kBTBTBTB1Bk,当k为偶数时Bk为对称阵，k为kk奇数时B为反

对称阵.

2)ABBAABBABAABBAABABBATTTTTTT

ABBA为反对称阵

40、

(1)ab848a5b4a3b

cd538c5d3d4c10

01

故8c5d,4a3b,8a5b1,3d4c1.解得a3

4,bl,c5

4,d2.183

41

所以4

53

5

42

(2)

1221001221001222120100362101

036

2210012

0632010092

2

122112

999

212212

221999

2

921

99

cossinabacosbcosdsin

sincoscdcsin

ccosasindcosbsin10

01

故ccosasin0bcosdsin

acoscsin1,0

dcosbsin1

acos

解之有bsinsin1

,故coscossin

csinsincos

sincos

dcos

(3)0010211234

1000123410

00

2312010021

001110010

01561012510

10

10260001

0251010

01

12

2100122100122100212010036210036

210221001063201009221

1205422

12

99291001

9910099129

210302

2

3330303

1233

01099009221

0092

1

2

001929

1221221

999故2122219929

29

219

23110012001012001(4)

1200102311001120122001

122001042011

12001012001

015

011120

01000647136

006

47

1

1002

3

231231003

2

313151010

356161010

3660064

7

1

7

001236

16

2929192

22311

3313故511201122366

723

16

6

100100100100(5)

110010010110100100010110111001on

101001011

1001

100110110.Ill011

(6)

110010001

100100

0000101100100

1100100100001100100

0

0100011

1

0

010000010001

0

0010001

0

0010

01

1101111

故01100011011

10011.00010001

41(1)因为2513B11由25

10

1310,故可逆，且251

1335121

B2511351113101210

83

31

2

31

11

(2)Q12060,231

120231存在，下面求12222

1201

122231100120010120010120010231100

011120122001122001042001

11

1111

01101

01120010120150111200106006471006

34701

61210031010320013235676131

616

3

5

6

7

6131616

112312311故

120312223111111(3)

Q01110011存在，下求Oil,001001001111

111100110101100110011010010011010011

001001001001001001111110011

011

001001

110121133A011

011012001

111xl1111142令Xx2,b1,A022，则因

为02220故A存在，从而

2110x11031112IXAlb,用初等行变换求

此逆矩阵，有A1121101,

11121XAlb1211

43(1)A01021311

2212

(2)不是，A为零矩阵时即为反例.

45(1)QAA210AA21AAI2122

1而AAI210,故A可逆，AI可逆，同时IA可逆，且AAI,2

所以IA1A.2

2(2)证明：AA210即AIA210.若AI与A21同时可逆，贝ij

AI,A21均不为0,但AIA210故矛盾，从而AI与A21不同时可逆.46

QA2A410A2A3171,整理有AIA3171,22

AIA31710.故AI,A31均可逆，

所以AI1

Til1A31,A31AI.77T1147证明：AAAl.

49

210012210012210012212010062100362

102210010632010092215

1209

2

0303

0092191

122221292212

9

1211

2

3

4

421

100999

122030333

210092

291929

292919

29132

2

10092

0103

1

001

192929291929

292919

50

100012341

312010001562

012101110010

026000110260000

100

010

001

12341

01562

00311

00523120012

01001700303

14000

33

01124501

300

0010

01149

201363

513

001234100

0156210

00

003111110

141501000

3333910

2013016300

5100314

00003001

3

22

6

0001

012341

015621

003111

23200512

010000

000030013

1217343

45013

2617

4151333

12故11

51422626173121752013.

10111210264153

12311123511142,X.Q22

0,23134592334

130001B28000

10101

101310

2

01232Bl01

2328,A223

311

23311

1010010100

021000200

A0

31000,B003

0002000

0

0013

0000200042

100010001000100011000100

01001100111000100010101111000111

01111001

1000100010001000100110010011000100110

0

0010011

00110101000100110001100

从而1100

0

1100

11100110.

11110011

520001laa2a31000aa20100a301aa201001

laOOlOa2

OOlaOOlO0

O1OOO1a

00010001

0

00010001

laOOlOa20100010010001aO

aO

010001aO

0010001a

00010001

0010001a

00010001

Iaa2a311aOO

故01aa2

01aO

001a

0001

001a.

0001

541235

34X

59解：Q12

3420,故121

34142

231，从而

1

X123511

345923

55

X123130

3241027

2101078

1231001231001231324010045310

0453

2100010562010017

44

122015124320

040322420100

040322420177

00445

411

00445

410010541123432故

324865210754

从而1

130123130432201513X1

02732410278651057758.10782101078

754152112871111L1123Ln

56011L1n1

012L

LLX

000LLL

1000L1

11

111L

易知011L1

LL存在（因为行列式不等于0）,求得

000L1

1L11

11110L0

011L1L0

LL01

1

LL1

000L1000L1

从而有

111L11

X011L1

LL123Ln

012Ln1

000L1000L1

110L0123L1L1011L0n11

012Ln11L1

101

000L1000L1000L1

58

13000

28000

0101

(1)对A分块，令A