立体几何讲义

ddd一、柱锥台球的结构特征二、空间几何体直观图三、空间几何体三视图四、培养空间想象能力的训练五、夹角距离的求解(理科)柱锥台球的结构特征几何学是研究现实世界中物体的形状、大小和位置关系的学科，直观感知、操作确认、思辨论证、度d量计算是认识和探索几何图形及其性质的主要方法。在学习中联系实际从图形入手，加强由模型到图像，再由图像到模型的基本训练，有序的建立图形、文字、符号这三种语言的联系，能由一种语言转释成另外两种语言，逐步达到融会贯通的程度。对几何体、概念、公式及时加以总结归纳，找到它们之间的内在联系，发现它们的差异，深化对概念的认识和理解。一、柱锥台球的结构特征几何体空间几多面体有一些空间几何体抽象出来的空间图形由若干个平面多边形围成的几何体构图只考虑物体的形状、大小和位置关系体积表面积公式旋转体一平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体。有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每边都互相平行，由这些面表面积公式体积公式棱锥有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形表面积公式体积公式棱台用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分表面积公式体积公式圆柱以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体圆锥以直角三角形的一条直轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体圆台用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分表面积公式体积公式表面积公式体积公式表面积公式体积公式d球以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体表面积公式体积公式1)将直角三角形绕它的一边旋转一周,形成的几何体一定是()A．圆锥B．圆柱C．圆台D．上均不正确2)用一个平面去截一个几何体，得到的截面是四边形，这个几何体可能是()D3)下左一图是一个物体的三视图,根据图中尺寸(单位：cm),计算它的体积为cm3.1多少．2)边长为5cm的正方形EFGH是圆柱的轴截面,则从E点沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离是_____________________3)正四面体的棱长为a，则相对棱所成角为距离为；相邻两个面所成角的余弦值为；侧棱与底面所成角的余弦值为；它的表面积为；高为；体积为；外接球半径为；内切球半径为。4)半径为4的半圆纸片卷成圆锥放在桌子上，一阵风吹倒它，它的最高处距桌面为()2例2.证明等边圆柱(轴截面为正方形)的内切球的体积是圆柱体积的且球的表面积等于圆柱的侧面积。3练习。已知圆台上下底面的半径分别为2、5，且侧面面积等于两底面面积之和，求该圆台的母线长。例3.如图(上右一)一倒置的等边圆锥SO(轴截面为正三角形)AB为底面直径，装满水后，放一半径1水是原来的几分之几？例4.有一棱长为a的正方体框架，其内放置一气球，是其充气且尽可能地膨胀(仍保持为球的形状)，则气球表面积的最大值为()aCaDa练习.1)已知一个几何体的主视图及左视图均是边长为2的正三角形,俯视图是直径为2的圆,则此几何体的外接球的表面积为()4816323333()(A)2(A)2(B)3(C)(D)122空间几何体直观图观察者站在某一点观察几何体，画出的图形.把空间图形画在平面内，画得既富有立体感，又能表达出图形d各主要部分的位置关系和度量关系的图形；()(()(2)判断：①水平放置的正方形的直观图可能是等腰梯形②两条相交的线段的直观图可能是平行线段③两条互相垂直的直线的直观图仍然垂直④平行四边形的直观图仍为平行四边形⑤长度相等的两线段直观图仍然相等(3)三角形ABC是边长为1正三角形，求其直观图三角形A'B'C'的面积(4)如图，正方形O'A'B'C'的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，求原图形的周长和面积11111111111线，由图形可知在ABC中，下列四个结论中正确的是()空间几何体三视图主视图反映了物体的上、下和左、右位置关系；俯视图反映了物体的前、后和左、右位置关系；侧视图反映了物体的上、下和前、后位置关系。三个视图之间的投影关系为：主、俯视图长对正；主、左视图高平齐；俯、左视图宽相等(1)下列几何体中，主视图、左视图、俯视图相同的几何体是()A．球和圆柱B．球C．正方体和圆柱D．球和正方体(3)已知一个几何体的主视图及左视图均是边长为2的正三角形,俯视图是直径为2的圆,则此几何体的外接球的表面积为()4816323333(4)用单位立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如下左图所示，则它的体积的最小值与最大值分别为()BBd(5)一个物体由几块相同的正方体叠成，它的正视图、侧视图、俯视图从左到右分别如上右图所示，请回(1)该物体共有几层？(2)最高部分位于哪个位置？(在三视图中把相应正方体涂黑以标记)(3)一共需要多少个小正方体？题：1.一空间几何体的三视图如下右图所示,则该几何体的体积为().3C232+3D.4+2332、上中图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是1)一个几何体的三视图如下左图，根据图中数据，可得该几何体的体积和表面积分别为：2)一个几何体的三视图如上中图，根据图中数据，则该几何体的侧视图的面积为：3)一个几何体的三视图如上右二图所示，则该几何体的体积为()4)一个几何体的三视图如上右一图所示，(其中俯视图为正三角形)根据图中数据求该几何体的正视图和俯培养空间想象能力的训练d01)任何几何体的三视图都与该几何体的摆放位置有关02)一个圆锥与一个上底面圆半径和圆锥底面圆半径相等的圆台一定组成一个圆锥.03)任何一个棱台都可以补一个棱锥使它们组成一个新的棱锥.04)圆锥的侧面展开图为扇形,这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径.05)三角形和平行四边形的直观图还是三角形和平行四边形.07)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体为棱锥.08)以直角三角形的一边为轴旋转得到的几何体为圆锥.空间不共线的四点,可以确定平面的个数为10)异面直线是分别位于两个不同平面内的直线.a则在平面内不存在直线与a垂直.16)与同一平面平行的两直线的位置关系可能为17)过平面外一点可以作这个平面的平行线条,平行面个过直线外一点可以作这条直线的平行线条,平行面个过平面外一直线可以作与这个平面平行的平面个过平面外一直线可以作与这个平面垂直的平面个ab为异面直线,则过直线a与b平行的平面有个.20)若平面外一条直线上有两点到平面的距离相等,则直线与平面平行若一个平面内有不共线的三点到另一个平面的距离相等,则两平面平行.21)一个面内有无数条直线与另一个面平行,则面面平行.一条直线与一个面内的无数条直线垂直,则线面垂直.22)平行于同一直线的两直线平行.垂直于同一直线的两直线平行.平行于同一直线的两平面平行.垂直于同一平面的两直线平行.平行于同一平面的两直线平行.垂直于同一直线的两平面平行.平行于同一平面的两平面平行.垂直于同一平面的两平面平行.23)空间不重合的三平面可以把空间分成部分,正方体六个面所在平面把空间分成部分.ab,b,c是异面直线,则a,c的位置关系是()A.相交,平行或异面B.相交或平行C.异面D.平行或异面25)已知a,b是异面直线,直线c平行于直线a,那么c与b()A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线cABCD有个.dmnA.若m⊥,m⊥n,则n∥B.若m∥,n∥,则可能有m」nm33)已知m,n为两条不同的直线,,为两个不同的平面,则下列命题中正确的是()其中正确命题的序号是()A．①③B．②④C．①④D．②③l命题正确的是()C．若l」,//,则l」D．若l//,」,则l」37)已知m,n为两条不同的直线,,为两个不同的平面,下列命题中,错误的命题的个数为()A．139)已知直线a,b和平面,下述推理中正确的有.其中正确的命题是A..①③B.②④C.③④D.①41)如下左图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，命题中，正确命题的序号是()A．①②③B．②④C．③④D．②③④练习：下左二图是一个正方体的展开图，在原正方体中，有下列命题：d例题一。位置关系的证明例1、如果一条直线与两个相交平面平行，那么这条直线和它们的交线平行。变式：增加什么条件，使得为菱形、矩形、正方形。ABDEBCEF.BCEF.AMBNM,N，求证:=.MCND111112)一个多面体的直观图(主视图、左视图、俯视图)如图所示，M、N分别为A1B1、B1C1的中点.(1)111111111111(1)求证：EF∥平面AADD；(2)求证：EF⊥平面ACD；(3)求三棱锥B1111d例题二。两异面直线所成的角的求解求线段MN的长。例题三。直线与平面所成的角的求解例题四。二面角的求解1)求证：EF∥平面PCD;2)求二面角ABPD的余弦值。立体几何------夹角距离的求解(理科)(1)求二面角O1－BC－D的大小；(2)求点E到平面O1BC的距离.建立如图所示的空间直角坐标系(如图)D1A1EDAO1B1OBC1Cd∴OA=23，OB=2，11121n>=n1.n>=n1.n21=，121(2)设点E到平面O1BC的距离为d，3PEDCABd2则P(0,0,a),A(a,0,0),B(0，222222C(-a,0,0)，D(0，-a222222222∴E(-a,0，)，EB=(a,22222444242PEFDCOAB(2222|2点A到平面EBD的距离为d=nPB=2a=1a.|n|22212nn1223=232.(1)求二面角B—AC—P的大小；(2)求点A到平面PCD的距离.解(1)建立如图的空间直角坐标系O—xyz，7.3zADOBxyCd7.3zADOBxyC7=7=77设点A到平面PCD的距离为d，则d=|m.PA|=23=221.|m|777.(1)求证：AO」平面BCD；(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值；(3)求点E到平面ACD的距离．d==22BA.CD42∴异面直线AB与CD所成角的余弦值为．4，13EC.n321又EC=(一,,0),∴点E到平面ACD的距离h===．22n77(Ⅰ)证明取AB中点D，连结PD，CD．PABADBABCPEBABCPPd3在△BCE中，三BCE=90，BC=2，BE=AB=6，2E3(Ⅲ)解由(Ⅰ)知AB」平面PCD，HDBABC3在Rt△PCD中，CD=AB=2，PD=PB=6，22PCCD23：PC=PD2CD2=2．CH==．PD32331111AAAE、E、F分别是棱AD、AA、AB的中点。111A(2)求二面角B-FC-C的余弦值。1D1DEFC1B1CB解法一：(1)在直四棱柱ABCD-ABCD中，取AB的中点F，1111111//所以CD=A1F1，A1F1CD为平行四边形，所以CF1//A1D，A..E1ADEF1PFC1B1COBABBCCDFABBF=BC=CF,△BCF为正三角形,取CF的中点O,则dO1OPOF12P22,BP22=27,所以二面角B-FC-C7177.AA连接DM,则DM⊥AB,所以DM⊥CD,31DEMx(zF3C1CB1yB以F1y=0111117为.为71n.n1=2=7,由图可知二面角B-FC-C为锐角,所以二面角B-FC-C的余弦值|n||n|2人77111d33333242333n0分m•n333∴平面AMN与平面ABCD所成锐二面角的余弦值为…12分3所成角的大小为()C1111A1长是2，侧棱长是3，D是B1CDAB317AM317AM711(2)求二面角A_BD_A的大小；1解法一：(1)设AB与AB相交于点P，连接PD，则P为AB中11D为AC中点，：PD//BC.111(2)正三棱住ABC_ABC，：AA」底面ABC。1111AMCDPB1B1：三ADA就是二面角A_BD_A的平面角。11AAAA=3，AD=AC=1：tan三ADA=1=3121AD冗冗：三ADA=,即二面角A_BD_A的大小是131