概率论复习题及概率论复习题及答案

第一章1.假设有两箱同种零件：第一箱内装50件，其中10件为一等品；第二箱内装30件，其中18件一等品，现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件（取出的零件均不放回），求：（1）先取出的零件是一等品的概率；（2）在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等品的概率。解：设Ai={取到第i个箱子}，i=1,2，Bj={第j次取到一等品}，j=1,2（1）由全概率公式（2）所求概率为，其中故：2.某段时间[t0,t0+t]内，t>0，证券交易所来了k个股民的概率为，k=0,1,2……，λ>0，每个来到交易所的股民购买长虹股票的概率为p，且各股民是否购买这种股票相互独立。（1）求此段时间内，交易所共有r个股民购买长虹股票的概率；（2）若已知这段时间内有r个股民购买了长虹股票，求交易所内来了m个股民的概率。解：设Ak={交易所来了k个股民}，k=0,1,2,……，B={有r个股民购买长虹股票}。（1）由于， 故由全概率公式可得（2）由Bayes公式得所求概率为显然，3.设一射手每次命中目标的概率为p，现对同一目标进行若干次独立射击，直到命中目标5次为止，则射手共射击了10次的概率为（A） （B）（C） （D）解：B4.设有三个事件A,B,C，其中P(B)>0,P(C)>0，且事件B与事件C相互独立，证明：分析：利用关系式证明：由于事件B和事件C相互独立，故事件B和事件相互独立，又因为所以从而有第二章1.假设一厂家生产的每台仪器，以概率0.70可以直接出厂；以概率0.30需进一步调试，经调试后以概率0.80可以出厂；以概率0.20定为不合格品不能出厂。现该厂生产了台仪器，假设各台仪器的生产过程相互独立，试求：（1）全部能出厂的概率；（2）其中恰好有两件不能出厂的概率β；（3）其中至少有两件不能出厂的概率θ。解：设A={一台仪器能出厂}，B={一台仪器能直接出厂}，C={一台仪器经调试能出厂}，则，且B与显然互不相容。于是令X表示n台仪器中能出厂的台数，则有X～B(n,0.94)。故（1）（2）（3）由于至少有两件不能出厂等价于至多有n-2件能出厂，故2.假设随机变量X的绝对值不大于1，在事件出现的条件下，X在（-1，1）内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比，试求：X的分布函数；X的取负值的概率p解：由条件知，当时又于是，当时当，时，故（2）3.假设一设备开机后无故障工作的时间X服从参数为的指数分布，设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2个小时便关机，试求该设备每次开机无故障工作的时间Y的分布函数解：由题意得，于是又X的分布函数是参数的的指数分布，即其分布函数为因此，当时，，即=1；当时，，即故设随机变量X的概率密度为是X的分布函数，试求随机变量的分布函数解：的分布函数为注意到为分布函数，于是有，因此，当时，；当时，；当时，由于为单调增加函数，从而存在反函数，故（表示F的反函数）即的分布函数为：第三章1.设（X，Y）的联合密度为0，其他试求：（1）常数C；（2）P（X=Y）；（3）P（X＜Y）。解：由得C=4。（2）由于x=y为平面上的一条直线，而二维连续型随机变量在平面上任何一条曲线上取得的概率均为零，故P（X=Y）=0；（3）P(X＜Y)====2.设连续型随机变量X，Y相互独立且服从同一分布，证明P(X≤Y)=.证明：不妨设X，Y的密度函数为，于是由X与Y相互独立得（X，Y）的联合密度为于是P(X≤Y)=由于被积函数关于对称，故但其中表示整个平面，所以即P(X≤Y)=.3.在10件产品中有2件一等品，7件二等品和1件次品，现在从10件产品中无放回地抽取3件，令X表示其中一等品数，Y表示其中二等品数，试求：（X，Y）的联合分布律（X，Y）关于X和Y的边缘分布律X和Y是否相互独立？在X=1的条件下Y的条件分布。分析：由题意知X的可能取值为0，1，2；Y的可能取值为0，1，2，3。因此用古典概型分别计算它们的概率即可解：（1）因为当而当分别将代入计算可得（X，Y）的联合分布律如下表YXYX01232Y010000Y00（2）由联合分布律易得两个边缘分布律为XXY0120123XXXXX（3）因为P（X=1，Y=0）=0，但P（X=1）=，P（Y=0）=，故P（X=1，Y=0）P（X=1）P（Y=0）。所以X与Y不相互独立因为P（Y=j|X=1）==而于是在X=1的条件下Y的条件分布为1121/43/44.设二维随机变量（X，Y）在区域D上服从均匀分布，其中D={（X，Y）|0<x<1,|y|<x}，试求（X，Y）关于X和关于Y的边缘密度和条件密度分析：求边缘密度时，首先确定随机变量的取值范围，X（或Y）的取值范围是二维随机变量（X，Y）的取值范围在X轴（或Y轴）上的投影，在取值范围外，密度函数的值为0解：易知D的面积为1，故(x,y)的联合密度函数为：1，0，其他因X的取值范围为（0，1），于是当0<x<1时，又Y的取值范围为（-1，1），于是当时故：因为在Y=y的条件下，当时，X的条件下分布不存在；当时，故X的条件密度函数为同理可得：5.某种商品一周的需求量X是一个随机变量，其概率密度为假设各周的需求量相互独立，以表示k周的总需求量求的概率密度求接连三周中的周最大需求量的概率密度。分析：若以表示第周的需求量则相互独立且同分布，，从而问题归结为求随机变量的函数的分布解：利用卷积公式设表示第周的需求量表示三周中的周最大需求量，于是，且与同分布由卷积公式，的密度为因为的分布函数为故的密度函数为6.设随机变量与相互独立，的密度函数为，的分布律为试求的密度函数分析：这是一个求两个随机变量的和函数的分布问题，两个随机变量中一个为离散型，另一个为连续型，从而写不出“联合密度”，因此在分布函数的求法，也就是概率的计算方法上有所不同解：因为的分布函数为因此，的密度函数为：第四章设学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，设在各交通岗遇到红灯是相互独立的，其概率均为2/5，求途中遇到红灯次数的数学期望与方差。解：设X表示途中遇到红灯的次数，则X～B(3,2/5)，所以 E(X)=np=3×2/5＝6/5 D(X)=np(1-p)=3×2/5×3/5=18/25设相互独立的两个随机变量X，Y具有同一分布，且X的分布律为X01p1/21/2 求Z=min(X,Y)的数学期望与方差。解：因X与Y独立同分布，所以（X，Y）的联合分布律为：YXY0101/41/411/41/4由此得Z=min(X,Y)的分布律为：Z=min(X,Y)01p3/41/4因此E(Z)=0*3/4+1*1/4=1/4E(Z2)=02*3/4+12*1/4=1/4D(Z)=E(Z2)-[E(Z)]2=1/4-1/16=3/16设随机变量X的概率密度为ax,0<x<2f(x)=cx+b0其他又已知E(X)=2，D(X)=2/3，求：a,b,c的值随机变量Y=eX的数学期望与方差解：（1）因为f(x)为概率密度函数，故即有：2a+2b+6c=1又故有4a+9b+28c=3因D(X)=2/3，于是即于是有6a+28b+90c=7联立（1）、（2）、（3）解得a=1/4、b=1、c=-1/4（2）由（1）知 x/40<x<2f(x)= 0其他于是故设X～N(μ,σ2)，Y～N(μ,σ2)，且设X，Y相互独立，求Z1＝αX+βY，Z2=αX-βY的相关系数（其中αβ是不为0的常数）解：Cov(Z1,Z2)=Cov(αX+βY,αX-βY) =α2Cov(X,X)-αβCov(X,Y)+βαCov(Y,X)-β2Cov(Y,Y)=α2D(X)-β2D(Y)=(α2-β2)σ2又X，Y相互独立，所以D(Z1)=D(αX+βY)=α2D(X)+β2D(Y)=(α2+β2)σ2D(Z2)=D(αX-βY)=α2D(X)+β2D(Y)=(α2+β2)σ2故卡车装运水泥，设每袋水泥重量X（以公斤计）服从N(50,2.52)，问最多装多少袋水泥使总重量超过2000的概率不大于0.05。解：设最多装n袋水泥使总重量超过2000的概率不大于0.05，n袋水泥的总重量为Y，Xi表示第i袋水泥的重量，i=1,2n，则X1，X2，Xn独立同服从N(50,2.52)，且Y=X1+X2++Xn，于是 E(Y)=E(X1)+E(X2)++E(Xn)=50n D(Y)=D(X1)+D(X2)++D(Xn)=2.52n 即Y～N(50n，2.52n)， 查表得 故最多装39袋水泥。6.6.第五章1.现有一大批种子，其中良种占1/6，现从中任取6000粒种子，试分别用切比雪夫不等式估计和用中心极限定理计算这6000粒种子中良种所占的比例与1/6之差的绝对值不超过0.01的概率。解：设X表示所取的6000粒种子中良种的粒数，由题意可知X～B(6000,1/6)，因此 E(X)=np=1000，D(X)=np(1-p)=5000/6，要估计的概率为。（1）由切比雪夫不等式知，（2）由德莫弗－拉普拉斯中心极限定理知：2.一个食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而售出一只蛋糕的价格是一个随机变量，它取1（元）、1.2（元）、1.5（元）各个值的概率分别为0.3、0.2、0.5。某天售出300只蛋糕。求这天的收入至少400（元）的概率；求这天售出价格为1.2（元）的蛋糕多于60只的概率。解：设Xk（k=1,2,...300）表示售出的第k只蛋糕的价格，则X1、X2、X300相互独立，且服从同一分布，其分布律为Xk11.21.5pk0.30.20.5故E(Xk)=1*0.3+1.2*0.2+1.5*0.5=1.29， D(Xk)=(1-1.29)2*0.3+(1.2-1.29)2*0.2+(1.5-1.29)2*0.5=0.0489，k=1,2,300（1）设为这天的收入，由独立同分布的中心极限定理知 （2）设Y表示当天售出价格为1.2（元）的蛋糕数，则Y～B(300，0.2)。由德莫弗－拉普拉斯中心极限定理知： 3.设，求证：。解：设随机变量X1、X2、Xn相互独立同服从参数为1的泊松分布，记Tn=X1+X2+Xn，则由泊松分布的可加性，Tn服从参数为n的泊松分布。于是，， ，由独立同分布的中心极限定理有概率论与数理统计复习题事件及其概率设为三个事件，试写出下列事件的表达式：都不发生；(2)不都发生；(3)至少有一个发生；(4)至多有一个发生。解：(1)设为两相互独立的随机事件,,,求。

解：；

。设互斥，，，求。

解：。设，求。

解：

。设独立且求。

解：。袋中有个黄球，个白球，在袋中任取两球，求取到两个黄球的概率；取到一个黄球、一个白球的概率。解：(1)；(2)。从十个数字中任意选出三个不同的数字，求三个数字中最大数为的概率。

解：。从中任取两数，求两数之和小于的概率。

解：。甲袋中装有只红球，只白球，乙袋中装有只红球，只白球，现从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问从乙袋中取出红球的概率为多少？

解：设“从甲袋中取出的是红球”，“从乙袋中取出的是红球”，则：

由全概率公式得：

。某大卖场供应的微波炉中，甲、乙、丙三厂产品各占50%、40%、10%，而三厂产品的合格率分别为95%、85%、80%，求买到的一台微波炉是合格品的概率；已知买到的微波炉是合格品，则它是甲厂生产的概率为多大？解：(1)设分别表示买到的微波炉由甲、乙、丙厂生产，表示买到合格品，则由全概率公式得；。一维随机变量及其数字特征已知的概率密度函数，求。

解：

，。设，求。

解：。设三次独立随机试验中事件出现的概率相同，已知事件至少出现一次的概率为，求在一次试验中出现的概率。

解：三次试验中出现的次数，由题意：。某种灯管的寿命（单位：小时）的概率密度函数为，求；任取只灯管，求其中至少有只寿命大于的概率。解：(1)；设只灯管中寿命大于的个数为，则，故

。设求。

解：。设，求。

解：，

。设，求。

解：，。设服从上的均匀分布，求方程

解：，。设，求。

解：。设某机器生产的螺丝长度。规定长度在范围内为合格，求螺丝不合格的概率。

解：螺丝合格的概率为故螺丝不合格的概率为。设，，求、及的分布。

解：。设与独立，且求。

解：。设求。

解：。设，求的概率密度函数。

解：当时，；当时，；当时，；当时，；

故，。二维随机变量及其数字特征已知的联合分布律为：求；求；求的边缘分布律；求；判断是否独立。解：(1);；；；，不独立。已知的联合分布律为：且与相互独立，求：的值；；的边缘分布律；；的分布律。解：(1);；；；。已知的概率密度函数为，求：常数；关于变量的边缘概率密度函数；。解：(1)；；。设的概率密度函数为：，求；求；判断是否独立；求；求。解：(1)；，

；不独立；，；。中心极限定理某种电器元件的寿命服从指数分布（单位：小时），现随机抽取只，求其寿命之和大于小时的概率。

解：设第只电器元件的寿命为则。令，则。由中心极限定理得

。生产灯泡的合格率为，记个灯泡中合格灯泡数为，求与；合格灯泡数在之间的概率。解：(1)；由中心极限定理得

。有一批建筑房屋用的木柱，其中的长度不小于，现从这批木柱中随机地取根，问至少有根短于的概率是多少？

解：设这根木柱中短于的个数为，则

；

由中心极限定理得。某单位设置一电话总机，共有架电话分机。设每个电话分机是否使用外线通话相互独立，设每时刻每个分机有的概率要使用外线通话。问总机至少需要多少外线才能以不低于的概率保证每个分机要使用外线时可供使用?

解：设至少需要条外线。使用外线的分机数，

。

由中心极限定理得：

。抽样分布从一批零件中抽取个样本，测得其直径为，求。

解：。设是来自正态总体的简单随机样本，已知服从分布，求。

解：。总体，对容量的样本，求样本均值大于的概率；为使大于的概率不小于，样本容量至少应为多少？解：(1)；

(2)

。设取自正态总体，求。

解：由于，故。设来自总体，为样本方差，求。

解：

。参数估计设随机变量，其中已知。为样本均值,求的矩估计量。

解：。设总体的概率密度函数为：，其中是未知参数，求的矩估计量。

解：。设总体的分布律为现有样本：，求的矩估计值与最大似然估计值。

解：(1)，将代入得；

(2)似然函数

对数似然函数，令，得。设总体的概率密度函数为。现测得的个数据：，求的矩估计值和最大似然估计值。解：(1)，令，得；

(2)似然函数，对数似然函数，令，得。设轴承内环的锻压零件的平均高度服从正态分布。现在从中抽取只内环，其平均高度毫米，求内环平均高度的置信度为的置信区间。

解：已知，置信区间为。将代入，得所求置信区间为。为了估计一批钢索所能承