高中数学人教A版选修4-1课时跟踪检测（五） 直角三角形的射影定理 Word版含解析

课时跟踪检测(五)直角三角形的射影定理一、选择题1．已知Rt△ABC中，斜边AB＝5cm，BC＝2cm，D为AC上一点，DE⊥AB交AB于点E，且AD＝3.2cm，则DE等于()A．1.24cmB．1.26cmC．1.28cm D．1.3cm解析：选C如图，∵∠A＝∠A，∴Rt△ADE∽Rt△ABC，∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(DE,BC)，∴DE＝eq\f(AD·BC,AB)＝eq\f(3.2×2,5)＝1.28(cm)．2．已知直角三角形中两直角边的比为1∶2，则它们在斜边上的射影比为()A．1∶2B．2∶1C．1∶4 D．4∶1解析：选C设直角三角形两直角边长分别为1和2，则斜边长为eq\r(5)，∴两直角边在斜边上的射影分别为eq\f(1,\r(5))和eq\f(4,\r(5)).3．一个直角三角形的一条直角边为3cm，斜边上的高为2.4cm，则这个直角三角形的面积为()A．7.2cm2B．6cm2C．12cm2 D．24cm2解析：选B长为3cm的直角边在斜边上的射影为eq\r(32－2.42)＝1.8(cm)，由射影定理知斜边长为eq\f(32,1.8)＝5(cm)，∴三角形面积为eq\f(1,2)×5×2.4＝6(cm2)．4．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，D为垂足，若CD＝6cm，AD∶DB＝1∶2，则AD的长是()A．6cm B．3eq\r(2)cmC．18cm D．3eq\r(6)cm解析：选B∵AD∶DB＝1∶2，∴可设AD＝t，DB＝2t.又∵CD2＝AD·DB，∴36＝t·2t，∴2t2＝36，∴t＝3eq\r(2)(cm)，即AD＝3eq\r(2)cm.二、填空题5．若等腰直角三角形的一条直角边长为1，则该三角形在直线l上的射影的最大值为________．解析：射影的最大值即为等腰直角三角形的斜边长．答案：eq\r(2)6．如图所示，四边形ABCD是矩形，∠BEF＝90°，①②③④这四个三角形能相似的是________．解析：因为四边形ABCD为矩形，所以∠A＝∠D＝90°.因为∠BEF＝90°，所以∠AEB＋∠DEF＝90°.因为∠DEF＋∠DFE＝90°，所以∠AEB＝∠DFE.所以△ABE∽△DEF.答案：①③7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AC＝6，AD＝3.6，则BC＝________.解析：由射影定理得，AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB，∴eq\f(AC2,BC2)＝eq\f(AD,BD)，即BC2＝eq\f(AC2·BD,AD).又∵CD2＝AD·BD，∴BD＝eq\f(CD2,AD).∴BC2＝eq\f(AC2·CD2,AD2)＝eq\f(6262－3.62,3.62)＝64.∴BC＝8.答案：8三、解答题8．如图所示，D为△ABC中BC边上的一点，∠CAD＝∠B，若AD＝6，AB＝10，BD＝8，求CD的长．解：在△ABD中，AD＝6，AB＝10，BD＝8，满足AB2＝AD2＋BD2，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC.又∵∠CAD＝∠B，且∠C＋∠CAD＝90°.∴∠C＋∠B＝90°，即∠BAC＝90°.故在Rt△BAC中，AD⊥BC，由射影定理知AD2＝BD·CD，即62＝8·CD，∴CD＝eq\f(9,2).9.如图，AD，BE是△ABC的两条高，DF⊥AB，垂足为F，直线FD交BE于点G，交AC的延长线于点H.求证：DF2＝GF·HF.证明：在△AFH与△GFB中，因为∠H＋∠BAC＝90°，∠GBF＋∠BAC＝90°，所以∠H＝∠GBF.因为∠AFH＝∠GFB＝90°，所以△AFH∽△GFB.所以eq\f(HF,BF)＝eq\f(AF,GF)，所以AF·BF＝GF·HF.因为在Rt△ABD中，FD⊥AB，所以DF2＝AF·BF，所以DF2＝GF·HF.10．已知直角三角形的周长为48cm，一锐角平分线分对边为3∶5两部分．(1)求直角三角形的三边长；(2)求两直角边在斜边上的射影的长．解：(1)如图，设CD＝3x，BD＝5x，则BC＝8x，过D作DE⊥AB，由题意可得，DE＝3x，BE＝4x，∴AE＋AC＋12x＝48.又AE＝AC，∴AC＝24－6x，AB＝24－2x.∴(24－6x)2＋(8x)2＝(24－2x)2，解得x1＝0(舍去)，x2＝2.∴AB＝20，AC＝12，BC＝16，∴三边长分别为20cm,12cm,16cm.(2)作CF⊥AB于点F，∴AC2＝AF·AB.∴AF＝eq\f(AC2,AB)＝eq\f(122,20)＝eq\f(36